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第一章勾股定理
第一章
勾股定理
1探索勾股定理
1勾股定理
勾三、股
1.勾股定理
四、弦五，
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平
A
方.如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩
B
6
5
a(勾)3
c(弦)》
直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2
2.勾、股、弦：古代把直角三角形中較短的直角
a
ch
A
b(股)
a2+b2=c2.
邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦
2勾股定理的驗證
A
bP a D
a
cc
6
1.方法一：如圖1，正方形ABCD的面積=4個直角三角形的面積+正方
Q
形PQRS的面積，
b
e
所以(a+6)rab4+e,所以+2ab+h=2atc.,故+=d
B a R b C
圖1
2.方法二：如圖2，甲的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積.
a
a
b
b
丙b
C
如圖3，乙和丙的面積和=大正方形的面積-4個直角三角形的面積
甲
6
因為圖2和圖3的面積相等，
6
6
a
所以甲的面積=乙的面積+丙的面積.
圖2
圖3
3勾股定理的簡單應(yīng)用
已知直角三角形任意兩邊的長度，利用勾股定理可以求出第三邊
的長度
對于不能直接用勾股定理解決的問題，可以通過添加輔助線的方
法構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答
典例（濟南中考）如右圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端
剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8處，發(fā)現(xiàn)此時繩子
末端距離地面2m.則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為(
29
A.12m
B.13m
C.16m
D.17m
解析：如圖所示，作BC⊥AE于點C,則BC=DE=8,設(shè)AE=x,
則AB=x,AC=x-2,在Rt△ABC中，AC+BC=AB2,即(x-2)2+
82=x2,解得x=17.
答案：D
E
D
67
八年級上
2一定是直角三角形嗎
1直角三角形的判別條件及步驟
這是個直角三角形，
1.直角三角形的判別條件（勾股定理的逆定理）
我治水時就用這個
如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三
A
角形是直角三角形.如圖，在△ABC中，如果AC+BC
(1)(13)
(12)
=AB,那么△ABC就是以∠C為直角的直角三角形
(2)
a
(11)
2.判斷直角三角形的步驟
(3)
(10)
(9)
(4)00
。確定最大邊并算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
-00
(5)(6)(7)(8
。比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明
★相傳，我國古代大禹治
是直角三角形，否則，不是直角三角形
水測量工程時，也用類
典例（濱州中考）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(
似的方法確定直角」
A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.2,3,4
D.1,V2,3
解析：只有選項B中，兩較短線段的平方和等于最長線段的平方，即
1.52+2=2.52,所以選項B中的三條線段可以構(gòu)成直角三角形.
答案：B
★由定義可知，一組數(shù)是
勾股數(shù)必須滿足兩個
2勾股數(shù)
條件：一是滿足a2+b2=
1.定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)
c2;二是都是正整數(shù)，
2.常見的勾股數(shù)有：3,4,5；6,8,10：5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,12,15
二者缺一不可.
3勾股定理的應(yīng)用
置立體圖形上兩點間的最短距離
1.求立體圖形中最短路線的問題，通常是將立體圖形展開，轉(zhuǎn)
B自
B
化為平面圖形，或者將曲面轉(zhuǎn)化為平面，然后運用“兩點之
側(cè)面
間，線段最短”，并結(jié)合勾股定理求解
A
展開圖
2.圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，過圓柱上底面圓周上任
★螞蟻要吃到蜂蜜的最
一點沿著側(cè)面作一條垂直于下底面的線段，沿著這條線段剪開圓
短路線長是圓柱的側(cè)
柱，然后展開側(cè)面，即得到一個長方形，然后依據(jù)“兩點之間，線段最
面展開圖中線段AB的
短”，以最短路線為邊構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解
長度
3.棱柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，沿著棱柱的任意一條側(cè)棱剪開，
它的側(cè)面展開圖是長方形，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解
決問題
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