資源簡介

6.1 平面向量的概念【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.平面向量的概念，培養數學抽象、邏輯推理素養，如第1題、第4題、第5題、第7題；
2.平面向量的幾何意義及其簡單應用，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第3題、第12題；
3.相等線向量與共線向量，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第6題、第8題、第9題、第10題、第11題、第13題、第14題；
（2023·山西師大附中·高一假期作業）
1．下列說法正確的個數為（ ）
①面積、壓強、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒有方向
③向量的模一定是正數
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點是 D．向量的終點是
（2023·陜西渭南·高一期中）
3．如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
（2023·福建三明一中高一期末）
4．下列說法正確的是（ ）
A．向量與向量的長度相等
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．零向量沒有方向
D．向量的模是一個正實數
（2023·湖北孝感高一期中）
5．在同一平面內，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是（ ）
A．單位圓 B．一段弧
C．線段 D．直線
（2023·遼寧大連金州區·高一期中）
6．下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
（2023·廣西桂林·高一校考期末）
7．下列關于向量的描述中，不正確的有（ ）
A．有向線段就是向量
B．若向量與向量共線，則四點共線
C．零向量沒有方向
D．若，則
（2023·遼寧撫順·高一校聯考期末）
8．下列說法中錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線
（2023·內蒙古赤峰·高一期中）
9．已知O是正方形ABCD的中心，則向量是 .（填序號）
①平行向量；②相等向量；③有相同終點的向量；④模都相等的向量.
（2023·湖南益陽高一期中）
10．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有 個.

（2023·江西宜春高一期中）
11．給出下列四個條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 .
（2023·福建莆田五中高一月考）
12．小明從學校的教學樓出發，向北走了到達圖書館，后從圖書館向南偏東方向走了到食堂就餐，用餐后又從食堂向西走了來到操場運動．請用向量表示小明每次的位移以及從開始到最后的位移．
（2023·陜西漢中·高一期中）
13．如圖，設O是 ABCD對角線的交點，則
(1)與的模相等的向量有多少個？
(2)與的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)寫出與共線的向量．
（2023·安徽霍邱·高一期中）
14．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
【易錯題目】第8題、第12題、第14題
【復盤要點】零向量是一類特殊的向量，在涉及向量概念辨析、判斷向量共線問題等問題，常常因對零向量概念不清而致錯.
例1.（2023·山東泰安實驗高中高一期中）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．向量與向量的長度相等
C．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
D．若，則
【答案】 B
【解析】對于A；當，則不一定平行，故A錯，
對于B；向量與向量是相反向量，故長度相等，故B正確，
對于C；兩個單位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C錯，
對于D；向量有方向和大小，不能比較大小，故D錯，
故選：B
易錯警示： 零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作．
（1）零向量的方向是任意的．
（2）若用有向線段表示零向量，則其終點與起點重合．
（3）要注意0與的區別與聯系：0是一個實數，是一個向量，且有；書寫時表示零向量，一定不能漏掉0上的箭頭．
【復盤訓練】
15．下列說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小，沒有方向
B．零向量是唯一沒有方向的向量
C．零向量的長度為0
D．任意兩個單位向量方向相同
（2023·河北邯鄲·高一期中）
16．下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為0的向量與任意向量共線
（2023·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）
17．下列命題中正確的個數是（ ）
①起點相同的單位向量，終點必相同；
②已知向量，則四點必在一直線上；
③若，則；
④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·廣東湛江高一期中）
18．下列命題正確的有 ．(填序號)
①向量與向量的長度相等、方向相反;
②與平行，則與的方向相同或相反;
③兩個相等向量的起點相同，則其終點必相同;
④與是共線向量，則四點共線．
19．下列關于向量的命題，序號正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
20．已知A、B、C是不共線的三點，向量與向量是平行向量，與是共線向量，則＝ .
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．A
【分析】根據向量的定義和性質，逐項判斷正誤即可.
【詳解】①錯誤，只有速度，位移是向量．
②錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的．
③錯誤，
④錯誤，非零向量的單位向量有兩個，一個與同向，一個與反向．
故選：A.
2．D
【分析】根據向量的幾何表示逐個選項分析可得答案.
【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；
向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.
故選：D
3．A
【分析】根據題意，作圖，結合向量的幾何意義，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：
則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，
則飛機飛行的路程為，，
所以.
故選：A.
4．A
【分析】根據向量的概念、零向量的定義及向量模的性質，即可判斷各選項的正誤.
【詳解】A：與的長度相等，方向相反，正確；
B：兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；
C：零向量的方向任意，故錯誤；
D：向量的模是一個非負實數，故錯誤.
故選：A
5．A
【分析】根據單位向量的概念，以及圓的定義，即可得出結果.
【詳解】平面內到定點距離等于定長的點的軌跡是圓，所以將所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是單位圓．
故選：A.
6．A
【分析】根據零向量的定義，可判斷A項正確；根據共線向量和相等向量的定義，可判斷B，C，D項均錯.
【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項正確；
時，只說明向的長度相等，無法確定方向，
所以B，C均錯；
時，只說明方向相同或相反，沒有長度關系，
不能確定相等，所以D錯.
故選：A.
【點睛】本題考查有關向量的基本概念的辨析，屬于基礎題.
7．ABC
【分析】由有向線段和向量定義可知A錯誤；由共線向量定義可知B錯誤；根據零向量方向任意可知C錯誤；由相等向量定義知D正確.
【詳解】對于A，有向線段是固定的，向量是可以平行移動的，二者不是相等關系，A錯誤；
對于B，若和是平行四邊形的一組對邊，此時向量與向量共線，但四點不共線，B錯誤；
對于C，零向量方向任意，C錯誤；
對于D，若，則大小相等，方向相同，D正確.
故選：ABC.
8．ABD
【分析】根據相等向量和共線向量的定義判斷即可.
【詳解】解：因為向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（長度）相等的兩個向量才相等，故A錯誤；
兩個向量不相等，但它們的模可以相等，故B錯誤；
無論兩個向量的模是否相等，這兩個向量都可能共線故C正確，D錯誤.
故選：ABD．
9．④
【分析】根據向量的有關概念及正方形的性質即可求解.
【詳解】解：根據向量的有關概念及正方形的性質，可得向量是模都相等的向量.
故答案為：④.
10．3
【分析】根據相等向量的定義及正六邊形的性質即可求解.
【詳解】根據正六邊形的性質和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個.
故答案為：3
11．①③④
【分析】運用向量共線的定義判斷即可.
【詳解】因為與為相等向量，所以，即①能夠使成立；
由于并沒有確定與的方向，即②不一定能使成立；
因為當與方向相反時，則，即③能夠使成立；
因為零向量與任意向量共線，所以或時，能夠成立.
故使成立的條件是①③④.
故答案為：①③④.
12．答案見解析
【詳解】如圖所示，
向量表示從教學樓到圖書館的位移；
向量表示從圖書館到食堂的位移；
向量表示從食堂到操場的位移；
向量表示從開始到最后的位移．
13．(1)三個
(2)，
(3)，，
【分析】（1）（2）（3）根據平行四邊形的性質、共線向量、向量的模的定義判斷即可；
【詳解】（1）解：在平行四邊形中，為對角線的交點，所以，且，所以與的模相等的向量有，，三個向量．
（2）解：與的模相等且方向相反的向量為，.
（3）解：與共線的向量有，，.
14．見解析
【解析】根據平行四邊形及向量相等的定理即可證明；
【詳解】解：因為，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又與的方向相同，所以.
同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.
因為，，所以，
又與的方向相同，所以
【點睛】本題考查向量相等的定義的應用，屬于基礎題.
15．C
【分析】根據零向量和單位向量的概念求解.
【詳解】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，任意兩個單位向量長度相同，方向無法判斷.
故選：C.
16．D
【分析】根據零向量、單位向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】解：對于A：模為的向量叫做單位向量，但是單位向量不一定相等，因為方向不一定相同，故A錯誤；
對于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B錯誤；
對于C：平行向量即共線向量，故C錯誤；
對于D：模為的向量叫零向量，零向量和任意向量共線，故D正確；
故選：D
17．A
【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，
【詳解】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，
對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，
對于C，若，當時，不一定平行，故C錯誤，
對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，
故選：A
18．①③
【分析】根據向量相關的定義判斷即可.
【詳解】對①，根據相反向量的定義知①正確;
對②，可能存在或其中之一為，由方向具有任意性知②錯誤;
對③，根據相等向量的定義知③正確;
對④，共線的兩個向量可能不在同一直線上，故④錯誤．
故答案為：①③．
19．①③
【分析】根據平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據相等向量和相反向量的定義可判斷③.
【詳解】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯誤；
對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③
20．
【分析】依據向量共線的定義及零向量定義即可求得向量.
【詳解】向量與向量是平行向量，則向量與向量方向相同或相反；
向量與是共線向量，則向量與向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共線的三點，可知向量與向量方向不同且不共線
則＝.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.1平面向量的概念【第二課】
題型一 向量的有關概念
例1 下列五個結論：
①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；
②若向量，則與的方向必不相同；
③若，則；
④方向為北偏西的向量與方向為東偏南的向量一定是平行向量．
其中，正確的有（ ）
A．①④ B．② C．④ D．③
【答案】C
【解析】溫度雖有大小卻無方向，故不是向量，故①錯誤；，但與的方向可以相同，
故②錯誤；向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，故③錯誤；作圖易得④正確．故選C．
【方法技巧與總結】與向量相關的概念比較多，為了不致混淆，應牢記各概念的內涵與外延，緊緊抓住各概念的本質．向量的核心為方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規定零向量與任意向量共線．
（2023·天津河北區高一期末）
1．下列說法正確的是（ ）
A．向量與向量是相等向量
B．與實數類似，對于兩個向量，有，，三種關系
C．兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行
D．若兩個非零向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合
（2023·湖南衡陽·高一期末）
2．下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個正實數
B．若與不共線，則與都是非零向量
C．共線的單位向量必相等
D．兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同
題型二 向量的幾何表示
例2. 某人從點出發，向西走了后到達點，然后改變方向，向北偏西一定角度的某方向行走了到達點，最后又改變方向，向東走了到達點，發現點在點的正北方．
（1）作出向量（圖中1個單位長度表示）；
（2）求向量的模．
【解析】（1）如圖．
（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，
所以．
【方法技巧與總結】（1）準確畫出向量的方法是先確定有向線段的起點，再確定有向線段的方向，然后根據有向線段的大小確定有向線段的終點．
（2）要注意能夠運用向量的觀點將實際問題轉化為數學模型．
（2023·山西長治高一期末）
3．中國象棋中規定：馬走“日”字．圖是中國象棋的半個棋盤，若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量或表示馬走了“一步”．試在圖中畫出馬在B，C處走了“一步”的所有情況．
（2024·吉林實驗中學·高一統考期末）
4．如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且.

（1）畫出所有的向量；
（2）求的最大值與最小值．
題型三 相等向量與共線向量
例3．如圖，為正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形．在圖中所示的向量中，
（1）分別寫出與相等的向量；
（2）寫出與共線的向量；
（3）寫出與模相等的向量．
【解析】（1）．
（2）與共線的向量有．
（3）與模相等的向量有．
【方法總結】（1）尋找共線向量的技巧：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找同向
與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
（2）尋找相等向量的技巧：先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向
共線向量．
（2024·福建三明高一期末）
5．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為，圖中列出了長度均為的若干個向量
則：（1）與向量相等的向量有 ；
（2）與向量共線，且模相等的向量有 ；
（3）與向量共線，且模相等的向量有 .
易錯點1 忽視零向量致錯
（2023·湖南長沙長郡中學高一期中）
【典例】已知向量滿足，則與一定平行嗎
【錯解】一定平行．
因為，所以向量與向量具有相同或相反方向，
又因為，所以向量與向量具有相同或相反方向．
所以向量與向量具有相同或相反方向，故．
【正解】分兩種情況說明：
①當向量，向量與向量均為非零向量時，不能保證．
②當向量時，若向量中有一個為或兩者都為，則一定有；若向量均不為，
因為，所以向量與向量具有相同或相反方向．
又因為，所以向量與向量具有相同或相反方向．
所以向量與向量具有相同或相反方向，故．
綜上所述，當向量時，向量與平行；當向量時，向量與不一定平行．
易錯警示 求解向量問題時，要注意題目中的向量能否為零向量．零向量是特殊的向量，方向是任意的，且與任意向量平行．因此，向量平行是不具有傳遞性的．
（2023·湖北黃石·高一統考期末）
6．關于零向量，下列說法中錯誤的是
A．零向量是沒有方向的 B．零向量的長度是0
C．零向量與任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
（2023·福建三明·高一期中）
7．若，，則向量與向量
A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線
易錯點2 混淆兩向量相等、平行和模相等的區別
（2023·陜西安康高一期末）
例2．給出下列三個說法：①若，則；②若，則；③若，則．其中，說法正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【解析】①忽略了0與的區別，正確的應是；
②混淆了兩個向量的模相等與兩個向量相等，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，
它們的方向并不確定；③兩個非零向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它
們的模相等．故選A．
易錯警示： 兩個向量的模相等，則它們的長度相等，方向不確定；兩個非零向量相等，則它們的長度相等，方向相同．兩個非零向量平行，則它們的方向相同或相反，長度不確定．
（2023·山西忻州·高一忻州一中期中）
8．下列說法正確的是(　　)
A．單位向量都相等 B．若，則
C．若，則 D．若，則
（2023·浙江嘉興第五高級中學高一期中）
9．已知非零向量、，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據向量的基本概念辨析可知.
【詳解】解：對于A，向量與向量是相反向量，所以A錯誤；
對于B，因為向量是有方向和大小的量，所以兩個向量不能比較大小，所以B錯誤；
對于C，當兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線平行或共線，所以C錯誤；
對于D，由共線向量的定義可知，當兩個向量是共線向量時，有向量所在的直線可以平行，也可以重合，所以D正確.
故選：D
2．B
【分析】利用平面向量的相關概念逐項分析判斷即得.
【詳解】向量的模是一個非負實數，如零向量的模是0，A錯誤；
零向量與任意向量共線，若與不共線，則與都是非零向量， B正確；
共線的單位向量方向可能相同，也可能相反，C錯誤；
兩個向量相等的條件是長度相等、方向相同，與起點無關，D錯誤．
故選：B
3．見解析
【詳解】　試題分析：利用“馬”走“日”的行棋規則，畫出馬在 處走了“一步”的所有情況．
即可；
試題解析：根據規則，作出符合要求的所有向量，如圖
【點睛】此題是考查向量的實際應用，關鍵是利用“馬”走“日”的行棋規則表示的意義．
4．(1)見解析；(2)最大值為，最小值為.
【詳解】試題分析：
（1）由||=及點C為小正方形的頂點和點A的位置可確定點C的位置，然后可畫出．（2）根據（1）中的點C，逐一求得||后，可求得||的最大值為，最小值為．
試題解析：
(1)畫出所有的向量，如圖所示：

(2)由(1)所畫的圖知，
①當點C位于點C1或C2時，||取得最小值=；
②當點C位于點C5或C6時，||取得最大值=；
所以||的最大值為，最小值為．
5． ， ，，，， ，，，，
【解析】（1）在圖形中找出與向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）與向量共線且模相等的向量，是指所有與已知向量方向相同或相反的向量，且長度相等.
（3）與向量共線且模相等的向量，是指所有與已知向量方向相同或相反的向量，且長度相等.
【詳解】解：解：（1）與向量相等的向量是，；
（2）與向量共線且模相等的向量是，，，， ，
（3）與向量共線且模相等的向量，，，，
故答案為：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
【點睛】向量知識，向量觀點在數學．物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合．
6．A
【分析】根據零向量的概念，逐項判定，即可求解，得到答案．
【詳解】由定義可得，零向量的長度為0，方向任意；且零向量與任意向量都平行，所以選項A錯誤，所以選項B,C,D正確，故選A．
【點睛】本題主要考查了零向量的概念的應用，其中解答中熟記零向量的概念是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．
7．D
【解析】利用反例判斷選項即可.
【詳解】已知，，若，則向量與向量可以不共線，當，則向量與向量共線.
故選：D
【點睛】本題考查向量共線定理的應用，基本知識的考查，屬于基礎題．
8．D
【解析】根據向量的概念，向量的兩個要素：大小和方向性，即可判斷各選項.
【詳解】對于A，單位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以單位向量不一定都相等，所以A錯誤；
對于B，兩個向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而當時可能，所以B錯誤；
對于C，兩個向量的模相等，但方向可以不同，因而當時和不一定平行，所以C錯誤；
對于D，若兩個向量的模不相等，則兩個向量一定不相同，所以若，則成立，所以D正確.
綜上可知，D為正確選項，
故選：D
【點睛】本題考查了向量的概念，向量的兩個要素：大小和方向性，屬于基礎題.
9．BD
【分析】利用向量、共線向量、相等向量等概念逐項判斷.
【詳解】對于A，向量是具有方向的量，
若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯誤；
對于B，若，則一定有，故B正確；
對于C，若，則只能說明非零向量、共線，
當、大小不同或方向相反時，都有，故C錯誤；
對于D，若，則、共線且方向相同，所以，故D正確．
故選：BD．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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