資源簡介

6.2.2 向量的減法運(yùn)算【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進(jìn)行整理和改編；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題難度較大，適合學(xué)完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的．
【目標(biāo)分析】
1．向量的加法與減法運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)，如第1題、第2題、第3題、第5題、第9題、第12題、第15題；
2．向量減法與加法及模的綜合問題，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)素養(yǎng)，如第4題、第7題、第8題、第10題、第11題、第14題；
3．與向量模長有關(guān)的最值與范圍問題，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第3題、第6題、第13題、第16題；
一、單選題
（2023下·陜西西安·高一校考期中）
1．下列各式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陜西渭南高一期中）
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）
3．八卦是中國古老文化的深奧概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京西城·北京師大附中高一期末）
4．向量“，不共線”是“| +| < ||+||”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期中）
5．下列各式的結(jié)果一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖北黃石高一期中）
6．若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）
7．在中，若，則的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
（2023·河北正定高一期中）
8．在平面上有A，B，C三點(diǎn)，設(shè)若與的長度恰好相等，則有（ ）
A．A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上
B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角
C．△ABC必為直角三角形且∠B為直角
D．△ABC必為等腰直角三角形
二、多選題
（2023·山東泰安一中高一期中）
9．在平行四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江西宜春高一期中）
10．對于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
（2023·湖北十堰·高一期中）
11．已知非零向量，滿足，則 .
（2023·廣西北海高一期中）
12．如圖所示，中心為O的正八邊形中，，，則 ．（結(jié)果用，表示）
（2023·安徽銅陵高一期中）
13．已知向量，，的模分別為3，4，5，則的最大值為 ，最小值為 ．
（2023·福建廈門·高一校考期末）
14．在四邊形ABCD中，若，且，則的面積為 .
四、解答題
（2023·山西大同·高一統(tǒng)考期末）
15．如圖，已知空間四邊形，連接，，，，分別是，，的中點(diǎn)，請化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
（1）；
（2）.
（2023·遼寧阜新高一期末）
16．已知，.求的最大值和最小值.
【易錯題目】第6題、第13題、第16題
【復(fù)盤要點(diǎn)】向量中的最值與取值范圍問題，常常要借助向量中的三角不等式解決．
典例（2023·湖南衡陽高一期末）已知，，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由已知，可根據(jù)，，借助直接得到的范圍．
【解析】∵，且，，
∴．
當(dāng)與同向時(shí)，；
當(dāng)與反向時(shí)，．
∴的取值范圍為．
故答案為：．
易錯提示：對任意向量總有：．
因?yàn)椋裕?br/>即．
將兩式結(jié)合起來即為．
利用向量三角不等式可以解決有關(guān)向量的大小（模）的取值范圍或最值問題，但需要注意的是運(yùn)用此性質(zhì)時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，即當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2023·福建福州三中高一期中）
17．若向量，滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
（2023·湖北孝感高一期中）
18．已知，的取值范圍是[5，15]，則a＝ ，b＝ .
（2023·北京大興區(qū)高一期中）
19．如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1，點(diǎn)P是陰影區(qū)域內(nèi)的一個動點(diǎn)（包括邊界），O，A在格點(diǎn)上，則的最小值是 ；最大值是 .
（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期末）
20．若平面向量滿足，，則的取值范圍為 .
（2023·江蘇鹽城高一期末）
21．已知向量滿足，則的取值范圍是 ．
（2023·江西贛州高一期末）
22．平面向量滿足，則的取值范圍為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確；
故選：D
2．A
【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】
.
故選：A.
3．B
【分析】利用相等向量和向量的減法直接求解.
【詳解】．
故選：B
4．A
【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示及充分條件，必要條件的概念即得.
【詳解】當(dāng)向量“，不共線”時(shí)，由向量三角形的性質(zhì)可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
當(dāng)“，方向相反”時(shí)，滿足“| +| < ||+||”，但此時(shí)兩個向量共線，即必要性不成立，
故向量“，不共線”是“| +| < ||+||”的充分不必要條件.
故選：A.
5．B
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算化簡后可判斷.
【詳解】對于A，不一定為零向量，不選A；
對于B，，滿足題意；
對于C，，不一定為零向量, 不選C；
對于D，，不一定為零向量，不選D.
故選：B
6．A
【分析】由向量模長的三角不等式可求得的取值范圍．
【詳解】由向量模長的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)、的方向相同時(shí)，等號成立；
，當(dāng)且僅當(dāng)、的方向相反時(shí)，等號成立，
因此，的取值范圍是，
故選：A．
7．D
【分析】根據(jù)向量的減法法則可得，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以為等邊三角形．
故選：D
8．C
【分析】以為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)m，n的長度相等可知平行四邊形一定是矩形,即可判斷.
【詳解】以為鄰邊作平行四邊形，則由m，n的長度相等可知，兩對角線相等，因此平行四邊形一定是矩形,所以△ABC必為直角三角形且∠B為直角．
故選：C.
9．ABD
【分析】應(yīng)用幾何圖形進(jìn)行向量加減運(yùn)算，結(jié)合向量的概念、三角形及平行四邊形法則，即可判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖，
因?yàn)椋裕蔄正確；
由向量平行四邊形法則可得，故B正確；
因?yàn)椋蔆錯誤；
因?yàn)椋蔇正確.
故選：ABD.
10．BCD
【解析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解.
【詳解】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，
所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯誤；
因?yàn)椋遥?br/>所以，即C結(jié)論正確；
因?yàn)椋?br/>，所以D結(jié)論正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法、減法的運(yùn)算，菱形的性質(zhì)，屬于中檔題.
11．
【分析】由已知，結(jié)合向量的減法法則，可以得出一個特殊的等邊三角形，再根據(jù)向量加法的平行四邊形法得出，從而求得結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)，，則，以O(shè)A，OB為邊作平行四邊形OACB，則.
因?yàn)椋浴鱋AB是等邊三角形，四邊形OACB是一個菱形，，所以，
所以.
故答案為：．
12．
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可求得答案.
【詳解】由題圖可知，
,
故答案為：
13． 12 0
【分析】當(dāng)，，同向時(shí)，的模最大，當(dāng)，，和時(shí)，的模最小，問題得以解決．
【詳解】解：向量，，的模分別為3，4，5，則向量可共線，又，則以為邊長可構(gòu)成直角三角形，
則當(dāng)，，同向時(shí)，的模最大，
所以；
當(dāng)，，和為時(shí)，的模最小，由于以為邊長可構(gòu)成直角三角形，
設(shè)，，，所以此時(shí)，故.
故答案為：12；0.
14．
【解析】由向量的加減運(yùn)算可得四邊形為平行四邊形，再由條件可得四邊形為邊長為4的菱形，由三角形的面積公式計(jì)算可得所求值．
【詳解】
在四邊形中，，即為，即，
可得四邊形為平行四邊形，又，
可得四邊形為邊長為4的菱形，
則的面積為正的面積，即為，
故答案為：．
15．（1）；作圖見解析；（2）；作圖見解析.
【分析】（1）利用向量加法以及減法的幾何意義即可求解.
（2）利用向量加法以及減法的幾何意義即可求解.
【詳解】（1），如圖中向量.
（2），
如圖中向量.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法以及減法的幾何意義，考查了基本知識掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.
16．最大值是3，最小值是1.
【分析】根據(jù)得到最大值，得到最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)與，即與的方向相同時(shí)取等號.
，當(dāng)且僅當(dāng)與，即與的方向相反時(shí)取等號.
所以的最大值是3，最小值是1.
17． 4 20
【分析】根據(jù)向量同向和反向，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)向量與反向時(shí)，最小，最小值，
當(dāng)向量與反向時(shí)，最大，最大值是.
故答案為：4；20
18． 10 5
【分析】由即可得到，則可求.
【詳解】因?yàn)?br/>所以，因?yàn)榈娜≈捣秶荹5，15]
所以解得
故答案為：10；5.
19．
【分析】，進(jìn)而得到答案.
【詳解】本題即求點(diǎn)A到陰影區(qū)域中的點(diǎn)距離的最值，如圖，
于是最小值為，最大值為.
故答案為：.
20．
【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而得,再利用基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】解：，
設(shè)，則，，
所以，，
，
所以，的取值范圍為.
故答案為：
21．
【分析】根據(jù)向量的和差的模與模的和差的關(guān)系求解即可.
【詳解】∵
∴
∴，即；
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同或與至少有一個為零向量時(shí)取等號，
，即.
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反或與至少有一個為零向量時(shí)取等號，
∴的取值范圍是
故答案為：.
22．
【分析】先利用題給條件求得向量之間的關(guān)系，再利用托勒密定理數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.
【詳解】預(yù)備定理：
圓內(nèi)接四邊形ABCD中，連接，作交于E，
則（，）
則
又（，）
則，又
則
由題意得，平面向量滿足，
令，
則四點(diǎn)A、B、C、D在以O(shè)為圓心半徑為1的圓上，
又，則向量兩兩夾角為，且為等邊三角形，
則
不妨設(shè)點(diǎn)D在A、B為端點(diǎn)的優(yōu)弧上，
由以上預(yù)備定理可得
又，則
則
又點(diǎn)D在圓O上任意移動，則，則
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.2 向量的減法運(yùn)算【第三課】
擴(kuò)展1 向量加法與減法及模的綜合應(yīng)用
例1（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．
（1）若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
（2）化簡，并在圖中作出表示該化簡結(jié)果的向量．
【答案】（1）菱形，理由見解析
（2）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則，結(jié)合菱形的定義進(jìn)行求解判斷即可；
（2）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平面向量運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
【解析】（1）由條件知，
即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．
（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質(zhì)可知．
所以．
作出向量如圖所示．
【方法總結(jié)】平行四邊形中有關(guān)向量的結(jié)論，在中，記，
若，則平行四邊形為矩形．
【舉一反三1-1】（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）
1．在四邊形中，若，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
D．在四邊形是平行四邊形
【舉一反三1-2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）
2．在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【舉一反三1-3】（2023·江西贛州高一期中）
3．已知非零向量滿足，且，則 .
【舉一反三1-4】（2023·四川南充高一期中）
4．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，且，，則 .
擴(kuò)展2 向量三角不等式的應(yīng)用
例2（2023·福建三明一中高一期中）對于不等式，給出下列四個結(jié)論：
①不等式左端的不等號“≤”只能在時(shí)取“＝”；
②不等式左端的不等號“≤”只能在與均為非零向量且不共線時(shí)取“＜”；
③不等式右端的不等號“≤”只能在與均為非零向量且同向共線時(shí)取“＝”；
④不等式右端的不等號“≤”只能在與均為非零向量且不共線時(shí)取“＜”．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A.0個 B.1個 C.2個 D.4個
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，也成立，故①不正確；
當(dāng)，時(shí)，也成立，故②不正確；
當(dāng)，有一個為時(shí)，也成立，故③不正確；
當(dāng)與反向共線時(shí)，也成立，故④不正確．
所以正確的結(jié)論有0個．
【方法總結(jié)】對任意向量總有：．
因?yàn)椋裕矗?br/>將兩式結(jié)合起來即為．
利用向量三角不等式可以解決有關(guān)向量的大小（模）的取值范圍或最值問題，但需要注意的是運(yùn)用此性質(zhì)時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，即當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
【舉一反三2-1】（2023·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）
5．若，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三2-2】（2023·河南周口·高一期中）
6．任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
【舉一反三2-3】（2023·山西師大附中高一月考）
7．已知，.求的最大值和最小值.
（湖南·高考真題）
8．若是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）
9．已知正方形的邊長為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
（2023·河北邢臺一模）
10．以下四個選項(xiàng)中，正確的有（ ）
A．若向量，則
B．若非零向量滿足，則表示的有向線段可以構(gòu)成三角形
C．若四邊形滿足，且，則四邊形為矩形
D．為四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則四邊形為平行四邊形
（2023·浙江麗水高考模擬）
11．若非零向量和滿足,則的取值范圍是 ,的取值范圍是 .
（2023·江蘇鹽城一模）
12．三角形OAB中，、、…、是邊上的等分點(diǎn)，設(shè)，，若，用、表示，其結(jié)果為 .
（2023·河北邯鄲聯(lián)考一模）
13．已知向量滿足，則的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運(yùn)算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.
【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.
故選：A
2．A
【分析】根據(jù)向量加減法法則及模的定義判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以是等邊三角形．
故選：A．
3．4
【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算及向量的模長可得出平行四邊形OACB是矩形，由矩形對角線相等得解.
【詳解】如圖所示，設(shè)，，
則，
以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形，
根據(jù)矩形的對角線相等得，即.
故答案為：4
4．2
【分析】由向量加減法的幾何意義，求得，由為線段的中點(diǎn)，得到，即可求解.
【詳解】以為臨邊作平行四邊形，如圖所示，
由向量加減法的幾何意義，可知，
因?yàn)椋裕?br/>又由，且為線段的中點(diǎn)，
所以.
故答案為：.
5．C
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋裕?
故選：C.
6．②③
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據(jù)向量減法的三角形法則可判斷②③④.
【詳解】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；
②根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；
③根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；
④根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.
故答案為：②③.
7．最大值是3，最小值是1.
【分析】根據(jù)得到最大值，得到最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)與，即與的方向相同時(shí)取等號.
，當(dāng)且僅當(dāng)與，即與的方向相反時(shí)取等號.
所以的最大值是3，最小值是1.
8．B
【詳解】根據(jù)平面向量減法運(yùn)算的“三角形”法則可知＝-　，
只有選項(xiàng)B符合題意，
故選B.
9．C
【分析】利用向量運(yùn)算法則得到.
【詳解】，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，所以，
故.
故選：C
10．CD
【分析】當(dāng)時(shí)，無法確定的方向，即可判斷A；當(dāng)共線時(shí)，即可判斷B；由，可得且，再根據(jù)結(jié)合平面向量的減法的三角形法則即可判斷C；根據(jù)，可得，即可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，無法確定的方向，故不能判斷是否平行，故A錯誤；
對于B，若非零向量滿足，則，
當(dāng)共線時(shí)，則表示的有向線段不可以構(gòu)成三角形，故B錯誤；
對于C，若四邊形滿足，則且，
則四邊形為平行四邊形，
因?yàn)椋矗?br/>所以平行四邊形為矩形，故C正確；
對于D，因?yàn)椋裕矗?br/>所以且，
所以四邊形為平行四邊形，故D正確.
故選：CD.
11．
【分析】(1)根據(jù)平面向量的三角不等式求解的取值范圍即可.
(2)根據(jù)結(jié)合平面向量的三角不等式可得與,再根據(jù)求解的取值范圍即可.
【詳解】(1)因?yàn)?又是非零向量,所以的取值范圍是.
(2)因?yàn)?所以,,
又,，所以的取值范圍是.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加減法的幾何意義 向量三角不等式運(yùn)算.需要根據(jù)所給的向量構(gòu)造合適的三角不等式,屬于中檔題.
12．
【分析】根據(jù)向量的加法可知，，，求和化簡后再根據(jù)向量的減法即可求解.
【詳解】由向量的加法法則可知：，
因?yàn)椤ⅰⅰ⑹沁吷系牡确贮c(diǎn)，
所以，
同理可得：
，
所以,
而，
代入得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法，向量的減法，共線向量的等分，屬于中檔題.
13．
【分析】根據(jù)向量的和差的模與模的和差的關(guān)系求解即可.
【詳解】∵
∴
∴，即；
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同或與至少有一個為零向量時(shí)取等號，
，即.
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反或與至少有一個為零向量時(shí)取等號，
∴的取值范圍是
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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