資源簡介

考點14 相交線 平行線
利川銅鑼壩中學 王明利
知識概要
1. 直線、射線、線段
(1)區別與聯系
線段有兩個端點,射線有一個端點,直線沒有端點.線段和射線是直線的一部分.
(2)性質:
①經過兩點有且只有一條直線.
②兩點之間的所有連線中,線段最短.
③線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
(3)兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離.
(4)線段的中點;點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM,點M叫做線段AB的中點.這時AM=BM=AB.
2. 角
(1)概念:角是由兩條具有公共端點的射線組成,兩條射線的公共端點是這個角的頂點.
(2)角的平分線:從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.:
(3)角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
3. 余角、補角、對頂角
(1)概念:
余角:如果兩個角的和是直角,那么稱這兩個角互為余角.
補角:如果兩個角的和是平角,那么稱這兩個角互為補角.
對頂角:有公共頂點,它們的兩邊互為反向延長線,這樣的兩個角叫做對頂角.
(2)性質:
①同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等.
②對頂角相等.
4. 垂直
(1)概念:如果兩條直線相交成直角,那么這兩條直線互相垂直.互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足.
(2)性質:平面內,有且只有一條直線和已知直線垂直.
5. 平行線
(1)判定:
①同位角相等,兩直線平行;
②內錯角相等,兩直線平行;
③同旁內角互補,兩直線平行;
④如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.
(2)性質:
①兩直線平行,同位角相等;
②兩直線平行,內錯角相等;
③兩直線平行,同旁內角互補;
④經過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行.
6． 基本作圖：只用沒有刻度的直尺和圓規作圖稱為尺規作圖.
范例解釋
例1 （2008湖北十堰）如圖，C、D是線段AB上兩點，若CB＝4cm，DB=7cm，且D是AC的中點，則AC的長等于( )
A．3cm B．6cm
C．11cm D．14cm
解 CD=DB－CB=3㎝,由線段的中點定義可知AC=2CD=6㎝,故選B.
點評 結合圖形,根據線段的中點定義即可求解.
例2 （2008湖北襄樊）如圖，在銳角內部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；……照此規律，畫10條不同射線，可得銳角 個．
解 這是一道規律探索題,根據給出的條件尋找規律
畫射線的條數
1
2
3
…
n
銳角個數
3
6
10
…
所以當n=10時, =66.故答案為66.
點評 表面上看,這是一道與銳角和射線有關的考題,實質是一道規律探索題.認真觀察圖形,發現幾何圖形的結構特征,找出畫射線的條數與銳角個數之間的關系是解題的關鍵.
例3 (2008湖北十堰）如圖，直線AB、CD相交于點O，，垂足為O，如果，則 ．
解 ∵ ,
∴∠DOB=90o－42o=48o
∴∠DOB=48o
點評 有關圖形的角的計算問題，首先要從圖形
中讀出具有度量關系的角：如互余、互補、對頂角等
，然后合理利用相關的計算技巧求解.本題考查了垂
直、互余、對頂角的定義,做題時注意避免出現把∠AOC與∠EOD看作對頂角這樣的錯誤.
例4 (2008湖北孝感）如圖,，分別在上，為兩平行線間一點，
那么（ ）
A． B． C． D．
解 過點P作PE∥a,則PE∥a∥b
∴∠1＋∠MPE=180o ∠EPN＋∠3=180o
∴∠1＋∠2＋∠3=360o
故選C
點評 作平行線是解幾何題的一種重要輔助線,利用平行
線的性質可使很多問題迎刃而解.本題還有其它解題方法,比如連結MN,利用平行線的性質和三角形的內角和定理也可求解.我們在解題時要靈活運用所學知識,同時也要選擇最佳解答策略.
例5（2008湖北十堰）如圖，點E在AD的延長線上,下列條件中能判斷BC∥AD的是
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180°
C．∠1=∠2 D．∠A＝∠5
解 由∠3=∠4,根據內錯角相等,兩直線平
行,得AB∥CD;由∠A+∠ADC=180°根據同旁內角
互補,兩直線平行,得AB∥CD;由∠1=∠2,根據內
錯角相等,兩直線平行,得BC∥AD;由∠A＝∠5,根據
同位角相等,得AB∥CD.故應選C.
點評 判斷兩直線平行可利用同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補來論證.解答本題時要弄清同位角、內錯角、同旁內角它們的位置關系,也就是它們是由哪兩條直線被第三條直線所截.
鞏固訓練
一、選擇題
1. (2006河南)下列說法正確的是( )
A. 不相交的兩條直線是平行線
B. 同一平面內,不相交的兩條射線叫做平行線
C. 同一平面內,兩條直線不相交就重合
D. 同一平面內,沒有公共點的兩條直線是平行線
2. （2008浙江省義烏）已知、互余，比大.設、的度數分別為、，下列方程組中符合題意的是( )
A． B． C． D．
3. （2008浙江杭州）設一個銳角與這個角的補角的差的絕對值為，則( )
A. 0°<<90° B. 0°<≤90°
C. 0°<<90°或90°<<180° D. 0°<<180°
4. (2008湖北黃石）如圖，，和相交于點，
，，則等于（ ）
A． B． C． D．
5. （2008湖北天門）如圖，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，
則∠3的度數是（ ）
A、75° B、65° C、55° D、50°
6. （2008湖北荊州）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，
下列結論：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；
（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，
其中正確的個數是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
7.（2008山東煙臺）如圖，小明從A 處出發沿北
偏東60°向行走至B處，又沿北偏西20°方
向行走至 C 處，此時需把方向調整到與出發
時一致，則方向的調整應是（ ）
A、右轉80° B、左傳80°
C、右轉100° D、左傳100°
二、填空題
8. （2008陜西省）若∠α＝43°，則∠α的余角的大小是 .
9. (2008安徽)如圖，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，則∠3= __________。
10. (2008河南省)如圖,直線l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度數是 ．
11. (2008江蘇蘇州)某校初一年級在下午3：00開展“陽光體育”活動．下午3：00這一時刻，時鐘上分針與時針所夾的角等于 度.
12.（2008浙江省義烏）如圖，若，與
分別相交于點,與的平
分線相交于點，且，
度．
13. （2008浙江溫州）如圖，點在射線上，點在射線上，且，．
若，的面積分別為1，4，
則圖中三個陰影三角形面積之和為 ．
三、解答題
14. 計算:
(1)25o20′＋44o56′ (2)90o－27o18′25″
(3)20o20′×4 (4)44o37′÷3
15.（2008浙江杭州）如圖，已知∠α，∠β，用直尺和圓規
求作一個∠γ，使得
（只須作出正確圖形，保留作圖痕跡，不必寫出作法）
16.（2008浙江紹興）學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點 分別在正三角形的邊上，且，交于點．求證：．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“”與“”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點分別移動到的延長線上，是否仍能得到？
③若將題中的條件“點分別在正三角形的邊上”改為“點 分別在正方形的邊上”，是否仍能得到？
……
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：① ；② ；③ ．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．
單元測試
一、選擇題(第小題3分,共36分)
1. （2008浙江湖州）已知，則的余角的度數是（ ）
A． B． C． D．
2. (2008貴州貴陽)如圖，在平行四邊形中，是
延長線上的一點，若，則的度數為（ ）
A．120o B．60o C．45o D．30o
3. （2008浙江省）如圖，量角器外緣邊上有三點，
它們所表示的讀數分別是，，，
則的大小為（ ）
A． B． C． D．
4. (2008河南省）如圖，是中國共產主義青年團團旗上的圖案，
點A、B、C、D、E五等分圓，則
等于（ ）
A. B. C. D.
5. (2008湖北襄樊）如圖1，已知與相交于點，
，如果，，則
的大小為（ ）
A． B． C． D．
6. （2008湖北宜昌）如圖，將三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，
∠C＝90°）繞B點按順時針方向轉動一個角度到A1BC1
的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角
度等于（ ）．
A．120° B．90° C．60° D．30°
7. （2008四川資陽）如圖2，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列說法正確的是
A．α的余角只有∠B
B．α的鄰補角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角
D．α與∠ACF互補
8. （2008湖北十堰）如圖，在ΔABC中，
AC=DC=DB，∠ACD=100°，則∠B等于
A．50° B．40° C．25° D．20°
9. (2008山東聊城）如圖，，
那么（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
10.（2008青海西寧）如果和互補，且，則下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
11.（2008四川樂山）如圖，直線與相交于點，
，若，則（ ）
A．56° B．46° C．45° D．44
12.（2008浙江紹興）將一張紙第一次翻折，折痕為（如圖1），第二次翻折，折痕為 （如圖2），第三次翻折使與重合，折痕為（如圖3），第四次翻折使與 重合，折痕為（如圖4）．此時，如果將紙復原到圖1的形狀，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題(每小題3分,共30分)
13.（2008河南省）如圖，直線a,b被直線c所截，若a∥b，，則
14.（2008湖北荊門）如圖，l∥l,∠α=__________度．
15.（2008湖北恩施）如圖,在Rｔ△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足.在不添加輔助線的情況下,請寫出圖中一對相等的銳角: .
(只需寫出一對即可)
16.（2008湖北咸寧）如圖，AB∥CD，∠C＝65o，CE⊥BE ，
垂足為E，則∠B的度數為 ．
17.（2008四川資陽）如圖，在地面上有一個鐘，鐘面
的12個粗線段刻度是整點時時針(短針)所指的位置．
根據圖中時針與分針（長針）所指的位置，該鐘面所
顯示的時刻是______時_______分．
18.（2008浙江麗水）如圖，以點為為旋轉中心，將
按順時針方向旋轉，得到．若，
則= 度．
19.（2008青海西寧）如圖，將一副三角板折疊放在一起，使直
角的頂點重合于點，則 ．
20.（2008湖南邵陽）如圖，與相交于點，
，，則 ．
21. （2008湖北孝感）如圖，，，
的垂直平分線交于點，那么 ．
22. （2008湖南邵陽）如圖，已知中，
，平分，點為的中點，
請你寫出一個正確的結論： ．
三、解答題(共54分)
23. (10分)（2008浙江衢州）如圖，AB∥CD
(1)用直尺和圓規作的平分線CP，CP交AB于點E(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)中作出的線段CE上取一點F，連結AF。要使△ACF≌△AEF，還需要添加一個什么條件？請你寫出這個條件(只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明)。
24. (10分) (2006河北省)如圖所示，一段街道的兩邊緣所在直線分別為AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直線MN⊥AB于點M，交PQ于點N．小亮從勝利街的A處，沿著AB方向前進，小明一直站在點P的位置等候小亮．
（1）請你在圖10中畫出小亮恰好能看見小明時的視線，以及此時小亮所在位置（用點C標出）；
（2）已知：MN=20?m，MD=8?m，PN=24?m，求（1）中的點C到勝利街口的距離CM．
25. (10分) (2007貴陽市)如圖12，平面內有公共端點的六條射線，，，，，，從射線開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射線 上．
（2）請任意寫出三條射線上數字的排列規律．
（3）“2007”在哪條射線上？
26. (12分)(2007安徽省)探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數)，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：
當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S=2；
當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，，2，，2五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5。
觀察圖形，填寫下表：
釘子數(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2＋3＋( )
5×5
( )
寫出(n－1)×(n－1)和n×n的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系；(用式子或語言表述均可)
(3)對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式。
27. (12分)(2005年烏蘭察布市)如圖（1），將射線OX按逆時針方向旋轉角，得到射線OY，如果點P為射線OY上一點，且OP=a，那么我們規定用（，）表示點P在平面內的位置，并記為P（，）。例如圖（2）中，如果OM=8，XOM=100°，那么點M在平面內的位置記為M（8，100°），據此回答下列問題:
(1)在圖(3)中,如果點N在平面內的位置內的位置記為N(6,30°)那么
那么ON= ∠XON= 。（此問得分按一空算）
（2）圖4中若點A 、B在平面內的位置分別計為A（4，45°）、B（4，75°）則線段AB長為 。
附：參考答案
鞏固訓練
1～7 BCBCBDA 8. 47o 9. 70o 10. 56o 11. 90o 12. 60o 13. 10.5
14.(1)70o16′(2)62o41′35″(3)81o20′(4)14o52′20″
15. 作圖如下, 即為所求作的.
16. 解：（1）證明：，，，
，
，
．
（2）①是；②是；③否．
②的證明：如圖，
，，，
，
，
，
．
③的證明：如圖，
，，
，
．又，
，
，即．
單元測試
1～12 ABBBBADDABBB 13. 50o 14.35o 15. ∠1=∠B或∠2=∠C 16. 25o 17. 9,12
18. 40o 19. 180o 20. 36o 21. 60o 22.答案不唯一
23. 解：(1)作圖略；
(2)取點F和畫AF正確(如圖)；
添加的條件可以是：F是CE的中點；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(選一個即可)
24. 解：（1）如圖1所示，CP為視線，點C為所求位置．
（2）∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
??∴∠CMD=∠PND=90°．
又∵??∠CDM=∠PDN，
∴ △CDM∽△PDN，
∴ ．
∵MN=20m，MD=8m，∴ND=12m．
∴， ∴CM=16（m）．
∴點C到勝利街口的距離CM為16m．
25. （1）“17”在射線上．
（2）射線上數字的排列規律：射線上數字的排列規律：射線上數字的排列規律：
射線上數字的排列規律：
射線上數字的排列規律：
射線上數字的排列規律：
（3）在六條射線上的數字規律中，只有有整數解．解為
“2007”在射線上．
26. 解：（1）4，2＋3＋4＋5（或14）
（2）類似以下答案均給滿分：（i）n×n的釘子板比(n－1)×(n－1)的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種；（ii）分別用a，b表示n×n與(n－1)×(n－1)的釘子板中不同長度的線段種數，則a=b＋n.
（3）S=2＋3＋4＋…＋n
27. 略

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