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第十七章勾股定理
第十七章
勾股定理
17.1勾股定理
勾三、股
1勾股定理①②
四、弦五
B
文字語言
符號語言
變式
應用
圖示
a(勾
c(弦)
直角三角形
如果直角三角形的
3
4
c=Va2+b2,
A
兩直角邊的兩條直角邊長分別
a2=c2-b2,
Cb(股)A
a=Vc2-b2
b
平方和等于
為a,b,斜邊長為
b2=c2-a2
a
B
①勾股定理.
斜邊的平方c,那么a2+b2=c2
b=Vc2-a2
利用勾股定理解題時應注意：
要確定直角三角形；二要分清直角邊和斜邊】
2勾股定理的應用
a
勾股定理是直角三角形的一個重要性質，它把三角形有一個直角的
“形”的特點轉化為三邊“數”的關系.勾股定理的使用范圍是在直
c a
角三角形中，因此要應用勾股定理，必須先構造直角三角形，作高是
e
b
常用的構造直角三角形的方法.其主要應用如下：
割補、拼接
1.已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；
b
2.已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關系；
3.證明包含有平方（算術平方根）關系的幾何問題；
4.構造方程（或方程組）計算有關線段的長度，解決生產、生活中的實
際問題
e
6
②勾股定理的證明方法
3利用勾股定理作長為√n(n為大于1的整數)的線段
是面積法，即幾何圖形經
1.畫出Vn的線段
2.在數軸上表示Vn
過割補拼接后，只要沒有
重疊，沒有空隙，面積就
不會改變，再利用面積公
式進行計算論證
0
1V32
3
利用勾股定理，可以作出長
在數軸上可以畫出表示VT,
為V2,V3,V5,…的線段
V2,V√了，…的點
83
八年級下
17.2勾股定理的逆定理
命題題設、結論
逆命題
互換
正確
正確
1互逆命題與互為逆定理
定理
逆定理
1.如果兩個命題的題設、結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命
題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題
①定理和逆定理首先要
每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將原命題的題設和結論調換
保證自身都是真命題，
即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用，
2.一般地，如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一
如何判斷三角形是
個定理，稱這兩個定理互為逆定理.①
否為直角三角形呢？
2勾股定理的逆定理
用量角
1.勾股定理的逆定理②
器量角，
如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這
個三角形是直角三角形.如圖，△ABC中，a2+b2
計算三邊長滿
=c2,∴.△ABC為直角三角形，且∠C=90°
e
n
足a2+b2=c2就好！
2.運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的方法
2有一個角等于90°或
。先確定最長邊，算出最長邊的平方并計算另兩邊的平方和；
三邊關系滿足a2+b2=c2的
。比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三
三角形是直角三角形，
角形為直角三角形
典例（長沙中考）我國南宋著名數學家秦九韶的著作《數書九章》里
規律方法
記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十
首先根據勾股定理的逆
二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙
定理判斷一個三角形是
田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中
不是直角三角形；若是，
的“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為(
則利用直角三角形面積
A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米
公式求解
解析：由題意可得52+122=169=132，.該三角形是直角三角形
5里=2500米=2.5千米，12里=6000米=6千米，
32+42=52
該沙田的面積為x2.5x6=7.5(平方千米)，故選A
62+82=102
2
答案：A
3
52+122=132
72+242=252
3勾股數
能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.③若α，
③常見的勾股數.
b,c是一組勾股數，則ak,bk,ck(k是正整數)也是一組勾股數
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