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八年級上
第七章
平行線的證明
1為什么要證明
證明的必要性
實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確.因此，要判
鐵絲比赤
道長1m.
我的拳頭能
斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是不夠的，必
放進(jìn)去嗎？
須進(jìn)行有根有據(jù)的證明
典例我們知道：32-12=8,52-32=16=2×8,72-52=24=3×8,92-7=32=4×8，
顯然它們都能被8整除，那么任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的
倍數(shù)嗎？如果是，請你寫出你的推理過程；如果不是，說明理由
★把地球看成球形，用一
解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n-1,2n+1(其中n為正整數(shù))，則(2n+1)2
根比地球赤道長1m
(2n-1)2=(2n)2+4n+1-(2n)2+4n-1=8n.因?yàn)閚是正整數(shù)，所以8n一定是
的鐵絲將地球赤道圍
8的倍數(shù)，即任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)
起來，鐵絲與地球赤
道之間的間隙能放進(jìn)
2
定義與命題
一個(gè)拳頭.這需要證明」
1定義與命題的概念
1.定義：對名稱和術(shù)語的含義加以描述，并作出明確的規(guī)定，也就是給
出它們的定義：
2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.反之，如果一個(gè)句子沒有對
某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題，
一切按我的規(guī)則來，
馬走日，象走田！
2命題的結(jié)構(gòu)與真假
1.命題的結(jié)構(gòu)
一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項(xiàng)，
結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).命題通常可以寫成“如果…那
么…”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部
仕帥仕
分是結(jié)論
★“馬走日，象走田”是可
2.真命題、假命題
以判斷真假的象棋規(guī)
正確的命題稱為真命題.對于真命題來說，當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論一
則，是命題，且是真命
定成立.不正確的命題稱為假命題.對于假命題來說，當(dāng)條件成立
題.
時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，
3.反例
要說明一個(gè)命題是假命題，常常可以舉出一個(gè)例子，使它具備命題
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第七章'平行線的證明
的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例
典例1（襄陽中考)下列命題錯(cuò)誤的是().
錢是萬能的
A.所有的實(shí)數(shù)都可用數(shù)軸上的，點(diǎn)表示B.等角的補(bǔ)角都相等
C.無理數(shù)包括正無理數(shù)，0，負(fù)無理數(shù)D.兩點(diǎn)之間，線段最短
解析：0不是無理數(shù)，無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)
答案：C
典例2（廈門中考)已知命題A:任何偶數(shù)都是8的整數(shù)倍.在下列選
我就是個(gè)反例！
項(xiàng)中，可以作為“命題A是假命題”的反例的是(
我有很多錢，可
A.2k
B.15
C.24
D.42
買不來健康
解析：42是偶數(shù)，但42不是8的倍數(shù)，故選D,
★要說明一個(gè)命題是假
答案：D
命題，舉一個(gè)反例即可
3公理、定理與證明
1.公認(rèn)的真命題稱為公理.除了公理外，其他命題的真假都需要通過
演繹推理的方法進(jìn)行判斷
演繹推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.每個(gè)定理
都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來證明
初中教科書把如下基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)：
。兩點(diǎn)確定一條直線
。兩點(diǎn)之間線段最短
。同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
★歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)
。兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線
家，編寫了《原本》一書.
平行.（簡述為：同位角相等，兩直線平行)
·過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行：
。兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
。兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，
。三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
2.在證明命題時(shí)，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)和不
等式的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).“在等式或不等式中，一個(gè)
量可以用它的等量來代替”，簡稱為“等量代換”
3.常用定理
Q定理：同角（等角）的補(bǔ)角相等
。定理：同角（等角）的余角相等
。定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊
。定理：對頂角相等
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