資源簡介

6.2.1向量的加法運算【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標分析】
1.向量的加法法則，培養(yǎng)數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)，如第3題、第4題、第9題、第12題；
2.向量加法的運算律及其應用，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學運素養(yǎng)，如第1題、第2題、第6題、第10題、第11題、第16題；
3.向量加法的實際應用，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算能力，如第5題、第7題、第8題、第13題、第14題、第15題；
一、單選題
（2023·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）
1．如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ）
A． B． C． D．
2．、為非零向量，且，則（ ）
A．與方向相同 B． C． D．與方向相反
（2023·北京大興區(qū)·高一期中）
3．如圖，在中，D為BC的中點，下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）
4．已知向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西呂梁·高一統(tǒng)考期中）
5．在矩形中，，設，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023·福建三明高一期中）
6．已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東煙臺·高一統(tǒng)考期末）
7．如圖，在平面直角坐標系中，原點為正八邊形的中心，軸，若坐標軸上的點（異于點）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點的個數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
（2023·江蘇宿遷·高一校聯(lián)考期中）
8．將函數(shù)和直線的所有交點從左到右依次記為，，…，，若P點坐標為，則（ ）
A．k B．
C．5 D．10
二、多選題
（2023·山東菏澤三中高一期中）
9．如圖，在平行四邊形中，下列計算正確的是
A． B．
C． D．
（2023·四川綿陽高一期中）
10．設，是任一非零向量，則在下列結論中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
（2023·湖南婁底·高一期中）
11．已知，，，，，則 ．
（2023·吉林通化·高一統(tǒng)考期中）
12．若，則的取值范圍為 ，當取得最大值時，向量的方向 ．
（2023·河北邯鄲高一期中）
13．已知命題甲：非零向量滿足；命題乙：可以構成三角形，則甲是乙的 條件．
（2023·江西宜春高一期中）
14．已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量，，，滿足等式.若點E為AC的中點，則的值為 .
四、解答題
（2023·山西晉中·高一統(tǒng)考期末）（2016·高一課時練習）
15．如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中期末）
16．設是正邊形的中心，求證：.
【易錯題目】第4題、第12題
【復盤要點】向量中的最值與取值范圍問題，常常要借助向量加法的幾何意義解決.
典例（2023·山西師大附中高一期末）如圖，已知向量
（1）求作
（2）設，為單位向量，試探索的最大值．
【答案】(1)作圖見解析；(2)3
【分析】（1）由平面向量的加法運算作圖
（2）由向量三角不等式求解
【解析】（1）（1）在平面內任取一點O，作，，，，
則
（2）由向量三角不等式知，當且僅當同向時等號成立
故的最大值為3
易錯提示：在向量加法運算中，需關注向量共線情況，當向量共線時，結合向量的方向，可確定兩個向量模長的最大與最小值，即同向和的模最大、反向和的模最小。
【復盤訓練】
（2023·福建福州·高一福建省福州第一中學校考期中）
17．若平面向量、滿足，，則的取值范圍是 ．
（2023·福建莆田一中高一期中）
18．已知非零向量，若向量，則的取值范圍是 ．
（2023·陜西安康高一期中）
19．已知點P是邊長為2的等邊三角形的邊上的一個動點，求的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)平面向量的概念及加法的運算法則，準確運算，即可求解.
【詳解】由平面向量的運算法則，可得.
故選：A.
2．A
【分析】由向量模長的三角不等式即可判斷．
【詳解】由向量模長的三角不等式可得，當且僅當、的方向相同時，等號成立，
因為，所以與方向相同，
故選：A．
3．D
【分析】利用相等向量的定義判斷選項AB，利用平面向量的三角形法則判斷CD．
【詳解】對于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A錯誤；
對于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B錯誤；
對于C，利用三角形法則知，故C錯誤；
對于D，利用三角形法則知，故D正確；
故選：D
4．B
【分析】利用向量的加法的幾何意義求解即得.
【詳解】向量滿足，則，當且僅當同向時取等號；
，當且僅當反向時取等號，
所以的取值范圍是.
故選：B
5．C
【分析】根據(jù)題意，得，延長至，使，連接，證出四邊形是平行四邊形，從而，最后得出，即可得出結果.
【詳解】解：，
延長至，使，連接，
由于，∴，
四邊形是平行四邊形，
，
，
.
故選:C
6．B
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則及是正三角形，逐一判斷即可.
【詳解】解：對于A，因為，,
所以，故正確；
對于B，因為,(為中點)，故錯誤；
對于C，因為(為中點),
(為中點),
所以，故正確；
對于D，因為，，
所以，故正確.
故選：B.
7．D
【分析】分點在、軸進行分類討論，可得出點、關于坐標軸對稱，由此可得出點的個數(shù).
【詳解】分以下兩種情況討論：
①若點在軸上，則、關于軸對稱，
由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，
此時，符合條件的點有個；
②若點在軸上，則、關于軸對稱，
由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，
此時，符合條件的點有個.
綜上所述，滿足題中條件的點的個數(shù)為.
故選：D.
【點睛】本題考查符合條件的點的個數(shù)的求解，考查了平面向量加法法則的應用，屬于中等題.
8．D
【分析】由解析式并畫出圖象，可知它們共有5個交點且與、與關于對稱，結合平行四邊形法則有，即可求目標向量的模長.
【詳解】因為均過點，且關于該點中心對稱，
由解析式，可得函數(shù)圖象如下：
由圖知：有5個交點，其中與、與關于對稱，
所以，故.
故選：D
9．AD
【分析】由向量加法的運算法則以及運算律即可求解.
【詳解】由向量加法的平行四邊形法則可知，故A正確；
，故B不正確；
，故C不正確；
，故D正確．
故選AD
【點睛】本題主要考查向量加法的運算法則以及運算律，需熟記運算律.
10．AC
【分析】化簡得到，進而根據(jù)平面向量的定義判斷答案.
【詳解】由題意，，
易知A, C正確，B錯誤；平面向量不能比較大小，故D錯誤.
故選：AC.
11．##
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則可得.
【詳解】.
故答案為：.
12． [0，4] 相同
【分析】由平面向量的加法法則求解
【詳解】由知
當時，兩向量方向相同
故答案為：[0，4]　相同
13．既不充分也不必要
【分析】若且共線，可知充分性不成立；在中，，，，可知，可知必要性不成立；由此可得結論.
【詳解】若，且共線，則無法構成三角形，充分性不成立；
當可以構成三角形時，令，，，
則，必要性不成立；
甲是乙的既不充分也不必要條件.
故答案為：既不充分也不必要.
14．
【解析】根據(jù)向量的加法減法運算法則可證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的幾何性質即可求解.
【詳解】∵向量，，，滿足等式，
，
即，則四邊形ABCD為平行四邊形.
∵E為AC的中點，
∴E為對角線AC與BD的交點，
∴，
則.
故答案為：
【點睛】本題主要考查了向量加法、向量減法的運算，數(shù)形結合，屬于中檔題.
15．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；.
（2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進而作出證明.
【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則，
因為，所以.
（2）證明：由向量加法的平行四邊形法則，
因為，
所以
.
16．證明見解析.
【分析】利用正邊形中，及加法的平行四邊形法則，得到，由不恒成立，即可證明.
【詳解】證明：設正邊形的各個頂點分別為，則有，
根據(jù)加法的平行四邊形法則，有：
累加得：，
∵不恒成立，
.
即證.
【點睛】用符號表示的向量的加減法：
①加法：首尾相連，方向為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點（符合三角形法則）；
②減法：起點相同，方向指向被減向量（符合三角形法則）.
17．
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.
【詳解】由向量模的三角不等式可得，當且僅當、反向時，等號成立，
，當且僅當、同向時，等號成立，
綜上所述，.
故答案為：.
18．
【分析】根據(jù)分別表示方向上的單位向量，討論的位置關系研究的最值，即得范圍.
【詳解】由分別表示方向上的單位向量，
當對應起止點依次首尾相連構成封閉三角形時，，此時最小；
當都同向共線時，，此時最大；
所以的取值范圍是.
故答案為：
19．
【分析】如圖，由加法的平行四邊形法則可得，根據(jù)題意可得點P在A點時取得最小值，點P在C點時，取得最大值.
【詳解】解：如圖所示，由加法的平行四邊形法則，可知O為的中點，，
因為點P從C運動到A時，點O從C運動到的中點，
所以當點P在A點時，點O在的中點.
因為是等邊三角形，所以.
所以此時取得最小值；
當點P在C點時，取得最大值2.
所以的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.1向量的加法運算【第三課】
擴展1 用向量加法解決幾何問題
例1（2023·江西宜春高一期中）求證：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
已知：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點為O，且O是AC，BD的中點．
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求證.
【解析】證明：由題知，，
因此．
所以AB，DC平行且相等，因此四邊形ABCD是平行四邊形．
【方法總結】用向量方法證明幾何問題
用向量方法證明幾何問題，首先要把幾何問題中的邊轉化成相應的向量，通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關系，然后再還原成幾何問題．
【舉一反三1-1】
（2023·山西晉中·高一統(tǒng)考期中）
1．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【舉一反三1-2】
（2023·湖南永州·高一期中）
2．已知點O為ABC外接圓的圓心，且＋＋＝，則ABC的內角A等于 ．
【舉一反三1-3】
（2023·山西師大附中高一期中）
3．設，則的最大值與最小值分別為 ．
【舉一反三1-4】
（2023·河北邯鄲高一單元測試）
4．如圖所示，P，Q是的邊BC上兩點，且.求證：.
擴展2 向量加法的實際應用
例2（2023·福建三明一中高一期中）如圖所示，一架飛機從地按北偏東的方向飛行到達地，然后又從地按南偏東的方向飛行到達地，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和．（附：）
【解析】設分別表示飛機從地按北偏東的方向飛行，
從地按南偏東的方向飛行，則飛機飛行的路程指的是；
兩次位移的和指的是．
依題意，有．
因為，所以．
在中，，
，所以，
所以這架飛機飛行方向大致為北偏東．
從而飛機飛行的路程是，兩次位移和的大小為，方向大致為北偏東．
【方法總結】利用向量的加法解決實際應用題的步驟
【舉一反三2-1】
（2023下·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）
5．若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
【舉一反三2-2】
（2023·河南周口·高一期中）
6．某人在靜水中游泳，速度為km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河對岸，水的流速為4km/h，則此人實際沿 的方向前進，速度為 ．
【舉一反三2-3】
（2023·成都七中高一月考）
7．如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

（四川·高考真題）
8．如圖，正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真題）
9．設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則等于
A． B． C． D．
（2023·四川宜賓·二模）
10．在中，是的中點，，點為的中點，則 .
（2023·甘肅武威·一模）
11．已知點M是△ABC的重心，則＋＋＝ .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則判斷即可.
【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.
故選：A
2．30°##
【分析】由＋＋＝，得到四邊形OACB為平行四邊形，再由OA＝OB，得到四邊形OACB為菱形求解.
【詳解】解：由＋＋＝得＋＝，
由向量加法的幾何意義知四邊形OACB為平行四邊形，
又OA＝OB=OC，
則四邊形OACB為菱形，
所以OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°，
所以∠CAB＝∠CAO＝30°，
故答案為：30°
3．20，4
【分析】根據(jù)給定的條件，利用向量的三角形不等式求解作答.
【詳解】因，則，當且僅當與同向共線時取等號，
，當且僅當與反向共線時取等號，
所以的最大值與最小值分別為12，4.
故答案為：12，4
4．證明見解析
【分析】表示出，，相加結合已知，即可得出證明.
【詳解】因為，
，
所以.
又因為，所以.
5．B
【分析】根據(jù)向量的方向，畫出圖形，利用向量的加法運算，計算結果.
【詳解】如圖，

易知，所以．故的方向是北偏東．又.
故選：B．
6． 與水流方向成60° 8km/h
【分析】利用向量加法法則即可求得此人實際沿與水流方向成60°的方向前進，速度為8km/h.
【詳解】將此人的游泳速度與水的流速平移至共同起點，作出其和速度，
由此人的游泳速度為km/h，水的流速為4km/h，
可得此人實際速度為 km/h，且與水流方向成60°
故答案為：與水流方向成60°；8km/h
7．分析答案見解析，OA受力最大
【分析】根據(jù)題意利用向量加法的平行四邊形法則，畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系得出拉力最大的是OA．
【詳解】設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則.
因為，的合力為，所以.
如圖在平行四邊形中，

因為，，
所以，，即，.
故細繩OA受力最大.
8．D
【詳解】將平移到，平移到，
故，
故選D.
本題主要考查平面向量的基本概念及線性運算
考點：向量的加法.
9．D
【詳解】試題分析：由已知得，
而所以，選D.
考點：平面向量的線性運算，相反向量.
10．4
【分析】由題可得，，從而即可得到本題答案.
【詳解】
因為是的中點，所以，
又因為點為的中點，所以，
所以，，則.
故答案為：4
11．
【分析】根據(jù)平面向量線性運算求解．
【詳解】設D為AB的中點，則.
又M為△ABC的重心，則，
所以
故答案為：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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