資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學下冊 預習篇
17.1 勾股定理
1.勾股定理
（1）文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（2）符號語言：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 ；
（3）勾股定理的變式：
3.勾股定理的應用
(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
(2)表示長度為無理數的線段；
(3)在數軸上作出表示無理數的點；
（4）勾股定理的應用： 。
①利用勾股定理解題時應注意：一要確定直角三角形；二要分清直角邊和斜邊
②勾股定理的應用條件：勾股定理只適用于直角三角形，所以常作輔助線——高，構造直角三角形。
選擇題
1.以下三組數中是勾股數的一組是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本題考查了勾股數，勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數．欲求證是否為勾股數，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
【詳解】解：A、因為，所以它們不是勾股數，故本選項不符合題意；
B、因為，所以它們不是勾股數，故本選項不符合題意；
C、因為，，都不是整數，所以它們不是勾股數，故本選項錯誤；
D、，所以它們是勾股數，故本選項正確；
故選：D．
2.如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現需用繩子裝飾，繩子從出發，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平面展開——最短路徑問題，把長方體右邊的表面展開，連接，則就是繩子的最短時經過的路徑，然后根據勾股定理求解，利用兩點之間線段最短的性質，將長方體右邊的表面展開是解題的關鍵．
【詳解】如圖，
將長方體右邊的表面翻折（展開），連接，顯然兩點之間線段最短，為點到點的最短距離，由勾股定理知：
，
∴，即繩子最短為，
故選：．
3.已知點M在y軸上，點，若線段的長為5，則點M的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了用勾股定理求兩點之間的距離，先設出點M的坐標，根據直角三角形三邊的關系得到一個等式，求出結果即可，注意分情況討論是解題的關鍵．
【詳解】解：當點M位于y軸正半軸時，此時設點，過點P作y軸的垂線交y軸于一點N，如圖所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此時點；
當點M位于y軸負半軸時，此時設點，過點P作y軸的垂線交y軸于一點N，如圖所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此時點，
綜上點M的坐標為或，
故選：D．
4.已知是某直角三角形的三邊長，若，，則下列關于c的說法中，正確的是（）
A．c的值只能為 B．c的值只能為
C．c的值為或 D．c的值有無限多個
【答案】C
【分析】此題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，分兩種情況討論是解本題的關鍵．分兩種情況：①當為直角邊時，②當為直角邊，利用勾股定理求出第三邊長即可．
【詳解】解∶分兩種情況∶①當為直角邊時，；
②當為直角邊，為斜邊時，．
故選∶C．
5.如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為和，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面積為，
故選：．
6.如圖，中，，分別以、、為邊在的同側作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．若已知，則的值為（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理．過F作于D，先證明得到，再證明，得到，進一步證明，，則可證明，由此求解即可．
【詳解】解：過F作于D，連接，

∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可證，
∴．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
又，
∴四邊形是長方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故選：A．
7.在中，，，，求的長（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，過點A作于點D，然后進行分類討論：當點B和點C在兩側時，當點B和點C在同側時，根據勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：過點A作于點D，
當點B和點C在兩側時，
∵，，
∴，
在中，根據勾股定理可得：，
∴，
當點B和點C在同側時，
同理可得：，
∴，
綜上：的長為2或4，
故選：D．
8.如圖，與均為直角三角形，且，，，點E是BD的中點，則AE的長為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理，三角形全等的判定與性質．延長交的延長線于點，先證和全等，得出，，于是求出的長，在中利用勾股定理求出的長，在中利用勾股定理求出的長，即可求出的長．
【詳解】解：延長交的延長線于點，
，
∴，
，
點是的中點，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故選：B．
填空題
1.葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為 ．
【答案】2.6
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用．根據題意畫出圖形，利用圓柱側面展開圖，結合勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖所示：
，
∴這段葛藤的長．
故答案為：．
2.如圖，在平面直角坐標系中，已知、．現將折疊，使點A落在邊的點處，折痕為，其中點C在y軸上，點D在邊上，當是以CD為底的等腰三角形時，點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查直角三角形中的翻轉變換，等腰三角形的性質以及勾股定理的應用．
【詳解】解：∵是以為底的等腰三角形，
∴，，
∵以為折痕，翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
設，則，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
3.如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據已知條件得出，過點作于點，設交于點，根據三角形的面積求得，構造等腰直角三角形，進而額電池的長，即可求解．
【詳解】解：∵，設，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如圖所示，過點作于點，設交于點，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面積為2，
∴
∴，則，
在中，，
如圖所示，作關于的對稱點，連接，交于點，

∵，則是等腰直角三角形，
則，
設，則，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案為：．
4.已知中，，將它其中一個銳角沿著某條直線翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，則的長為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，分當銳角B翻折時，點B與點D重合，當銳角A翻折時，點A與點D重合，兩種情況根據折疊前后對應線段相等，在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，當銳角B翻折時，點B與點D重合，
由折疊的性質可得，
D為的中點，
，
設，則，
在中，由勾股定理得
，
解得
；
如圖，當銳角A翻折時，點A與點D重合，
由折疊的性質可得，
D為的中點，
設，則，
在中，由勾股定理得，
，
解得
故答案為：或．
5.如圖，在中，，，是等邊三角形，，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，勾股定理和角所對直角邊是斜邊的一半，過作于點，則，從而可得出，再根據等邊三角形的性質得到，最后用勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
【詳解】如圖，過作于點，則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
設，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案為：．
解答題
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理：
（1）根據證明即可得到結論；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根據勾股定理得．
【詳解】（1）∵四邊形為矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如圖，是一棵古老的大樹，其兩側各有一根斜拉的繩子，經測量，于點B，米，米，米，請你求出繩子的長．
【答案】米
【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，由可得兩個直角三角形，由米，米可得米，由米結合勾股定理即可求解．
【詳解】解：于點B，
．
米，米，
米
又米，
米．
3.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，勾股定理
（1）由線段垂直平分線的性質可得，可得，由外角的性質可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性質可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【詳解】（1）證明：線段的垂直平分線交于點，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條雙腰分割線；
（2）解：是三角形的雙腰分割線，且．
，
，
，
；
（3）解：過點作于點，
，
，
設為，
中，，
中，，
，
解得，，
．
4.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，根據題意，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
（）由，得到，由得到，根據，即可求證；
（）：過點作，證明，得到，，由勾股定理得到，根據即可求證；
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：過點作，交于點M，
∵點關于直線的對稱點為點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
5.如圖，在等腰中，，點O是的中點，邊的長為，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在O點處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板的直角邊與相交，交點為點D，另一條直角邊與相交，交點為點E，求等腰直角三角形的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段與的長度之和．
【答案】10
【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，勾股定理．
連接，根據等腰可求得，再由“三線合一”與“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得，，由 ，，得到，從而通過“”證明，得到．在等腰中，根據勾股定理求得，從而．
【詳解】連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在等腰中，點O是的中點，
∴，，
，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵在等腰中，，，
∴，即，
∴，
∴．
6.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C均在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；
(2)在直線上找一點，使得的周長最小；
(3)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)4
【分析】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理，軸對稱-最短路線問題，利用網格求三角形面積．
（1）根據軸對稱的性質即可在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；
（2）連接交直線l一點P，即可使得的周長最小；
（3）根據網格利用割補法即可求的面積．
【詳解】（1）解：如圖即為所求，
（2）如圖，點P即為所求；
（3）．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學下冊 預習篇
17.1 勾股定理
1.勾股定理
（1）文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（2）符號語言：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 ；
（3）勾股定理的變式：
3.勾股定理的應用
(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
(2)表示長度為無理數的線段；
(3)在數軸上作出表示無理數的點；
（4）勾股定理的應用： 。
①利用勾股定理解題時應注意：一要確定直角三角形；二要分清直角邊和斜邊
②勾股定理的應用條件：勾股定理只適用于直角三角形，所以常作輔助線——高，構造直角三角形。
選擇題
1.以下三組數中是勾股數的一組是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
2.如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現需用繩子裝飾，繩子從出發，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（ ）
A． B． C． D．
3.已知點M在y軸上，點，若線段的長為5，則點M的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
4.已知是某直角三角形的三邊長，若，，則下列關于c的說法中，正確的是（）
A．c的值只能為 B．c的值只能為
C．c的值為或 D．c的值有無限多個
5.如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，中，，分別以、、為邊在的同側作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．若已知，則的值為（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
7.在中，，，，求的長（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
8.如圖，與均為直角三角形，且，，，點E是BD的中點，則AE的長為（ ）
A． B． C．2 D．3
填空題
1.葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為 ．
2.如圖，在平面直角坐標系中，已知、．現將折疊，使點A落在邊的點處，折痕為，其中點C在y軸上，點D在邊上，當是以CD為底的等腰三角形時，點的坐標為 ．
3.如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

4.已知中，，將它其中一個銳角沿著某條直線翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，則的長為 ．
5.如圖，在中，，，是等邊三角形，，則 ．
解答題
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
2.如圖，是一棵古老的大樹，其兩側各有一根斜拉的繩子，經測量，于點B，米，米，米，請你求出繩子的長．
3.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
4.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數量關系，并說明理由．
5.如圖，在等腰中，，點O是的中點，邊的長為，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在O點處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板的直角邊與相交，交點為點D，另一條直角邊與相交，交點為點E，求等腰直角三角形的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段與的長度之和．
6.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C均在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；
(2)在直線上找一點，使得的周長最小；
(3)求的面積．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑