資源簡介

6.2.4向量的數量積【第二練】“上好三節課，做好三套題“高中數學素養晉級之路
6.2.4向量的數量積【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.向量數量積的相關概念（夾角、投影向量），培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第2題、第8題、第9題；
2. 求向量數量積及其運算性質，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第3題、第6題、第7題、第12題；
3.運用向量數量積求夾角與模長，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第5題、第10題、第11題、第13題；
4.與垂直有關問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第14題、第15題；
（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考期中）
1．在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
（2023上·浙江麗水·高一校聯考期中）
2．已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·浙江嘉興·高一統考期末）
3．已知單位向量，的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·寧夏銀川·高一銀川一中校考期中）
4．如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
（2024上·云南昆明·高一統考期末）
5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·內蒙古呼和浩特·高一統考期末）
6．我國古代數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數形結合的方法給出了勾股定理的證明，極富創新意識.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
（2023·江蘇揚州·高一儀征中學校月考）
7．下列關于向量，，的運算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
（2024·遼寧丹東·高一統考期末）
8．已知，，則下列說法正確的為（ ）
A．若，則
B．若，則與的夾角為0°
C．若與的夾角為60°，則在上的投影向量為
D．的取值范圍為
（2024上·廣西柳州·高一柳州高級中學校考期末）
9．已知，且與的夾角為，為與方向相同的單位向量，則向量在向量上的投影向量為 .
（2023·江蘇南通·高一海門中學校期中）
10．已知向量滿足，的夾角為，則 .
（2023·北京昌平·高一統考期末）
11．已知向量，滿足，，，則 ．
（2023下·山東東營·高一統考期末）
12．如圖，直角梯形中，，，，，，則 ．

（2023·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學校考期末）
13．已知平面向量，滿足，，．
(1)求與的夾角；
(2)求．
（2023下·江西宜春·高一統考期中）
14．已知平面向量滿足，且．
(1)求向量的夾角；
(2)若，求實數的值．
（2023·陜西安康高一期中）
15．如圖所示，已知中，分別為邊上的高，而且與相交于點O，連接并延長，與相交于點D.求證：.

【易錯題目】第2題、第8題、第9題
【復盤要點】向量投影概念內涵豐富，應用廣泛.但由于對概念理解不清，在解決問題時缺少靈活性.
例1.（2023·福建莆田一中高一期末）已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據投影向量的概念求解.
【詳解】因為，所以．
所以向量在向量上的投影向量為．故選：C．
易錯警示：投影向量基本算法
(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cos θ e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定．
(2)向量a在向量b上的投影向量為|a|cos θ.
【復盤訓練】
（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）
16．已知，且滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2023下·浙江金華·高一校聯考期中）
17．已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則 ．
（2023上·廣東惠州·高一校考期中）
18．已知、為單位向量且夾角為，設，，則在上的投影向量為 .
（2023下·云南·昆明市第一中學高一期末）
19．已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為 ．
（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）
20．已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
2．D
【分析】直接根據投影向量的定義即可得結果.
【詳解】在方向上的投影向量為，
故選：D.
3．B
【分析】根據題意可得，，，結合數量積的運算律分析求解.
【詳解】由題意可知：，，，
所以.
故選：B.
4．B
【分析】根據向量的新定義和向量數量積計算即可.
【詳解】由于，，，，
則，則
所以，則.
故選：B
5．C
【分析】先求出，然后再利用夾角公式計算即可.
【詳解】由得，設
又，
所以，
由于，
所以與的夾角為.
故選：C.
6．B
【分析】設，根據勾股定理求得，得出，再根據數量積的定義即可得解.
【詳解】因為大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，所以,
設，則，
在中，，即，解得或（舍去），
所以，
易知在正方形中，，，，
所以.
故選：B.
7．AC
【分析】根據平面向量數量積運算性質和定義逐一判斷即可.
【詳解】A：由平面向量數量積的運算性質可以判斷本選項一定成立；
B：與共線，與共線，而與不一定共線，
所以不一定成立，因此本選項不一定成立；
C：，所以本選項一定成立；
D：當 時，，所以本選項不一定成立，
故選：AC
8．AC
【分析】通過分析各選項即可得出結論.
【詳解】由題意，
A項，由數量積的概念，當時，，A正確；
B項，當時，與的夾角為0°或180°，故B錯誤；
C項，在上的投影向量為，C正確；
D項，，所以的取值范圍為，D錯誤.
故選：AC.
9．
【分析】根據投影向量的計算公式，結合已知數據，求解即可.
【詳解】因為與的夾角為，
所以在向量上的投影向量為.
故答案為：.
10．
【分析】根據向量的模長公式直接代入求解即可.
【詳解】，
故答案為：.
11．
【分析】根據垂直關系得，進而根據夾角公式即可代入求解.
【詳解】由得，
所以，
故答案為：
12．
【分析】根據條件得出是等邊三角形，然后利用向量的數量積公式求解即可.
【詳解】由題知，，
因為，
所以，
又，所以是等邊三角形，
，，
所以.
故答案為：
13．(1)
(2)12
【分析】（1）根據定義法直接求解即可；
（2）根據平方關系的轉化求解向量的模即可.
【詳解】（1）設與的夾角為
因為，，，
所以，
所以，
即與的夾角為
（2）由題意得，.
14．(1)；
(2)﹒
【分析】(1)由平方，根據向量數量積的運算方法即可求出cosθ，從而可求θ；
(2)由得，根據向量的數量積運算律即可求出λ﹒
【詳解】（1）由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴；
（2）由(1)知．
∵，∴，
化簡得，
∴，解得．
15．證明見解析
【分析】通過向量線性運算以及數量積運算求得，由此證得.
【詳解】因為，所以，即，
因此①，
又因為，所以，即，
因此②，
由①―②可得，因此，
從而，故，即.
16．D
【分析】根據進行求解，得到答案.
【詳解】因為，，
所以在上的投影向量為.
故選：D
17．
【分析】根據向量的投影的概念及公式直接計算.
【詳解】在上投影向量為，即，
故.
故答案為: .
18．
【分析】首先利用數量積公式求得，再由投影向量的概念和公式求解在上的投影向量即可.
【詳解】因為、為單位向量且夾角為，且，，
則，
所以，，且，
所以，在上的投影向量為.
故答案為：.
19．
【分析】根據投影向量定義可知所求模長為，由向量垂直關系可求得，根據可得結果.
【詳解】在方向上的投影向量為，為與同向的單位向量，
在方向上的投影向量的模長為；
，，，
，即所求模長為.
故答案為：.
20．2
【分析】由題設有，結合數量積的定義得，，應用數量積的運算律有，即可求模長的最小值.
【詳解】由題意，在方向上的投影數量為1，
故，則，設向量夾角為，
，則，（），
由，故的最小值為.
故答案為：2
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.4向量的數量積【第二課】“上好三節課，做好三套題“高中數學素養晉級之路
6.2.4向量的數量積
題型一 與向量數量積有關的概念
例1. （2023·山東泰安實驗高中高一期中）以下三種說法中正確的有______（填序號）
（1）若向量與滿足，則與的夾角為鈍角；
（2）在中，若，則為直角三角形；
（3）若向量與是兩個單位向量，則．
【思路分析】根據向量數量積的定義、性質及運算律來解答．
【答案】②③
【解析】由向量數量積的定義知（為向量的夾角）．
①若，則為鈍角或，故①錯誤；
②由知，則為直角三角形，故②正確；
③由，知，故③正確．
【方法技巧與總結】兩向量的數量積是兩向量之間的一種乘法運算，它與兩數之間的乘法有本質的區別．解決這一類題需要把握好數量積的定義、性質及運算律，注意零向量與數字0的差異，實數乘積運算與向量數量積運算的差異，向量數量積不滿足向量結合律．
【變式訓練1-1】（2024·遼寧阜新高一期末）
1．下列命題正確的是（ ）
A．
B．若，則對任一非零向量都有
C．若，則與中至少有一個為
D．若與是兩個單位向量，則
【變式訓練1-2】（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）
2．已知兩個非零單位向量、的夾角為.
①不存在，使；
②；
③；
④在方向上的投影為.
則上述結論正確的序號是 （請將所有正確結論都填在橫線上）
題型二 幾何圖形中的向量數量積的運算
例2．（2023·安徽銅陵·高一期中）已知正方形的邊長為2，
分別求：（1）；（2）；（3）．
【思路分析】結合圖形運用數量積公式進行求解．
【解析】（1）∵的夾角為，
∴．
（2）∵的夾角為，
∴．
（3）∵的夾角為，
∴．
【方法技巧與總結】求兩個向量的數量積的關鍵是在幾何圖形中準確求出兩個向量的夾角，
要注意夾角的范圍為．
【變式訓練2-1】（2023·寧夏石嘴山·高一統考期末）
3．在等腰直角三角形中，若 ，，則的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【變式訓練2-2】（2023·江蘇徐州·高一期末）
4．在平行四邊形中，是線段的中點，則（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
【變式訓練2-3】（2023·河南開封高一期中）
5．2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節目開始后，一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（ ）
A．24 B．6 C． D．
【變式訓練2-4】（2023·江蘇南京·高一校聯考期中）
6．在直角梯形ABCD中，已知，，，點F是BC邊上的中點，點E是CD邊上一個動點.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范圍.
題型三 向量垂直問題
例3．（2023·安徽銅陵·高一期中）不共線的向量與滿足什么條件時，與互相垂直
【思路分析】可由向量與互相垂直的條件出發得到的關系，即滿足的條件．
【解】若，
則，
整理得，即．
∴當向量與的模相等時，與互相垂直．
【方法技巧與總結】本題可以從向量加、減法的平行四邊形法則的角度理解，與分別對應平行四邊形的兩條對角線，對角線互相垂直，說明平行四邊形是菱形，邊長相等．
【變式訓練3-1】（2024上·黑龍江大慶·高一期中）
7．已知向量，的夾角為，，且向量與垂直，則實數（ ）
A．2 B． C． D．2
【變式訓練3-2】（2023·山西大同·高一統考期中）
8．已知，，，且與垂直，則 .
【變式訓練3-3】（2023·四川瀘州·高一統考期中）
9．已知向量、的夾角為．
(1)求·的值
(2)當時，對于任意的，證明，和都垂直．
題型四 利用平面向量數量積求向量的夾角或模長
例4.1（2023·安徽銅陵·高一期中）已知與的夾角為，
求向量與向量的夾角的余弦值．
【解析】，
，
，
∴．
．
設的夾角為，
∵，
∴，即．
例4.2（2023·江西贛州高一期中）已知向量與的夾角為，且，
求：（1）；（2）．
【思路分析】利用或求解．
【解析】設與的夾角為，由已知得，
，．
（1）∵．
（2）．
【方法技巧與總結】1.求向量與夾角的思路
（1）求向量夾角的關鍵是計算及，在此基礎上結合數量積的定義或性質計算，最后借助，求出的值．
（2）在個別含有與的等量關系式中，常利用消元思想計算的值．
2.求模長問題基本思路
（1）此類求模問題一般利用模的平方與數量積的聯系求解．
（2）利用或，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
【變式訓練4-1】（2023·福建莆田高一期中）
10．若向量與的夾角為，，則等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【變式訓練4-2】（2023·浙江寧波高一期中）
11．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】（2023·陜西安康高一期中）
12．已知非零向量，滿足，且與的夾角為，則＝ .
【變式訓練4-4】（2023·四川宜賓·高一統考期中）
13．已知非零向量滿足，向量的夾角為，且，則向量與的夾角為 ．
【變式訓練4-5】（2023·河南周口高一統考期中）
14．已知是平面內的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是 ．
易錯點1 未弄清向量的夾角而出錯
【典例】（2023·江西宜春高一統考期末）在中，，求．
【錯解】．
【錯因分析】判斷兩向量的夾角，應先將表示這兩個向量的有向線段平移到同一起點，與的夾角是的補角．
【正解】
易錯警示 求兩個向量的夾角時，應把表示這兩個向量的有向線段的起點平移到重合的位置．若不便于平移，就需要作輔助線．兩向量夾角滿足，當兩向量同向共線時，；當兩向量反向共線時，．
針對訓練1-1（2023下·甘肅蘭州·高一統考期末）
15．等邊三角形中，與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
針對訓練1-2（2023·吉林通化高一校考期中）
16．若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角是 ．
易錯點2 混淆兩向量的夾角為鈍（銳）角與兩向量的數量積為負（正）之間的關系而出錯
【典例】設兩向量滿足的夾角為．若向量與向量的夾角為鈍角，求實數的取值范圍．
【錯解】由已知得，
于是．
因為與的夾角為鈍角，
所以，解得，所以實數的取值范圍為．
【正解】由已知得，
于是．
因為與的夾角為鈍角，
所以，解得．
但是，當與反向共線時，它們的夾角為，也有，但不符合題意，
此時存在實數，使得，即且，
解得（正值舍去）．
故所求實數的取值范圍是．
易錯警示 若兩向量的夾角為鈍角，則它們的數量積為負，反之不成立．因為兩向量反向共線時，夾角為平角，即，其數量積也為負．
若兩向量的夾角為銳角，則它們的數量積為正，反之不成立．因為兩向量同向共線時，夾角為零角，即，其數量積也為正．
針對訓練2-1（2023·北京101中學校高一校考期中）
17．已知，，，若與的夾角為銳角，則實數t的取值范圍是 ．
針對訓練2-2（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）
18．單位向量，滿足.
(1)求與夾角的余弦值：
(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．AD
【分析】根據數量積的定義可知A正確，利用垂直關系的向量表示可得B、C均錯誤，由單位向量定義以及向量運算律可得D正確.
【詳解】因為的長度為0，結合數量積的公式可知，A正確；
當非零向量時，有，可知B錯誤；
若，則與可以是相互垂直的兩個非零向量，即C錯誤；
因為與是單位向量，即，
所以，，故，即D正確；
故選：AD
2．①②③
【分析】根據平面向量的定義、平面向量數量積的運算律、垂直向量的等價條件以及向量投影的定義來判斷各命題的正誤.
【詳解】對于命題①，，命題①正確；
對于命題②，，同理可得，則，命題②正確；
對于命題③，，
，命題③正確；
對于命題④，在方向上的投影為，命題④錯誤.
因此，正確命題的序號為①②③，故答案為：①②③.
【點睛】本題考查平面向量數量積的定義以及運算律，同時也考查了平面向量垂直的等價條件和投影的定義，解題時應充分從這些定義和等價條件出發來加以理解，考查推理能力，屬于中等題.
3．B
【分析】直接根據向量數量積的定義計算即可得答案.
【詳解】解：
故選：B.
4．A
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：A
5．A
【分析】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由向量的運算求得的坐標，再由數量積的坐標表示計算．
【詳解】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，
，，
，即，
，由分形知，所以，
所以，
所以．
故選：A．
6．(1)2；
(2).
【分析】（1）由、，應用向量數量積的運算律及向量位置關系求即可.
（2）令且，同（1）應用向量數量積的運算律得到關于的表示式，即可求值.
【詳解】（1）由圖知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以.
（2）由（1）知：，
令且，則，，
所以.
則.
7．D
【分析】根據垂直向量的數量積建立方程，結合題意，可解得答案.
【詳解】由，則，
即，
解得.
故選：D.
8．
【分析】由平面向量的數量積及向量垂直的充要條件即可求解.
【詳解】，
與垂直，
，
∴.
故答案為：.
9．(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）根據數量積的定義運算求解；
（2）根據向量垂直結合數量積的運算律運算求解.
【詳解】（1）．
（2）當時，，
則，與實數的值無關，
即當時，對于任意的，和都垂直．
10．C
【分析】根據向量數量積運算化簡已知條件，從而求得.
【詳解】因為
，
，解得（負根舍去）.
故選：C
11．A
【分析】利用向量，則數量積為零，將已知和公式代入求解.
【詳解】設與的夾角為
因為，
所以
所以，因為，
所以.
故選：A
12．##
【分析】由題意可得，，結合數量積的定義可得，即可得答案.
【詳解】解：因為，所以，
又，
，
，
所以，
化簡得，
所以.
故答案為：
13．##
【分析】通過平方的方法，結合向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】由得，
兩邊平方得，
，
所以，
由得，
兩邊平方得，
，
所以向量與的夾角為.
故答案為：
14．
【分析】根據向量的數量積運算列方程，化簡求得正確答案.
【詳解】因為，
即，
所以或，
即或，
由于，且是非負數，
所以.
故答案為：
15．C
【分析】根據平面向量夾角的定義可得結果.
【詳解】解：延長到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．

故選：C．
16．
【分析】依題意可得，再求出，，最后根據夾角公式計算可得；
【詳解】解：因為兩個非零向量，滿足，所以，即，所以，，
設向量與的夾角為，則
因為，所以
故答案為：
【點睛】本題考查平面向量數量積的計算，屬于中檔題.
17．
【分析】利用數量積的定義，再根據條件得到，從而得到，再去掉與共線同向時，的取值，即可求出結果.
【詳解】因為與的夾角為銳角，又，
所以，
又，，，所以，
解得，又因，
當時，也滿足，此時不合題意，
當與共線同向時，有，從而得到，解得，
又，所以實數t的取值范圍是，
故答案為：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量數量積的運算法則求得，再由模長與數量積求得與夾角的余弦值；
（2）由題意得且與不共線，從而得到關于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，即，則，
則，即與夾角的余弦值.
（2）因為與的夾角為銳角，
所以且與不共線，
當與共線時，有，即，
由（1）知與不共線，所以，解得，
所以當與不共線時，，
由，得，
即，解得，
所以且，即實數的取值范圍為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑