資源簡介

6.2.1向量的加法運算【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.向量的加法法則，培養數學抽象、邏輯推理素養，如第2題、第6題、第9題；
2.向量加法的運算律及其應用，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第4題、第8題；
3.向量加法的實際應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第5題、第7題、第10題、第11題、第12題；
一、填空題
（2023·高一課時練習）
1．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝ .
（2023·高一課時練習）
2．若，，，則向量與的方向必為 .
（2023·河北邢臺·高一河北巨鹿中學?？茧A段練習）
3．四邊形中，若，則四邊形的形狀為 .
（2023·高一課時練習）
4．化簡： ．
（2023·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學?？茧A段練習）
5．如圖，在四邊形ABCD中，，且，則 ．

6．若向量與共線，且，則 ．
（2023·高一課時練習）
7．如圖，兩條繩子懸掛一個重量為G的物體，已知每條繩子用力為4N，兩條繩子的夾角為90°，則 .
（2023·全國·高一課時練習）
8．如圖，正六邊形中， .
二、解答題
（2023·高一課時練習）
9．如圖，已知下列各組向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
（2023·高一課前預習）
10．在靜水中船的速度為，水流的速度為，若船沿垂直于水流的方向航行，求船實際行進的方向的正切值(相當于與河岸的夾角).
（2023·高一課時練習）
11．如圖，已知電線AO與天花板的夾角為，電線AO所受拉力，繩BO與墻壁垂直，所受拉力．求和的合力．
（2023·高一課時練習）
12．一質點從點出發，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．
【易錯題目】第1題、第4題、第8題
【復盤要點】對向量加法運算律運用不夠靈活，使運算受阻
【典例】（2023·北京·高一北京市第二十五中學校考期中）在平行四邊形ABCD中， .
【答案】
【分析】根據向量加法的三角形法則計算可得；
【解析】解：
故答案為：
易錯警示：向量加法運算律應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
【復盤訓練】
（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習）
13．（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇鹽城·高一?？计谥校?br/>14．已知M為四邊形ABCD內任一點，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一專題練習）
15．如圖，正六邊形ABCDEF中，則（ ）

A． B． C． D．
（2023下·云南迪慶·高一統考期末）
16．四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谀?br/>17．已知正方形ABCD的邊長為2，，則＝ ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用向量的加法運算即得.
【詳解】＋＋.
故答案為：.
2．反向
【分析】注意到=，利用向量加法的幾何意義可得答案.
【詳解】由已知可得，
由向量加法的幾何意義可知，向量與的方向的方向相反，
故答案為：反向.
3．平行四邊形
【分析】由平面向量的加法法則直接可得答案
【詳解】解：因為四邊形中，，
所以，
所以，
所以，且‖，
所以四邊形為平行四邊形，
故答案為：平行四邊形
4．
【分析】利用向量的加法運算即可求解.
【詳解】解：
故答案為：.
5．
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則求得正確答案.
【詳解】因為，所以由向量的加法的幾何意義可知四邊形ABCD是平行四邊形，
又因為，所以四邊形ABCD是菱形，
且，所以．
故答案為：
6．0或2
【分析】由題可知與相等或互為相反向量，據此即可求
【詳解】向量與共線，且，∴與相等或互為相反向量，
當與相等時，，
當與互為相反向量時，．
故答案為：0或2．
7．
【分析】求得兩條繩子用力的合力即可.
【詳解】因為每條繩子用力為4N，兩條繩子的夾角為90°，
所以兩條繩子用力的合力為N，
所以N，
故答案為：N
8．
【分析】將平移到，平移到，根據平面向量的加法運算即可求解.
【詳解】將平移到，平移到，
故.
故答案為:.
9．(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)作圖見解析
(4)作圖見解析
【分析】應用向量的性質，將，作平移處理，使一個向量起點與另一個的起點或終點重合，結合三角形或平行四邊形法則畫出，注意共線向量只需將一個向量起點平移至另一個向量的終點，再連接兩向量的另一個起點和終點即可.
【詳解】（1）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：
（2）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：
（3）以，為頂點作平行四邊形，應用平行四邊形法則可得，如下圖：
（4）將的起點移至的終點，應用三角形法則可得，如下圖：
【點睛】
10．
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則及正切函數的定義即可求解.
【詳解】如圖所示，
表示船速，表示水速，以、為鄰邊作，則表示船實際航行的方向.
所以
在中，.
所以船實際行進的方向的正切值為.
11．與的合力大小為，方向為與成角豎直向上．
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，作出受力分析圖，然后計算即可.
【詳解】如圖，根據向量加法的平行四邊形法則，得到合力，
在中，，
，，
∴，∴，
∴與的合力大小為，方向為與成角豎直向上．
12．作圖見解析
【分析】根據題意可作出向量、、以及.
【詳解】根據題意，、、以及的示意圖如下圖所示：
13．D
【分析】根據向量的運算法則，準確化簡，即可求解.
【詳解】由向量的運算法則，可得.
故選：D.
14．B
【分析】根據平面向量的加法運算法則，即可求解.
【詳解】根據平面向量的加法運算法則可知，
，
故選：B.
15．D
【分析】利用向量的線性運算直接求解即可.
【詳解】由已知，ABCDEF為正六邊形，所以，,
所以.
故選：D.
16．B
【分析】根據向量的加法運算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
17．
【分析】利用向量的加法計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.1向量的加法運算【第一課】
[課標要求]
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.
3.了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.
[明確任務]
1.向量加法的概念（數學抽象）；
2.向量加法的法則（直觀想象）；
3.向量加法的運算律（邏輯推理）.
1.物理中求力的合力方法；
2.數量的加法概念及其運算律.
核心知識點1 向量加法法則
1.向量加法的定義
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法則
向量求和的法則 三角形法則 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A， 作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和， 記作a＋b，即a＋b＝＋＝. 這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則. 對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a
平行四邊形法則 以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 OACB，則以O為起點的對角線就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
提示：位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型.
例1. （1）如圖①所示，求作向量a＋b.
（2）如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
【解析】（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖③所示.
（2）方法一(三角形法則)如圖④所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求.
方法二(平行四邊形法則)如圖⑤所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝＋＝a＋b.
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝＋＝a＋b＋c即為所求.
歸納總結 向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 （1）首尾相接 （2）適用于任何向量求和 三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
平行四邊形法則 （1）共起點 （2）僅適用于不共線的兩個向量求和
【舉一反三】
1．已知四邊形為菱形，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量．
(1)＋＝ ；
(2)＋＝ ；
(3)＋＝ .
核心知識點2 向量加法運算律的應用
1.向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
例2.化簡：（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋＋＋.
【解析】 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
歸納總結：向量加法運算律的意義和應用原則
（1）意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據，實現恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
（2）應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
【舉一反三】
3．已知，，，，，則 ．
4．已知正方形的邊長為1，則 ．
核心知識點3 向量加法的實際應用
例3. 河水自西向東流動的速度為10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10 km/h，求小船的實際航行速度.
【解析】設a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內一點O作＝a，＝b，
以，為鄰邊作矩形OACB，連接，
如圖，則＝a＋b，并且即為小船的實際航行速度.
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，
∴小船的實際航行速度為20 km/h，沿北偏東30°的方向航行.
歸納總結： 應用向量解決實際問題的基本步驟
（1）表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題.
（2）運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題.
（3）還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題.
【舉一反三】
5．若在中，，，則的形狀是（ ）
A．正三角形 B．銳角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
6．如圖，用兩根繩子把重的物體吊在水平桿子上，，求處和處所受力的大?。ɡK子的重量忽略不計）
7．化簡等于（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，正六邊形中， .
9．正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
10．下列等式不正確的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
11．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形
C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形
12．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（ ）
A． B．
C． D．
13．已知向量表示“向東航行3km”，表示“向南航行3 km”，則表示 .
14．如圖，已知在中，O是兩條對角線的交點，E是CD的一個三等分點(靠近D點)，求作：
(1)；
(2).
15．在靜水中船的速度為，水流的速度為，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據菱形的性質，結合平面向量加法的運算性質進行判斷即可.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，因為，所以，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，所以，故D錯誤.
故選：C
2．
【分析】利用向量的平行四邊形法則和三角形法則，即可求解
【詳解】(1)因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB是其對角線，故
(2)因為，故與方向相同，
長度為長度的2倍，
故
(3)因為，故
故答案為：①；②；③
3．##
【分析】根據向量加法的三角形法則可得.
【詳解】.
故答案為：.
4．
【分析】結合向量的線性運算的加法法則得出，
根據題意求出即可.
【詳解】因為,
所以,
又正方體的邊長為1，所以對角線,
即，所以.
故答案為：
5．D
【分析】，平方計算得到得到答案.
【詳解】，則，故，
故，故三角形為等腰直角三角形.
故選：D.
【點睛】本題考查了根據向量運算判斷三角形形狀，意在考查學生的計算能力.
6．A處所受力的大小為，B處所受力的大小為．
【分析】根據平行四邊形法則，再由可證得四邊形為矩形，由，即可求解.
【詳解】解:如圖所示，設分別表示A處，B處所受的力，10 N的重力用表示，則.
易得
∴易證得四邊形為矩形，
，
∴A處所受力的大小為，B處所受力的大小為．
【點睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則，與物理中的重力結合，體現了向量在其他學科中的應用，屬于基礎題
7．D
【分析】利用向量加法直接得到答案.
【詳解】.
故選：D
8．
【分析】將平移到，平移到，根據平面向量的加法運算即可求解.
【詳解】將平移到，平移到，
故.
故答案為:.
9．B
【分析】利用向量加法運算及向量的摸的定義，結合勾股定理即可求解.
【詳解】在正方形中，如圖所示,
根據向量加法的平行四邊形法則，,
又因為正方形的邊長為1，
所以，
故選：B.
10．B
【分析】根據向量加法的運算律判斷即可.
【詳解】對于①，，正確；
對于②，，錯誤；
對于③，，正確.
故選：B
11．A
【分析】由推出，再根據向量相等的定義得且，從而可得答案.
【詳解】因為，故，即，
故且，故四邊形一定是平行四邊形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.
故選：A.
12．B
【分析】利用向量加法的三角形法則以及向量加法的交換律即可求解.
【詳解】.
故選：B
13．向東南航行km.
【分析】根據向量加法法則分析即可.
【詳解】根據題意由于向量表示“向東航行3km”，向量表示“向南航行3km”，
那么可知表示向東南航行km.
故答案為：向東南航行km
14．(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用向量的加法法則作圖即可；
（2）利用向量的加法法則作圖即可.
【詳解】（1）延長，在延長線上截取，則向量即為所求.
（2）在上取點，使，則向量即為所求.
15．船是沿與水流的方向成的角的方向行進的.
【分析】作出圖形，是水流方向，是垂直于河岸的實際方向，作平行四邊形，其中是一條對角線，是平行四邊形的一邊，則是船行進的方向，由平行四邊形進行計算可得．
【詳解】作出圖形，如圖所示.船速船與岸的方向成角，由圖可知水＋船＝實際，結合已知條件，
四邊形為平行四邊形，在中，水，
船，所以，所以，
從而船與水流方向成的角.
所以船是沿與水流的方向成的角的方向行進的.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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