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第十六章二次根式
第十六章」
二次根式
16.1二次根式
我是二
1二次根式的概念
我也是二
次根式
次根式
1.二次根式的概念
一般地，我們把形如Va(a>0)的式子叫做二次根式，“√廠”稱為二
次根號.①“V√一”的根指數是2，一般省略不寫.形如bv√a(a≥0)的
式子也是二次根式.如V2,3√2，√9都是二次根式.二次根式中的
①判斷一個式子是不是
被開方數既可以是一個數，也可以是一個含有字母的式子
二次根式，只看它的初始
的外在形態，不看它計算
2.二次根式有意義的條件
被開方數大于或等于0，即a≥0是Va有意義的前提條件.在具體問
或化簡的結果.如√5，
題中，如果已知二次根式√a,就意味著給出α>0這一隱含條件
V4,9都是二次根式.
典例（彈坊中考）若代數式V+工有意義，則實數x的取值范固
(x-3)2
是(
A.x≥-1
B.x>-1且x≠3
C.x>-1
D.x>-1且x≠3
[x+1≥0，
有了2在頭上保護，
解析：根據題意得
解得x≥-1且x≠3.故選B.
x-3≠0，
正數、負數、0隨我選
答案：B
2二次根式的性質
1.Va0(a≥0).即一個非負數的算術平方根是非負數
出了根號還有絕
2.(Va)2=a(a≥0).即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身
對值保護，真好！
a(a>0),
3.Va=a=0(a=0),
2在外面就保護不了我
-a(a<0)
了，我只能取非負數。
即一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值
4.式子a與(Va)的異同點
意義
字母a的取值范圍
運算結果
聯系
當a為非負
2(Va)2(a≥0)與Va2本
√a②
Va.a
a可為任意實數
a
數時，兩者
身都是非負數，且當a>0
的結果是
時，(Va)2=va
(va)2②
Va.Va
a>0
a
一樣的
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八年級下
3代數式
用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數或
來我家
你家的戶型跟
我家一樣呢
表示數的字母連接起來的式子叫做代數式
玩吧
瓜*/瓜=a8
16.2
二次根式的乘除
①(1)a,b可以是數或含
有字母的代數式，運用時
1二次根式的乘法法則
注意它們的取值范圍.
Va·V=Vab(a≥0，b≥0).即兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，
(2)a·Vb·c·a
根指數不變.①
abca(a>0,b>≥0，c≥0，d≥
2二次根式乘法法則的逆用
0).
Vab=√aV石(a>0,b>0).即積的算術平方根等于積中各因數或因
式的算術平方根的積.利用它可以進行二次根式的化簡，在進行二
次根式的化簡計算時，先將被開方數進行因式分解或因數分解，然
★整式部分相乘
后再將能開得盡方的因式或因數開方后移到根號外
avb.cVd=ac.Vb.d
典例（河北中考）計算：V√⑧×
根式部分相乘
1
解析：V⑧×
8×5=V4=2
答案：2
別人幫不了你，
只能靠自己！
3二次根式的除法法則
誰來幫我把
答一骨如0b0:期兩個二次根式相除，把放開方數相除，根指
「“√廠”去掉響！
數不變.
我也有份，
6
4二次根式除法法則的逆用
2
_Va(a20,>0).即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除
b b
還是要靠自己
以除式的算術平方根.利用它可以進行二次根式的化簡，在化簡被開
②常用的有理化因式：
方數是分數（或分式）的二次根式時，先將其化為Va(a≥0，b>0)的形
Va與Va;
Va+b與Va+b;
式，然后利用分式的基本性質，分子和分母同乘一個適當的因式，化去
a+Vi與Va-Vb;
分母中的根號即可.在二次根式的運算中，最后結果一般要求分母
aVi+cvd與aVi-cva.
中不含二次根式.把分母中的根號化去的過程稱為分母有理化.②
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