資源簡介

6.1 平面向量的概念【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.平面向量的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)，如第1題、第5題；
2.平面向量的幾何意義及其簡單應(yīng)用，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運素養(yǎng)，如第6題、第7題、第8題；
3.相等線向量與共線向量，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算能力，如第2題、第3題、第4題、第9題、第10題；
一、填空題
1．下列各量中，向量有： ．（填寫序號）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
2．如圖所示，在中，分別為的中點．圖中與相等的向量為 ．
（2023·全國·高一假期作業(yè)）
3．下列說法中正確的是
①若向量與向量不平行，則與的方向一定不相同；
②任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點；
③向量與不共線，則與都是非零向量．
4．如圖，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形．試回答下列問題：
（1）與相 等的向量是 ；
（2）若，則 ．
（2023·高一課時練習(xí)）
5．某人從A點出發(fā)向西走了到達點，然后改變方向向西偏北走了到達點，最后又改變方向，向東走了到達點，則的模= ．
（2023·高一課時練習(xí)）
6．在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD的形狀是 .
二、解答題
（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
7．畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向東北方向航行15km到達B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到達D地．
（2023·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學(xué)校考階段練習(xí)）
8．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
（2023·全國·高一課堂例題）
9．已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
（2023·全國·高一專題練習(xí)）
10．在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：．
【易錯題目】第6題、第8題
【復(fù)盤要點】對共線向量概念理解不清，致誤
【典例】判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個數(shù)為（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的基本概念一一判定即可.
【解析】相等向量即方向相同大小相等，故兩個相同向量同起點比同終點，即①正確；
零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當(dāng)，若，而是非零向量，
則不滿足兩向量方向相同或相反，即②錯誤；
同理若，且時，，是非零向量，也得不到，即③錯誤.
綜上正確的是1個.
故選：B
易錯警示：涉及平行向量（共線向量）的判斷時，一定要注意此定義體現(xiàn)了分類討論的思想，對于非零向量只需要考慮方向相同或者相反.而對于零向量，規(guī)定零向量和任意向量是平行向量.記住：在不明確向量是否為非零向量的情況下，一定要分向量為零向量與非零向量兩種情況討論.
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2023·高一課時練習(xí)）
11．下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
12．下列命題中正確的是
A．單位向量的模都相等
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．若與滿足，且與同向,則
D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同
13．在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
14．在矩形中，，點、分別為和的中點，在以、、、、、為起點或終點的向量中，相等的非零向量共有多少對？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．③⑤⑥
【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.
【詳解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.
故答案為：③⑤⑥.
2．
【分析】根據(jù)相等向量的定義判斷.
【詳解】由幾何性質(zhì)，平行且相等，平行且相等，
所以．
故答案為：．
3．①③
【詳解】由向量平行的定義知①正確；兩個相等的非零向量可以在同一直線上，故②不正確；向量與不共線，則與都是非零向量，正確，不妨設(shè)為零向量，則與共線，與與不共線矛盾，故③正確．
4． ， 6
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證明，，可得結(jié)論．
（2）根據(jù)向量模的定義解決問題即可．
【詳解】解：（1）四邊形與都是平行四邊形，
，，
向量相等的向量有，，
（2）若，則向量的模等于，
故答案為：，；6．
5．
【分析】根據(jù)向量共線，且，判斷四邊形為平行四邊形，可得，即可求得答案.
【詳解】如圖示，由題意可得向量共線，且，

則四邊形為平行四邊形，故，
故答案為：
6．梯形
【分析】利用向量關(guān)系得出對邊平行且邊長不等，進而得出答案.
【詳解】在四邊形ABCD中，因為，所以，
又，所以四邊形ABCD的形狀是梯形.
故答案為：梯形
7．(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
(3)答案見詳解
【分析】先畫出以點A為頂點，北偏東45°的角，并取出相應(yīng)的長度確定B點； 接下來再以點A為頂點畫出北偏西30°的角，并取出相應(yīng)的長度確定C點，再以點C為頂點正南方向，并取出相應(yīng)的長度確定D點即可.
【詳解】（1）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（2）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（3）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

8．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【分析】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（3）根據(jù)向量的模的定義求.
【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
9．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.
【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.
（2）由于與長度相等且方向相同，所以.
（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.
10．(1),
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意直接寫出與向量共線的向量即可；
（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.
【詳解】（1）據(jù)題意，與向量共線的向量為：, ；
（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，且，
．
11．A
【分析】根據(jù)向量相等與共線的概念即可解決.
【詳解】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.
故選：A
12．AD
【解析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.
【詳解】單位向量的模均為1，故A正確；
向量共線包括同向和反向，故B不正確；
向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；
根據(jù)相等向量的概念知，D正確.
故選：AD
【點睛】本題考查單位向量的定義、考查共線向量的定義、向量是矢量不能比較大小，屬于基礎(chǔ)題．
13． 與，與 與，與
【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.
【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，
顯然，因此的模相等.
故答案為：與，與；與，與；
14．對
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出相等的向量共有多少對．
【詳解】在矩形中，，點、分別為和的中點，
所以和為邊長相等的正方形，
如圖所示，
由題意得，，有3對（即、、）；
，有6對（即、、、、、）；
，有1對；
，有1對，有1對，共有對；
加上它們的方向相反的向量也有12對，
所以總共有對．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.1 平面向量的概念【第一課】
[課標要求]
1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.
2.會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別.
3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念.
[明確任務(wù)]
1.平面向量的概念（數(shù)學(xué)抽象）；
2.區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量（邏輯推理）；
3.向量的幾何表示（直觀想象）.
1.數(shù)量的概念、物理中力、速度等矢量的概念；
2.數(shù)量的幾何意義、有向線段的概念.
核心知識點1 平面向量的概念
向量的概念 ：既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的長度是向量的模，記作.
提示：平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的.
例1. 下列說法錯誤的有（ ）
A.向量與向量的長度相等
B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C.零向量都是相等的
D.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
【答案】　BCD
【解析】兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個單位向量也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯誤，A正確.
歸納總結(jié) 解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題.
【舉一反三】
1．下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
2．下列說法正確的是
A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小
C．向量的大小與方向有關(guān)
D．向量的模可以比較大小
核心知識點2 向量的幾何表示及應(yīng)用
1.有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度，如圖所示.
以A為起點、B為終點的有向線段記作，線段AB的長度叫做有向線段的長度記作||.
2.向量的表示
（1）幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.
（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用，，).
例2.一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達D點.
（1）作出向量，，；
（2）求||.
【解析】 （1）向量，，如圖所示.
（2）由題意，可知與方向相反，故與共線，
∵||＝||，
∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
歸納總結(jié) 作向量的方法
準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.
【舉一反三】
3．如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
4．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.

(1)試以B為終點畫一個向量，使；
(2)在圖中畫一個以A為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？
核心知識點3 相等向量與共線向量
1.常見向量的概念
名稱 定義 特點
零向量 長度為的向量 零向量的方向是任意的
單位向量 長度為一個單位長度的向量 與共線的單位向量是
相等向量 長度相等且方向相同的兩個向量 相等向量有傳遞性
平行向量(共線向量) 方向相同或相反的非零向量，，記作 零向量和任何向量平行
相反向量 長度相等方向相反的向量 的相反向量記作
提示 （1）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
（2） 平行向量無傳遞性！(因為有；
（3） 因為平面向量在平面內(nèi)是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點和終點，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.
例3. 如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點.
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出模與的模相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
【解析】 （1）因為E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因為D是BC的中點，
所以與共線的向量有，，，，，，.
（2）模與的模相等的向量有，，，，.
（3）與相等的向量有，.
歸納總結(jié)： 相等向量與共線向量的探求方法
（1）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.
（2）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.
【舉一反三】
5．若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
6．如圖所示，O是正六邊形的中心.

(1)與的模相等的向量有多少個？
(2)是否存在與長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？
(3)與共線的向量有幾個？
7．在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是（ ）
A．單位圓 B．一段弧
C．線段 D．直線
8．(多選)下列說法錯誤的有（ ）
A．共線的兩個單位向量相等
B．相等向量的起點相同
C．若，則一定有直線ABCD
D．若向量，共線，則點A，B，C，D必在同一直線上
9．若且，則四邊形的形狀為（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
10．如圖所示，設(shè)是正方形的中心，則下列結(jié)論正確的有 ．（填序號）
①；②；③與共線；④．
11．已知A，B，C是不共線的三點，向量與向量是平行向量，與是共線向量，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
2．D
【詳解】向量不能比較大小，向量的模能比較大小，顯然D正確.
考點：平面向量的概念.
3．A
【分析】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合向量的幾何意義，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：
則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，
則飛機飛行的路程為，，
所以.
故選：A.
4．(1)答案見解析
(2)答案見解析, 終點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義可得向量；
（2）根據(jù)向量的模長公式的幾何知識可得軌跡.
【詳解】（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量平行，且長度相等．
圖如下所示：

（2）由平面幾何知識可知所有這樣的向量的終點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓．

5．D
【分析】向量相等為長度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，分析選項可得結(jié)果.
【詳解】若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，
所以與有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，
所以A，B，C都是錯誤的，
但是與一定不都是零向量．
故選：D.
6．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六邊形的特征，結(jié)合平面向量模的意義即可得出結(jié)論.
（2）利用正六邊形的特征，結(jié)合互為相反向量的意義即可得出結(jié)論.
（3）利用正六邊形的特征，結(jié)合共線向量的意義即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）與的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個向量，
所以這樣的向量共有23個.
（2）存在，由正六邊形的性質(zhì)知，，
所以與的長度相等、方向相反的向量有，，，，共4個.
（3）由（2）知，，線段OD，AD與OA在同一條直線上，
所以與共線的向量有，，，，，，，，，共9個.
7．A
【分析】根據(jù)單位向量的概念，以及圓的定義，即可得出結(jié)果.
【詳解】平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡是圓，所以將所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是單位圓．
故選：A.
8．ABCD
【分析】根據(jù)單調(diào)向量、相等向量的性質(zhì)可判斷A，B；根據(jù)共線向量的性質(zhì)可判斷C，D.
【詳解】對于A，共線的兩個單位向量的方向可能相反，故A錯誤；
對于B，相等向量的起點和終點都可能不相同，故B錯誤；
對于C，直線AB與CD可能重合，故C錯誤；
對于D，AB與CD可能平行，則A，B，C，D四點不共線．
故選：ABCD
9．C
【分析】根據(jù)條件中的向量關(guān)系反映出來大小關(guān)系和方向關(guān)系來判斷.
【詳解】可知，四邊形為平行四邊形，
又因為,
所以四邊形為菱形．
故選：C.
【點睛】本題考查向量的大小和方向問題，是基礎(chǔ)題.
10．①②③
【分析】利用正方形的幾何性質(zhì)結(jié)合相等向量、共線向量的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】對于①，與方向相同，長度相等，則，則①正確；
對于②，因為、、三點共線，則，則②正確；
對于③，，則與共線，則③正確；
對于④，、方向不相同，故，則④錯誤.
故答案為：①②③.
11．
【分析】由共線向量的性質(zhì)以及零向量的定義即可得解.
【詳解】與不共線，零向量的方向是任意的，它與任意向量平行，所以唯有零向量才能同時與兩個不共線向量平行.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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