資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 預(yù)習(xí)篇
5.3.2 命題、定理、證明
一、命題
1.命題的定義：判斷一件事情的語句叫作命題。
2.命題的組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。
3.命題的表達(dá)形式：命題通常寫成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是題設(shè)部分，“那么”后面接的部分是結(jié)論。
4.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題叫作真命題。
5.假命題：命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題叫作假命題。
二、公理、定理與證明
1.公理：從實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)的真命題。
2.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫作定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。
3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫作證明。
4.舉反例：判斷一個(gè)命題是假命題，一般舉反例說明，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論。
選擇題
1.下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；④一個(gè)角的余角一定大于這個(gè)角．其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查的是真假命題的判斷，熟記定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)①進(jìn)行判斷；據(jù)對(duì)頂角的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的判定對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)余角的定義對(duì)④進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，原命題為假命題；
②相等的角不一定是對(duì)頂角，原命題為假命題；
③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，原命題為真命題；
④一個(gè)角的余角不一定大于這個(gè)角，原命題為假命題；
故選A
2.能說明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)”是假命題的一個(gè)反例可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確舉出反例是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意、乘方的意義舉例即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
∴此時(shí)，故“對(duì)于任何實(shí)數(shù)”是假命題，
當(dāng)時(shí)，，
故選：A．
3.下列語句是命題的是（ ）
A．畫一條直線 B．正數(shù)都大于零
C．同位角相等嗎？ D．明天晴天嗎？
【答案】B
【分析】本題考查了命題．解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解命題的意義．判斷一件事情的語句叫命題，以此進(jìn)行判斷求解即可．
【詳解】A．畫一條直線，不是命題，故不符合題意；
B．正數(shù)都大于零，是一個(gè)命題，故不符合題意；
C．同位角相等嗎？不是命題，故不符合題意；
D．明天晴天嗎？不是命題，故不符合題意．
故選B．
4.下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是對(duì)頂角 B．若數(shù)a、b滿足，則
C．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 D．垂線段最短
【答案】D
【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)頂角的定義、垂線段的性質(zhì)、平行公理等等知識(shí)，難度不大．利用對(duì)頂角的定義、數(shù)的平方運(yùn)算、平行公理以及垂線段的性質(zhì)、逐項(xiàng)判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A、相等的角不一定是對(duì)頂角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
B、若數(shù)a、b滿足，則或，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
C、同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
D、垂線段最短，故原命題正確，符合題意；
故選：D．
5.下列命題是真命題的是（ ）
A．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上
B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．一次函數(shù)中，隨著的增大而減小
D．的算術(shù)平方根是
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的增減性、平行線的性質(zhì)、算術(shù)平方根的性質(zhì)判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，故原說法錯(cuò)誤，故A是假命題，不符合題意；
B、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原說法錯(cuò)誤，故B是假命題，不符合題意；
C、在一次函數(shù)中，隨著的增大而減小，故原說法正確，故C是真命題，符合題意；
D、的算術(shù)平方根是，故原說法錯(cuò)誤，故D是假命題，不符合題意；
故選：C．
6.下列命題中是真命題的為（ ）
A．兩銳角之和為鈍角 B．兩銳角之和為銳角
C．鈍角大于它的補(bǔ)角 D．銳角大于它的余角
【答案】C
【分析】本題考查了補(bǔ)角、余角的定義，熟記概念：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，如果兩個(gè)角的和是等于，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，可以舉具體角的度數(shù)來證明結(jié)合反例即可作出判斷．
【詳解】A、兩個(gè)角的和是，是銳角，故不符合題意；
B、兩個(gè)的角之和是，是鈍角，故不符合題意；
C、鈍角大于，它的補(bǔ)角小于，故符合題意；
D、銳角的余角是，故不符合題意．
故選：C．
7.命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；②對(duì)頂角相等；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④兩點(diǎn)之間線段最短．其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的定義，兩點(diǎn)之間線段最短等等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，原命題是真命題；
②對(duì)頂角相等，原命題是真命題；
③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題；
④兩點(diǎn)之間線段最短，原命題是真命題；
∴真命題有3個(gè)，
故選C．
8.下列語句中，不是命題的是（ ）
A．x一定小于嗎 B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)頂角相等
【答案】A
【分析】本題考查的是命題的概念，判斷一件事情的語句，叫做命題，根據(jù)命題的概念判斷即可．
【詳解】解：A、一定小于嗎？，不是命題，符合題意；
B、兩點(diǎn)之間線段最短，是命題，不符合題意；
C、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，是命題，不符合題意；
D、對(duì)頂角相等，是命題，不符合題意；
故選：A．
填空題
1.命題：若兩個(gè)數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值相等是 （填“真”或“假”）命題．
【答案】真
【分析】本題主要考查真假命題，根據(jù)真假命題可進(jìn)行求解．熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：命題：若兩個(gè)數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值相等是真命題．
故答案為：真．
2.命題“同角的補(bǔ)角相等”是 命題．寫成“如果…那么…”的形式 ．
【答案】 真 如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等
【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題，許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，把一個(gè)命題寫成“如果．．．那么．．”形式是解決問題的關(guān)鍵．
把命題的題設(shè)和結(jié)論，寫成“如果．．．那么”的形式即可；
【詳解】解：命題“同角的補(bǔ)角相等”是真命題，把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果．．．那么”的形式為如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；
故答案為：真；如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等．
3.寫出命題“直角三角形只有兩個(gè)銳角”的逆命題 ．
【答案】只有兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形
【分析】本題主要考查命題的逆命題，把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換位置，則為逆命題，即可作答．
【詳解】解：∵命題“直角三角形只有兩個(gè)銳角”
∴逆命題：只有兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形．
故答案為：只有兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形．
4.“平行于同一條直線的兩條直線平行”這個(gè)命題的條件是 ．
【答案】兩條直線平行于同一條直線
【分析】本題考查了對(duì)命題的題設(shè)和結(jié)論的理解，把命題改寫成“如果 那么 ”的形式，即可求解，把命題改寫成“如果那么”的形式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：命題“平行于同一條直線的兩條直線平行”可改寫為：“如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行”，
∴命題的條件是“兩條直線平行于同一條直線”，
故答案為：兩條直線平行于同一條直線．
5.“若，則，”是 命題（選填“真”或“假”）.
【答案】假
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法法則可知若，也有可能，，即可得到答案．本題主要考查真假命題的判斷，熟練掌握乘法法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：若，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可知也有可能，，
∴“若，則，”是假命題．
故答案為：假．
解答題
1.如圖，已知兩平行直線、被直線所截，射線、分別平分和．
(1)判斷與之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)由（1）的結(jié)論可以得到一個(gè)命題：如果（ ），那么（ ）．
【答案】(1)，證明見解析
(2)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)：
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得證；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案．
【詳解】（1）解：．證明如下：
（已知）
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
射線、分別平分和（已知）
，（角平分線的定義）
（已證）
（等量代換）
（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
（2）解：如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行．
故答案為：兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行．
2.（1）如圖，，，．求證：；
（2）若把（1）中的“”與結(jié)論“”對(duì)調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由；
（3）若把（1）中的“”與結(jié)論“”對(duì)調(diào)呢？
【答案】（1）證明見解析；（2）所得命題為真命題．理由見解析；（3）所得命題為真命題．理由見解析
【詳解】（1）證明：，
．又，
．．
．
，．
．．
（2）所得命題為真命題．理由如下：
，，
．．
，．
．
（3）所得命題為真命題．理由如下：
同（2）可得．
，．
3.（1）如圖，“若，則”該命題是______（填“真命題”或“假命題”）．

（2）若上述命題為真命題，請說明理由；若上述命題為假命題，請你再添加一條件，使該命題成為真命題，并說明理由．
【答案】（1）假命題；（2）添加（答案不唯一）；證明見解析．
【分析】（1）本問考查真假命題的判定以及平行線的判定，利用平行線的判定方法進(jìn)而判斷即可；
（2）本問考查了平行線的性質(zhì)和判定，正確利用平行線的判定方法求出即可．
【詳解】解：（1）假命題；
由圖形可知，既不是同位角也不是內(nèi)錯(cuò)角，即使也不能得到，故該命題為假命題；
故答案為：假命題
（2）添加（答案不唯一）；
∵
∴.
又∵
∴，
即
∴．
4.如圖，從①，②，③三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論可以組成3個(gè)命題．

(1)這三個(gè)命題中，真命題有______個(gè)；
(2)選擇一個(gè)真命題，并且完成證明過程．
【答案】(1)3
(2)見解析
【分析】（1）利用平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行判定即可；
（2）利用平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）解：這三個(gè)命題中，真命題有3個(gè)；理由見（2）
故答案為：3；
（2）已知，，求證：．
證明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
已知，，求證：．
證明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
已知，，求證：．
證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5.如圖，在中，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，

(1)給出以下3個(gè)條件：①是角平分線，②，③與平行；從中選擇兩個(gè)作為條件，另外一個(gè)作為結(jié)論．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號(hào)）；
(2)請證明你的結(jié)論．
【答案】(1)①②，③
(2)見解析
【分析】（1）從3個(gè)條件中選兩個(gè)作為條件，一個(gè)結(jié)論即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義、等量代換可得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行即可解答．
【詳解】（1）解：可以選①②作為條件，③作為結(jié)論．
故答案為：①②，③（答案不唯一）．
（2）證明：∵是角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴與平行．
6.如圖，已知：點(diǎn)G、點(diǎn)D和點(diǎn)F分別在和上，于E．給出下面三個(gè)條件：
①；②；③．
請你在以上三個(gè)條件中選兩個(gè)作為添加的已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出所有的真命題（如果不止一個(gè)，請用小括號(hào)標(biāo)序號(hào)），并任選其中一個(gè)真命題證明．（解題書寫格式：解：真命題：（1）如果，那么；（2）……．選（x）證明如下：……）

【答案】命題見解析，證明見解析
【分析】由題意知，符合條件的真命題有三個(gè)：（1）如果，，，那么；（2）如果，，，那么；（3）如果，，，那么；證明（1），由，可得，，由，可得，即，進(jìn)而可證．
【詳解】解：由題意知，符合條件的真命題有三個(gè)：
（1）如果，，，那么；
（2）如果，，，那么；
（3）如果，，，那么；
證明（1），過程如下：
證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 預(yù)習(xí)篇
5.3.2 命題、定理、證明
一、命題
1.命題的定義：判斷一件事情的語句叫作命題。
2.命題的組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。
3.命題的表達(dá)形式：命題通常寫成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是題設(shè)部分，“那么”后面接的部分是結(jié)論。
4.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題叫作真命題。
5.假命題：命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題叫作假命題。
二、公理、定理與證明
1.公理：從實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)的真命題。
2.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫作定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。
3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫作證明。
4.舉反例：判斷一個(gè)命題是假命題，一般舉反例說明，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論。
選擇題
1.下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；④一個(gè)角的余角一定大于這個(gè)角．其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.能說明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)”是假命題的一個(gè)反例可以是（　　）
A． B． C． D．
3.下列語句是命題的是（ ）
A．畫一條直線 B．正數(shù)都大于零
C．同位角相等嗎？ D．明天晴天嗎？
4.下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是對(duì)頂角 B．若數(shù)a、b滿足，則
C．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 D．垂線段最短
5.下列命題是真命題的是（ ）
A．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上
B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．一次函數(shù)中，隨著的增大而減小
D．的算術(shù)平方根是
6.下列命題中是真命題的為（ ）
A．兩銳角之和為鈍角 B．兩銳角之和為銳角
C．鈍角大于它的補(bǔ)角 D．銳角大于它的余角
7.命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；②對(duì)頂角相等；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④兩點(diǎn)之間線段最短．其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
8.下列語句中，不是命題的是（ ）
A．x一定小于嗎 B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)頂角相等
填空題
1.命題：若兩個(gè)數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值相等是 （填“真”或“假”）命題．
2.命題“同角的補(bǔ)角相等”是 命題．寫成“如果…那么…”的形式 ．
3.寫出命題“直角三角形只有兩個(gè)銳角”的逆命題 ．
4.“平行于同一條直線的兩條直線平行”這個(gè)命題的條件是 ．
5.“若，則，”是 命題（選填“真”或“假”）.
解答題
1.如圖，已知兩平行直線、被直線所截，射線、分別平分和．
(1)判斷與之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)由（1）的結(jié)論可以得到一個(gè)命題：如果（ ），那么（ ）．
2.（1）如圖，，，．求證：；
（2）若把（1）中的“”與結(jié)論“”對(duì)調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由；
（3）若把（1）中的“”與結(jié)論“”對(duì)調(diào)呢？
3.（1）如圖，“若，則”該命題是______（填“真命題”或“假命題”）．

（2）若上述命題為真命題，請說明理由；若上述命題為假命題，請你再添加一條件，使該命題成為真命題，并說明理由．
4.如圖，從①，②，③三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論可以組成3個(gè)命題．

(1)這三個(gè)命題中，真命題有______個(gè)；
(2)選擇一個(gè)真命題，并且完成證明過程．
5.如圖，在中，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，

(1)給出以下3個(gè)條件：①是角平分線，②，③與平行；從中選擇兩個(gè)作為條件，另外一個(gè)作為結(jié)論．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號(hào)）；
(2)請證明你的結(jié)論．
6.如圖，已知：點(diǎn)G、點(diǎn)D和點(diǎn)F分別在和上，于E．給出下面三個(gè)條件：
①；②；③．
請你在以上三個(gè)條件中選兩個(gè)作為添加的已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出所有的真命題（如果不止一個(gè)，請用小括號(hào)標(biāo)序號(hào)），并任選其中一個(gè)真命題證明．（解題書寫格式：解：真命題：（1）如果，那么；（2）……．選（x）證明如下：……）

21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑