資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
八年級數(shù)學(xué)下冊 預(yù)習(xí)篇
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足d+b>ee2，那么這個三角形是直角三角形。
2.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。若a，b，c是一組勾股數(shù)，則ak，bk，ck(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù).
3.勾股定理的逆定理的應(yīng)用
運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的方法：
(1)先確定最長邊，算出最長邊的平方；
(2)計算另兩邊的平方和；
(3)比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形.
4.互逆命題
（1）一般地，如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
（2）每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。
選擇題
1.以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．
【詳解】解：A、∵，
∴三邊長為1，，，可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、∵，
∴三邊長為，3，5，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴三邊長為1，2，3，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
∴三邊長為2，3，4，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，以為邊作，且，，，，連接．連接，則下列結(jié)論：①是直角三角形；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
連接，證明為正三角形．得出，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用判定，得出，，證出，得出，則可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，
，，
為正三角形．
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
是直角三角形，
，
，
，
若，則，
由題意可知，，
故①②③正確，
故選：C．
3.在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了與三角形高有關(guān)的計算、勾股定理的逆定理，先判斷出三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積相等得到最長邊上的高，熟練運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，，
即，
滿足，
∴是以為直角的直角三角形，
設(shè)最長邊上的高為，
根據(jù)，
解得，
故選：C．
4.滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，，
∴最大角為，
不是直角三角形，
故該選項(xiàng)不符合題意；
B、設(shè)分別為，
，
，
是直角三角形，
故本選項(xiàng)符合題意；
C、，
∴不符合三角形三邊關(guān)系，
故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，
，
不是直角三角形，
故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
5.若某三角形的三邊長分別為5，12，13，則該三角形的面積是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個三角形是直角三角形．先判斷是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面積．
故選：C．
6.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和．根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷A、B、C，根據(jù)三角形內(nèi)角和可以判斷D．
【詳解】解：由，可得，則，即由線段，，組成的三角形是直角三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；
，故選項(xiàng)中的三條線段可以構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)B不符合題意；
，故選項(xiàng)中的三條線段可以構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；
，最大的，故選項(xiàng)D中的三角形不是直角三角形，符合題意；
故選：D．
7.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．
【詳解】解：A、∵，
∴線段a，b，c組成的三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，
∴線段a，b，c組成的三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴線段a，b，c組成的三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
∴線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選D．
8.兩艘輪船從同一港口同時出發(fā)，甲船時速海里，乙船時速海里，兩個小時后，兩船相距海里，已知甲船的航向?yàn)楸逼珫|，則乙船的航向?yàn)椋? ）
A．南偏東 B．北偏西 C．南偏東或北偏西 D．無法確定
【答案】C
【分析】本題考查了方位角，勾股定理逆定理，根據(jù)題意畫出圖形，然后利用勾股定理逆定理判斷出即可求解，掌握勾股定理逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向?yàn)槟掀珫|或北偏西，
故選：．
填空題
1.如圖，中，，．平分．則
（1） °；
（2）點(diǎn)到的距離為 ．
【答案】
【分析】（1）本題根據(jù)勾股定理逆定理得出為等腰直角三角形，即可求解．
（2）本題過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)證明，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，設(shè)，則，，最后結(jié)合勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：，，滿足，
，即為等腰直角三角形，
，
故答案為：．
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示
，
，
，
，
平分，且，
，
設(shè)，則，，
，有，
整理得，解得（舍去），，
．
故答案為：．
2.已知三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為 度．
【答案】30
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，再證明得到，則可證明是等邊三角形，得到，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，中，，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，且，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為30度，
故答案為：30．
3.在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
【答案】3
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：①由題意知，，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
②由題意知，，則是直角三角形，但不是符合的條件形，故不符合題意；
③由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
④由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
即符合要求的只有3個，
故答案為：3．
4.如圖，點(diǎn)是某景點(diǎn)所在位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點(diǎn)到點(diǎn)段現(xiàn)暫時封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個臨時車站，由處亦可直達(dá)處，若．則路線的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理逆定理判斷是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計算求解．
【詳解】解：是直角三角形．
理由如下：
，，，
，，，
，
是直角三角形；
，
設(shè)，則，
由勾股定理得：，
即，
解得，
．
故答案為：．
5.如圖，在中，D是邊上一點(diǎn)， ，，則的長為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理的綜合運(yùn)用：先由三邊的數(shù)值關(guān)系，得，根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵ ，
∴，
即，
故，
∴，
故答案為：4．
解答題
1.城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，求陰影部分的面積，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)逆定理說明是直角三角形，然后根據(jù)得出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：這塊可綠化的空地的面積為．
2.如圖，在中，，，，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方；垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等．
（1）根據(jù)勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求證；
（2）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，．設(shè)，則．根據(jù)勾股定理可得，列出方程求出，則，，最后根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：連接，如圖．
∵DE為線段AC的垂直平分線，
∴，．
設(shè)，則．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．
(1)圖中線段________，________，________；
(2)求證：是直角三角形．
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，化為最簡二次根式，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理，即可求解；
【詳解】（1）解：，
，
，
故答案為：；
（2）證明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形
4.在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)．連接，，延長到點(diǎn)E，使得．
(1)如圖1，延長到點(diǎn)F．使得．連接，．求證：；
(2)連接，交的延長線于點(diǎn)H．依題意補(bǔ)全圖2．若．判斷與位置關(guān)系．并證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理．
（1）利用“”證明，即可得證結(jié)論；
（2）延長至點(diǎn)M，使，延長交于G，連接，，由（1）同理可得，得到，，由，，可得，從而有，證得，進(jìn)而根據(jù)得到，得證．
【詳解】（1）在和中，
∴，
∴
（2），理由如下：
延長至點(diǎn)M，使，延長交于G，連接，，
在和中，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．
5.如圖，在中，，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，連接，， 且，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
(1)利用勾股定理直接計算求解即可．
(2) 根據(jù)勾股定理計算，根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即可．
【詳解】（1）∵，，，
∴，
故得長為5．
（2）∵，，，
且，
∴，
∴四邊形面積為：
=．
6.2021年是第七屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第一年，某小區(qū)在創(chuàng)城工作過程中，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點(diǎn)之間距離，便快速確定了．
(1)請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點(diǎn)之間的距離以及確定的依據(jù)；
(2)若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
【答案】(1)測量的是點(diǎn)，之間的距離；理由見解析．
(2)綠化這片空地共需要元．
【分析】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷；
（2）由（1）中的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再利用三角形的面積公式，最后計算費(fèi)用即可．
【詳解】（1）解：測量的是點(diǎn)，之間的距離；
依據(jù)是：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形．
（2）如圖，連接，
，，，
，
由勾股定理，得，
又，，
，
是直角三角形，
．
．
綠化費(fèi)用為：（元）．
答：綠化這片空地共需要元．
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八年級數(shù)學(xué)下冊 預(yù)習(xí)篇
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足d+b>ee2，那么這個三角形是直角三角形。
2.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。若a，b，c是一組勾股數(shù)，則ak，bk，ck(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù).
3.勾股定理的逆定理的應(yīng)用
運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的方法：
(1)先確定最長邊，算出最長邊的平方；
(2)計算另兩邊的平方和；
(3)比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形.
4.互逆命題
（1）一般地，如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
（2）每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。
選擇題
1.以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
2.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，以為邊作，且，，，，連接．連接，則下列結(jié)論：①是直角三角形；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（　　）
A． B．
C． D．
5.若某三角形的三邊長分別為5，12，13，則該三角形的面積是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
6.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
7.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8.兩艘輪船從同一港口同時出發(fā)，甲船時速海里，乙船時速海里，兩個小時后，兩船相距海里，已知甲船的航向?yàn)楸逼珫|，則乙船的航向?yàn)椋? ）
A．南偏東 B．北偏西 C．南偏東或北偏西 D．無法確定
填空題
1.如圖，中，，．平分．則
（1） °；
（2）點(diǎn)到的距離為 ．
2.已知三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為 度．
3.在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
4.如圖，點(diǎn)是某景點(diǎn)所在位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點(diǎn)到點(diǎn)段現(xiàn)暫時封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個臨時車站，由處亦可直達(dá)處，若．則路線的長為 ．
5.如圖，在中，D是邊上一點(diǎn)， ，，則的長為 ．
解答題
1.城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
2.如圖，在中，，，，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接DE．
(1)求證：；
(2)若為線段的垂直平分線，求四邊形的面積．
3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上．
(1)圖中線段________，________，________；
(2)求證：是直角三角形．
4.在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)．連接，，延長到點(diǎn)E，使得．
(1)如圖1，延長到點(diǎn)F．使得．連接，．求證：；
(2)連接，交的延長線于點(diǎn)H．依題意補(bǔ)全圖2．若．判斷與位置關(guān)系．并證明．
5.如圖，在中，，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，連接，， 且，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積
6.2021年是第七屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第一年，某小區(qū)在創(chuàng)城工作過程中，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點(diǎn)之間距離，便快速確定了．
(1)請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點(diǎn)之間的距離以及確定的依據(jù)；
(2)若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
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