資源簡介

6.2.2 向量的減法運算【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的．
【目標分析】
1．向量的減法運算，培養數學抽象、邏輯推理素養，如第1題、第2題、第8題、第11題；
2．向量減法法則的應用，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第4題、第6題、第10題、第12題、第13題；
3．向量加法與減法及模的綜合應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第5題、第7題、第9題、第14題；
一、填空題
（2023·全國高一課時練習）
1．設與是兩個相等向量，則
（2023·全國高一課時練習）
2． .
（2023·高一課時練習）
3．在邊長為的等邊中， ．
（2023·北京豐臺·高一校聯考期中）
4．如圖，在中，是上一點，則 ．
（2023·高一課時練習）
5．若四邊形為正方形，且邊長為，則 .
（2023·高一課時練習）
6．如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中，則等于 ．
（2023·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）
7．已知正方形邊長為,則 ．
（2023·高一課時練習）
8．中，D是的中點，若，，，，則 ， ．
（2023·高一課時練習）
9．設P為平行四邊形ABCD所在平面內一點，則① ；②；③中成立的序號為 ．
（2023·高一課時練習）
10．已知，，則的取值范圍是 ．
二、解答題
（2023·高一課時練習）
11．如圖，在各小題中，已知，分別求作．
（2023·河南周口·高一校考階段練習）
12．化簡下列各式：
(1)；
(2)
（2023·高一課時練習）
13．作圖驗證：．
（2023·高一課時練習）
14．已知中，，滿足，求與的面積．
【易錯題目】第4題、第9題、第12題
【復盤要點】對向量減法和加法法則運用不清，使運算出錯
【典例】（2023·福建三明一中高一期中）如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且＝，則化簡＋－－的結果為（ ）
A.0 B．
C． D．
【答案】　A
【解析】＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0．
易錯警示：　（1）向量減法運算的常用方法
（2）向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和．
②起點相同且為差．
解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用．
【復盤訓練】
（2023·山東泰安·高一校考階段練習）
15．如圖，在矩形中，是兩條對角線的交點，則
A． B． C． D．
（2023· 湖北黃石高一期中）
16．下列結果為零向量的是( )
A． B．
C． D．
（2023·全國高一課時練習）
17．化簡下列各式：
(1)；
(2)．
（2023·四川南充高一期中）
18．如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用表示向量，，.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用向量的運算即得.
【詳解】因為與是兩個相等向量，
所以.
故答案為：.
2．
【分析】根據平面向量減法的幾何意義進行求解即可.
【詳解】由平面向量減法的幾何意義可知：，
故答案為：
3．
【分析】直接利用向量的減法計算，然后求模即可.
【詳解】
故答案為：1.
4．
【分析】根據題意利用向量加法與減法法則運算即可.
【詳解】由題意得.
故答案為:
5．
【分析】根據向量加減法運算直接求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
6．
【分析】根據向量的減法法則即可求解.
【詳解】.
故答案為：.
7．
【分析】由向量的加減法法則化簡向量，利用正方形對角線長度為可得．
【詳解】∵正方形邊長為1，∴．
．
故答案為：．
【點睛】本題考查向量的加減法的三角形法則，屬于基礎題．
8．
【解析】根據題意畫出圖形，再利用向量的加法與減法法則，即可得到答案.
【詳解】根據題意畫出圖形如圖，
則；
．
故答案為：；
【點睛】本題考查向量加法與減法的幾何意義，考查數形結合思想，屬于基礎題.
9．②
【分析】利用向量的三角形法則及其幾何意義求解.
【詳解】如圖，
因為四邊形為平行四邊形，
所以連接對角線交于點，則為的中點，
根據向量的加法運算法則可得，
在中，,
在中，,
所以,
故答案為:②.
10．[2，14]
【分析】根據向量減法的三角形法則，由，則向量，同向時，有最小值；向量，反向時，有最大值；代入計算即可得到答案．
【詳解】解：，
即
故答案為：
11．見解析
【解析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量.
【詳解】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，
如圖，，

(1) (2)

(3) (4)
【點睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數形結合思想，屬于基礎題.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量加法和減法的運算法則化簡即可得出結果；
（2）首先化簡出兩個向量的結果，再與第三個向量進行加減運算即可求得結果.
【詳解】（1）利用平面向量的加減運算法則可得，
（2）由平面向量的加減運算法則可得
13．見解析
【分析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量.
【詳解】當中至少有一個為時，顯然成立（圖略）；
當不共線時，作圖如圖（1），顯然；
當共線時，同理可作圖如圖（2）所示．
【點睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數形結合思想，屬于基礎題.
14．；三角形面積為
【分析】根據向量減法法則結合，可得為等邊三角形，從而可求得三角形得面積，再根據結合數量積得運算律即可求解.
【詳解】由，得，
因為，
所以為等邊三角形，則，
則，
的高為，
所以.

15．B
【分析】利用向量加減法的三角形法則即可求解.
【詳解】原式=，答案為B.
【點睛】主要考查向量的加減法運算，屬于基礎題.
16．BCD
【分析】根據向量加減法的運算方法即可逐項判斷.
【詳解】A項，；
B項，；
C項，；
D項，.
故選：BCD.
17．(1)
(2)
【分析】根據向量的加法減法運算求解即可.
【詳解】（1）.
（2）
18．，，.
【解析】直接根據向量加法與減法的三角形法則求解．
【詳解】解：∵四邊形ACDE為平行四邊形，
∴，，
∴，，．
【點睛】本題主要考查平面向量加法與減法的三角形法則，屬于基礎題．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.2 向量的減法運算【第一課】
[課標要求]
1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.
2.掌握向量減法的幾何意義.
3.能熟練地進行向量的加、減綜合運算.
[明確任務]
1.向量減法的概念（數學抽象）；
2.向量減法的幾何意義（直觀想象）；
3.向量加法與減法的綜合運算（邏輯推理）.
1.數量運算中減法與加法關系及相反數的概念；
2.向量加法的運算法則.
核心知識點1 向量減法運算
1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋（－b），因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.
2.幾何意義：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖所示.
3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
例1. 如圖，已知a，b，求作a－b.
【解析】如圖，即為所求作的a－b.
歸納總結 求作兩個向量的差向量的兩種思路
（1）可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可.
（2）可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，
指向被減向量的終點的向量.
【舉一反三】
1．如圖，D，E，F分別是的邊AB，BC，CA的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一隨堂練習）
2．如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

核心知識點2 向量減法法則的應用
例2. （1）化簡：（－）＋（－）＝________.
【答案】　
【解析】原式＝＋＋－＝＋－＝.
（2）如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且＝，則化簡＋－－的結果為（　　）
A.0 B. C. D.
【答案】A
【解析】＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝－＝0.
歸納總結 （1）向量減法運算的常用方法
（2）向量加減法化簡的兩種形式
①首尾相連且為和.
②起點相同且為差.
解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用.
【舉一反三】
3．下列式子可以化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，已知O為平行四邊形ABCD內一點，，，，則 .

核心知識點3 向量加法與減法的綜合應用
例3. 如圖，已知向量、、、、．
（1）用、、表示；
（2）用、表示；
（3）用、、表示；
（4）用、表示．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】平面向量的線性運算法則依次求解即可.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
歸納總結： 向量加法與減法的三角形法則
向量加法三角形法則：“首尾相接， 首指向尾為和.”
向量減法三角形法則：“共起點連終點，指向被減向量.”
【舉一反三】
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O點，則－－＋＝ .
6．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，，，，試求：.

7．如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC，BD的交點，設，，，求證：.
8．在△ABC中，若，，則等于（　　）
A． B． C． D．
9．化簡的結果等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD一定是（　　）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
11．下列等式成立的個數是（　　）
①；
②；
③；
④；
⑤.
A．5 B．4 C．3 D．2
12．(多選)下列各向量運算的結果與相等的有（ ）
A． B．
C． D．
13． .
14．在邊長為1的正三角形中，的值為 ．
15．如圖，根據圖示填空：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；（5） ．
16．如圖所示，O為△ABC內一點，，，，求作：.

試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BCD
【分析】由中位線的性質及相等向量的定義和向量減法的運算法則即可求解.
【詳解】解：因為D，E，F分別是的邊AB，BC，CA的中點，
所以,且，，且，
所以，，
所以，
故選：BCD.
2．答案見解析
【分析】根據向量的減法運算法則及幾何意義作圖即可.
【詳解】如圖，作，則即為，
再作，則向量即為．

3．AD
【分析】利用平面向量的線性運算即可得解.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：AD.
4．
【分析】根據幾何圖形，利用相等向量轉化，結合向量的加減運算公式，即可求解.
【詳解】由已知，則.
故答案為：
5．
【分析】先化為，利用向量加法與減法的運算，可得答案.
【詳解】因為－－＋
故答案為：
6．2
【分析】利用相等向量轉化，再求，再求模.
【詳解】作，連結，則，

而，
所以，且，
所以.
7．證明見解析
【分析】根據圖形關系，利用向量線性運算化簡即可得到結論.
【詳解】因為
所以.
8．D
【分析】根據平面向量的減法法則計算即可，
【詳解】由已知可得：.
故選：D
9．B
【分析】利用向量加減法的運算法則，即可化簡目標式.
【詳解】.
故選：B
10．A
【分析】根據平面向量減法法則判斷即可.
【詳解】由，可得，
所以四邊形一定是平行四邊形.
故選：A
11．B
【分析】根據向量的運算逐個選項判斷即可.
【詳解】由向量的線性運算可得，，，
，，，故①③④⑤正確.
故選：B
12．AD
【分析】由向量的線性運算法則計算并判斷.
【詳解】由向量的線性運算法則得，對A，，所以A符合題意，B不符合題意；對C， ，對D，，故C不符合題意，D符合題意.
故選：AD
13．
【分析】根據向量加法和減法運算法則，即可求解.
【詳解】，
.
故答案為：
14．
【詳解】在正三角形中， ,故的夾角為 ，所以 ，故填.
點睛：求向量的模時，一般可考慮求其平方的值，根據向量中來計算，特別注意本題目中的夾角，并不是三角形的內角 ，而是其補角 ，這種情況在解題中要特別注意.
15．
【分析】利用平面向量的加法和減法法則求解.
【詳解】解：由平面向量的加法和減法法則得：
（1）在中，，即 ；
（2）在中，，即；
（3）在四邊形ABCD中，，即；
（4）在五邊形ABCDE中，，即；
（5）在四邊形ABCD中，，即，
所以.
16．作圖見解析
【分析】方法一，首先利用平行四邊形法則，作出，再利用向量減法，即可作出；
方法二，首先求得，利用相等向量進行轉化，即可作出.
【詳解】方法一　以為鄰邊作，連接，，

則，.
方法二　作

連接，則，
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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