資源簡介

5.3.2課時1函數的極值 第一練 練好課本試題
3.2課時1函數的極值
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會根據圖象判斷極值點，培養直觀想象，如第3題.
2.會求函數的極值，培養運算求解能力，如第4題.
3.能利用函數的極值求參數的取值范圍，鍛煉邏輯推理能力，如第5題.
一．解答題
1．判斷函數是否有極值，并說明理由．
2．函數的導函數的圖象如圖所示，試找出函數的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點．
3．求下列函數的極值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
4．已知函數在處有極大值，求c的值．
5．已知函數在取得極值，求a的值．
6．設函數有極值，求a的取值范圍，并求出函數的極值點．
【易錯題目】第5，6題
【復盤要點】利用函數的極值求參數值或參數的取值范圍
【復盤訓練】
（2024·全國·模擬預測）
7．已知三次函數的極小值點為，極大值點為，則等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函數的圖象與軸恰有兩個公共點，則
A．或2 B．或3 C．或1 D．或1
9．若a＞0，b＞0，且函數f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
10．設函數，若的兩個極值點為，且，則實數a的值為 .
11．已知有極大值和極小值，則a的取值范圍為
（2024上·廣東潮州·期末）
12．若函數在上有極值，則實數的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．沒有極值.
【分析】由導函數判斷函數是否有極值.
【詳解】定義域為，恒成立，而要想有極值，必須在某點導函數為0，且在該點的左右兩邊導函數異號，所以函數沒有極值.
2．是函數的極值點，是極大值點，是極小值點.
【分析】根據極值點的導數為0，點的導數都為零，且這兩點左右兩側的導數值異號.
【詳解】因為點的導數都為零，且這兩點左右兩側的導數值異號，所以是函數的極值點；又因為時，，時，，所以是極大值點；
因為時，，時，，所以是極小值點.
3．（1）極小值為，無極大值；（2）極小值為，極大值為；.
（3）極小值為，極大值為；（4）極小值為，極大值為.
【分析】求寫出定義域，求出導函數，研究單調性，用列表法求出極值.
【詳解】（1）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x
- 0 +
↘ ↗
所以函數的極小值為，無極大值.
（2）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -3 3
+ 0 - 0 +
↗ 54 ↘ -54 ↗
所以函數的極小值為，極大值為..
（3）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -2 2
- 0 + 0 -
↘ -10 ↗ 22 ↘
所以函數的極小值為，極大值為..
（4）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -1 1
- 0 + 0 -
↘ -2 ↗ 2 ↘
所以函數的極小值為，極大值為.
4．6
【分析】由已知函數在處有極大值，則必有(2)，且在的左側附近，右側附近，據此即可求出的值．
【詳解】解：，且函數在處有極大值，
(2)，即，解得或2．
經檢驗時，函數在處取得極小值，不符合題意，應舍去．
故．
故答案為：6．
5．0
【分析】求出函數的導函數，依題意，即可求出參數的值，再代入檢驗即可；
【詳解】解：因為，所以，因為在取得極值，所以，此時，所以，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以時，取得極小值，所以；
6．，極大值點為，極小值點為.
【分析】求出函數的導函數，再根據極值的定義分和兩種情況討論即可得出答案.
【詳解】解：，
當時，，所以函數在上遞增，沒有極值；
當時，令，則，
當或時，；當時，，
所以函數在和上遞減，在上遞增，
所以函數的極大值點為，極小值點為，所以.
7．A
【分析】利用導數與及極值點間的關系，結合條件即可求出結果.
【詳解】由題意，得，關于x的一元二次方程的兩根為b，2b，
又極小值點為，極大值點為，所以，即，
由韋達定理得到，所以，，得到．
故選：A．
8．A
【分析】利用導數判斷函數的單調性求出極值點為，利用或可得結果.
【詳解】因為,所以f(x)的增區間為,減區間為,所以的極大值為，極小值為，因為函數的圖象與軸恰有兩個公共點,所以只須滿足或，即或,故選A.
【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的極值以及函數的零點，屬于中檔題.對于與“三次函數”的零點個數問題，往往考慮函數的極值符號來解決,設函數的極大值為 ，極小值為 ：一個零點或；兩個零點或；三個零點且.
9．D
【詳解】試題分析：求出導函數，利用函數在極值點處的導數值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b
又因為在x=1處有極值
∴a+b=6
∵a＞0，b＞0
∴
當且僅當a=b=3時取等號
所以ab的最大值等于9
故選D
點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
10．9
【分析】由題意得，進一步結合韋達定理以及即可求解.
【詳解】，由已知，從而，
所以，經驗證此時，符合題意.
故答案為：9.
11．
【分析】求導得出，然后根據題意得出，最后通過計算即可得出結果.
【詳解】∵，
∴，
因為函數既有極大值，又有極小值，
所以，
解得或，
故的取值范圍為.
故答案為：.
12．
【分析】由題意可得在上有變號零點，即在上有實數根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.
【詳解】的定義域為，，
要函數在上有極值，
則在上有變號零點，即在上有實數根，且不能為相等實根.
令，
則，當且僅當時等號成立，
所以.
當時，，函數單調遞增，
則函數在上沒有極值，
故.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.3.2課時1函數的極值 第一課 解透課本內容
5.3.2課時1函數的極值
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1.借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.
2.能利用導數求某些函數的極大值、極小值.
[明確任務]
1.能利用導數求某些函數的極大值、極小值.【數學運算】
2.能利用極值點、極值求解相關問題.【數學運算，直觀想象】
（1）在區間(a，b)內函數的導數與單調性有如下關系：
導數 函數的單調性
f′(x)>0 單調遞增
f′(x)<0 單調遞減
f′(x)＝0 常函數
（2）在區間(a，b)內函數的單調性與導數有如下關系：
函數的單調性 導數
單調遞增 f′(x)≥0
單調遞減 f′(x)≤0
核心知識點1：函數的極值與導數
1．極小值點與極小值
若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都小，；而且在點附近的左側，右側，則把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值．
解讀： ①特征：函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都小，并且．
②符號：在點附近的左側，右側．
③結論：叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值．
2．極大值點與極大值
若函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都大，；而且在點附近的左側，右側，則把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值．
解讀:
（1）①特征：函數在點處的函數值比它在點附近其他點處的函數值都大，并且．
②符號：在點附近的左側，右側．
③結論：叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值．
極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
（2）導數值為0的點不一定是該函數的極值點．例如，對于函數，有，顯然，但無論，還是，恒有，即函數是增函數，所以不是函數的極值點．
（3）理解極值概念需注意的問題
①函數的極值是一個局部性的概念，即某個點的函數值與它附近的函數值相比較是最大的或最小的，且該點處的導數值為0．極大值的對應點是局部的“高峰”，極小值的對應點是局部的“低谷”，但并不意味著它在整個定義域內是最大的或最小的．
②極值點是函數定義域內的自變量的值，指的是橫坐標；極值是函數值，指的是縱坐標．而函數定義域的端點一定不是函數的極值點．
③若在內有極值，則在內絕不是單調函數，即在定義區間上單調的函數沒有極值點．
④極大值與極小值沒有必然的大小關系．一個函數在其定義域內可以有許多個極小值和極大值，某個極小值可能大于某個極大值，即極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大．
⑤若函數在上有極值且函數圖象連續，則它的極值點的分布是有規律的（如圖所示），相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點．同樣，相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．一般地，當函數在某區間上連續且存在有限個極值點時，函數在該區間上的極大值與極小值是交替出現的．
⑥可導函數在極值點處的導數值一定為0，但是反之不一定成立，即是可導函數在處取得極值的必要不充分條件．
例1.函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在內的極小值點的個數為________．
【答案】1
【解析】在內，使的點有．若為函數的極小值點，則在該點處的左、右兩側，導函數的符號滿足左負右正，故只有點符合．
例2．函數的導函數的圖象如圖所示，試找出函數的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點．
【答案】是函數的極值點，是極大值點，是極小值點.
【分析】根據極值點的導數為0，點的導數都為零，且這兩點左右兩側的導數值異號.
【詳解】因為點的導數都為零，且這兩點左右兩側的導數值異號，所以是函數的極值點；又因為時，，時，，所以是極大值點；
因為時，，時，，所以是極小值點.
歸納總結：由函數的圖象確定極大值或極小值時，需關注圖象在某點處從左側到右側的變化情況，極值點一般是指單調性的轉折點．若圖象由“上升”變為“下降”，則在該點附近，該點的位置最高，即該點處的函數值比它附近其他點處的函數值都大，因此該點處的函數值是極大值；若圖象由“下降”變為“上升”，則在該點附近，該點的位置最低，即該點處的函數值比它附近其他點處的函數值都小，因此該點處的函數值是極小值．
【舉一反三】
1．已知函數的導函數圖像如圖所示，則函數有
A．兩個極大值 ，一個極小值 B．兩個極大值，無極小值
C．一個極大值，一個極小值 D．一個極大值，兩個極小值
核心知識點2：函數極值的求法與步驟
1.函數在某點處取得極值的判斷方法
（1）若函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則是極大值點，是極大值；是極小值點，是極小值．
與隨的變化情況如表所示：
+ 0 - 0 +
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
（2）可導函數在點處取得極值的充要條件是，且在點處的左側與右側，的符號不同．
①如果在點附近的左側，右側，那么是極大值；
②如果在點附近的左側，右側，那么是極小值．
（3）若函數在上單調，則在上沒有極值．
極大值點可以看成是函數的單調遞增區間與單調遞減區間的分界點，極大值是極大值點附近曲線由上升到下降的過渡點的函數值；極小值點可以看成是函數的單調遞減區間與單調遞增區間的分界點，極小值是極小值點附近曲線由下降到上升的過渡點的函數值．
解讀：求含參函數的極值的注意點
（1）要注意運用分類討論思想和數形結合思想；
（2）某區間內的單調函數沒有極值；
（3）導數為0的點不一定是極值點．
例1. 求函數的極值．
解：因為，所以
．
令，解得，或．
當x變化時，，的變化情況如下表；
x 2
＋ 0 － 0 ＋
單調遞增 單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極大值，并且極大值為
；
當時，有極小值，并且極小值為
．
例2.求函數f(x)＝－2的極值.
【解析】函數的定義域為R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) －3 －1
由上表可以看出：
當x＝－1時，函數有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；
當x＝1時，函數有極大值，且極大值為f(1)＝－1.
歸納總結：
（1）求可導函數的極值的步驟
①確定函數的定義域，求導數；
②求方程的根；
③用函數的導數為0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格，判斷導函數在各個小開區間的正負；
④利用與隨變化的表格，并根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．
（2）判斷極大值、極小值的方法
（1）從函數的角度看，先增后減是極大值，先減后增是極小值．
（2）從導數的角度看，先正后負是極大值，先負后正是極小值．
（3）從圖象的角度看，先上升后下降是極大值，先下降后上升是極小值．
【舉一反三】
2．求下列函數的極值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
3．已知函數在點處的切線方程為.
(1)求實數、的值；
(2)求函數的極值．
4．設函數，則的極大值點和極小值點分別為（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值,則該函數的一個遞增區間是　(　　)
A．(2,3)
B．(3,+∞)
C．(2,+∞)
D．(-∞,3)
（2023上·陜西·高三校聯考階段練習）
6．已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則（ ）

A．有2個極值點 B．在處取得極小值
C．有極大值，沒有極小值 D．在上單調遞減
（2023上·上海浦東新·高三上海市建平中學?？茧A段練習）
7．函數的極值點為 .
8．函數在其極值點處的切線方程為 .
9．已知有極大值和極小值，則a的取值范圍為
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【詳解】導函數有三個零點，設為,,,
當時，，當時，
所以函數在處取得極小值；
當時，，當時，；
所以函數在處無極值；
當時，，當時，；
所以函數在處取得極大值.
故選C
2．（1）極小值為，無極大值；（2）極小值為，極大值為；.
（3）極小值為，極大值為；（4）極小值為，極大值為.
【分析】求寫出定義域，求出導函數，研究單調性，用列表法求出極值.
【詳解】（1）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x
- 0 +
↘ ↗
所以函數的極小值為，無極大值.
（2）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -3 3
+ 0 - 0 +
↗ 54 ↘ -54 ↗
所以函數的極小值為，極大值為..
（3）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -2 2
- 0 + 0 -
↘ -10 ↗ 22 ↘
所以函數的極小值為，極大值為..
（4）的定義域為R，.
令，解得：，列表得：
x -1 1
- 0 + 0 -
↘ -2 ↗ 2 ↘
所以函數的極小值為，極大值為.
3．(1)，
(2)極小值為，無極大值
【分析】（1）求出，由導數的幾何意義可得，可得出關于、的方程組，即可解出這兩個未知數的值；
（2）利用導數分析函數的單調性，利用極值與導數的關系可求得該函數的極值.
【詳解】（1）解：因為，則，
因為函數在點處的切線方程為，
則，解得.
（2）解：函數的定義域為，則，
由可得，列表如下：
減 極小值 增
所以，函數的單調減區間為，單調增區間為，
故函數的極小值為，無極大值.
4．A
【分析】利用導數判斷函數的單調性，再求函數的極值點.
【詳解】易知函數的定義域是，
由題意，，
當或時，；當或時，，
在和上單調遞增，在和上單調遞減，
極大值點是，極小值點是．
故選：A.
5．B
【詳解】f′(x)=6x2+2ax+36,
因為f(x)在x=2處有極值,
所以f′(2)=0,
解得a=-15.
令f′(x)>0得x>3或x<2.
所以從選項看函數的一個遞增區間是(3,+∞).
點睛：本題考查的是利用導數研究函數的單調性和極值問題：（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側與右側f ′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
6．C
【分析】通過導函數圖象分析函數的單調性即可得出結論.
【詳解】由題意及圖得，
在上單調遞增，在上單調遞減，
∴有一個極大值，沒有極小值，
∴A，B，D錯誤，C正確，
故選：C.
7．0
【分析】利用導數，結合極值點的定義得解.
【詳解】，
，令解得，令解得，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以函數的極值點為0.
故答案為：0.
8．
【詳解】，令，此時
函數在其極值點處的切線方程為
考點：：導數的幾何意義.
9．
【分析】求導得出，然后根據題意得出，最后通過計算即可得出結果.
【詳解】∵，
∴，
因為函數既有極大值，又有極小值，
所以，
解得或，
故的取值范圍為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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