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第二章二次函數
第二章
二次函數
1二次函數
二次項一次項
■二次函數的概念
系數a≠0系數
常數項
1.概念：一般地，若兩個變量x,y之間的對應關系可以表示成y=ax2+
←
bx+c(a,b,c是常數，a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數
y=axkxt
2.二次函數值：已知二次函數的表達式，計算它的函數值，只需將自變
★自變量的最高次數是
量x所取的值代入表達式中，計算出結果
2;二次項系數不能為
0,而一次項系數、常
2二次函數的圖象與性質
數項可以為0；函數的
表達式是整式
1二次函數y=ar和y=a(x-h)2+k的圖象與性質
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y個x=h
圖象
0xo
a>0a<0
a>0
a<0
個y
a>0,開口向上，并向上無限延伸；
開口方向
a<0,開口向下，并向下無限延伸
1y=-2x2
開口大小
|a越大，開口越小；a越小，開口越大
對稱軸
直線x=0(y軸)
直線x=h
★噴泉噴出的水柱類似
頂點坐標
(0,0)
(h,k)
于拋物線形狀
x>0時，即在對稱軸的右
x>h時，即在對稱軸的右側，y
側，y的值隨x值的增大而
的值隨x值的增大而增大
增大(a>0時)或減小(a<0
最高點
(a>0時)或減小(a<0時)
時)
增減性
x<0時，即在對稱軸的左
x側，y的值隨x值的增大而
的值隨x值的增大而減小
減小(a>0時)或增大(a<0
(a>0時)或增大(a<0時)
時)
★投籃時，籃球的運動軌
a>0時，二次函數有最小a>0時，二次函數有最小值，
跡類似于拋物線形狀.
值，即當x=0時，y小值=0；
即當x=h時，y最小值=k;
最值
a<0時，二次函數有最大
a<0時，二次函數有最大值，
值，即當x=0時，y最大值=0
即當x=h時，y最大值=k
143
九年級下
典例（泰安中考）對于拋物線)=子x+1)43,下列結論：①拋物線的
開口向下；②對稱軸為直線x=1;③頂點坐標為(-1,3)④x>-1時，y隨
x的增大而減小.其中正確結論的個數為(
).
a>0,c<0a<0,c>0
A.1
B.2
C.3
D.4
★拋物線y=ax2+bx+c(a≠
解折：鄭物線+13中，a=
20,故開口向下，①正確」
0)與y軸交點在x軸上
方（即交于y軸正半
對稱軸為直線x=-1,②錯誤，
軸)時，c>0;反之，c<0.
頂，點坐標為(-1,3)，③正確
故可記為“a看開口，c
當x>-1時，y隨x的增大而減小，④正確.綜上，①③④正確
看截距”
答案：C
2二次函數y=ax2+b.x+c的圖象與性質
函數
y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)
類別
a>0
a<0
>
b
b
對稱軸在左邊，
2a
X=一
↑y
2a
圖象
0
咱倆同號.
★、
<0→6>09a,b
開口方向
2a
2a
向上
向下
同號.
b
對稱軸
直線x=
2a
b 4ac-b2
頂點坐標
2a'
4a
當x<-
時，y的值隨x值的
當x<
b
2a
時，y的值隨x值的
2a
00
增減性
增大而減小；當>
b
時，y
2a
增大而增大；當x>
時，y
2a
的值隨x值的增大而增大
的值隨x值的增大而減小
6<0
b
最值
當x=
4ac-b2
b
時，y最小值
當x=
4ac-b2
2a
Aa
時，y最大值
2a
Aa
對稱軸在右邊，
b
咱倆異號
因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=
,當對稱軸在y軸左
2a
0，即會0，所以a與6同號：反之與6異號，放可記為
一
b
0戶
側時，一
a
b<0→a,b
異號
“左邊同號，右邊異號(a與b)”
144

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