資源簡介

6.2.3向量的數乘運算【第一練】“上好三節課，做好三套題“高中數學素養晉級之路
6.2.3向量的數乘運算【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.向量的線性運算，培養數學抽象、邏輯推理素養，如第1題、第2題、第5題、第9題、第13題、第14題；
2.用已知向量表示其他向量，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第4題、第10題、第12題、第15題；
3.向量共線定理的應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第6題、第7題、第8題、第11題、第16題；
一、填空題
（2023·全國高一課時練習）
1．等于 ．
（2023·全國高一課時練）
2．若，，則 ， ， .
（2023·全國高一課時練習）
3．已知向量，滿足，，且，則實數的值是 ．
（2023·甘肅天水高一校考階段練習）
4．在中，點為邊的中點，記，則 ．
（2023·上海青浦·高一課時練）
5．已知向量、、滿足關系式，那么可用向量、表示向量
（2023·吉林長春·高一課時練）
6．已知則使得的實數 .
（2023·全國高一課時練）
7．若，，，則四邊形ABCD是 ．
（2023·全國高一課時練）
8．已知是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
（2023·甘肅蘭州·高一課時練）
9．平行四邊形的對角線交于O點，P為平面內任意一點，化簡 ．
（2023下·遼寧高一課時練）
10．在中，點為邊的中點，若，則實數的值為 .
（2023·四川資陽·高一階段練習）
11． 三點共線 （答案不唯一）.
（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習）
12．若，則 ．
二、解答題
（2023·全國高一課時練習）
13．若向量表示小船沿東北方向行駛了，則向量和的意義分別是什么？
（2023·全國高一課時練）
14．如圖，已知向量，，求作向量.
（2023·高一課時練習）
15．如圖，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和．
（2023·高一課時練習）
16．設，是不共線的兩個非零向量．
(1)若，，，求證：，，三點共線；
(2)若，，，且，，三點共線，求的值．
【易錯題目】第4題、第12題、第15題
【復盤要點】用已知向量表示其他向量，對向量線性運算掌握不牢，幾何圖形性質不清，使運算受阻
【典例】（2023·重慶南開中學高一期中）如圖6.2.3－4，在△ABC中，，，M是AB的中點，N是CM的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，，M是AB的中點，N是CM的中點，
∴．
易錯警示：要關注題目中圖形的幾何性質，分析已知向量和所求向量之間的關系，可能是線性組合、共線等.根據向量的加法、減法、數乘等運算規則，將已知向量進行組合或變換，建立所求向量與已知向量之間的等量關系，進行化簡，求出所求向量的表達式.
【復盤訓練】
（2023·山東臨沂·高一校考階段練習）
17．如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高一課時練習）
18．如圖，已知E，F分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若，用表示 .
（2023·湖南邵陽·高一課時練）
19．如圖，已知，若，則 ， .
（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學月考）
20．在平行四邊形中，，，設，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】利用向量線性運算求解作答.
【詳解】.
故答案為：
2． ## ##
【分析】根據平面向量線性運算可求出結果.
【詳解】因為，，
所以，，.
故答案為：，，
3．
【分析】利用向量的線性運算，以及向量的模，轉化求解即可.
【詳解】由，得，因為，，所以，即.
故答案為：
4．
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】由點為邊的中點，得，
所以.
故答案為：
5．
【分析】由等式變形可得出關于、的表達式.
【詳解】因為，所以，，則.
故答案為：.
6．
【分析】根據向量數乘的定義求解．
【詳解】，則在線段上，且，所以，又，
所以．
故答案為：．
7．梯形
【詳解】由題意知，所以，且|.
則四邊形ABCD是梯形.
故答案為：梯形.
8．
【分析】由向量共線可得，由此構造方程組求得結果.
【詳解】與是共線向量，
，即，
，解得：，
.
故答案為：.
9．
【分析】根據平面向量的運算法則計算即可.
【詳解】如圖所示，
，
所
故答案為：
10．2
【分析】利用向量的加減運算化簡即可求解.
【詳解】因為，，
所以，所以，即.
故答案為：2
11．（答案不唯一）
【分析】根據給定條件，利用共線向量寫出結論作答.
【詳解】解： 三點共線∥，
或者 三點共線∥.
故答案為：
12．1
【分析】由，得到，又，代入后即可求解.
【詳解】，
，
又，
，
，解得，，
，
故答案為：1．
13．答案見解析
【分析】根據數乘的定義求解.
【詳解】表示與同向且模長為模長的3倍，故意義為小船沿東北方向行駛了；
表示與反向且模長為模長的，故意義為小船沿西南方向行駛了.
14．作圖見解析
【分析】利用向量減法的三角形法則即可求解.
【詳解】如圖所示.在平面內取一點O，作，，連接，則.
15．，，，．
【解析】根據向量加減法的平行四邊形法則、三角形法則和數乘運算法則進行運算即可.
【詳解】在中，，．
由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得
，
，
，
．
【點睛】本題考查利用平行四邊形的性質，用向量表示幾何元素，結合向量的加減法和數乘運算等性質，用向量來解決幾何問題.
16．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用向量加減法及向量共線條件證明三點共線；
（2）由三點共線轉化為向量共線即得結果.
【詳解】（1）證明：因為，
又，
故，又與有公共點，
所以，，三點共線．
（2），．
因為，，三點共線，所以，
即，因為與是不共線的兩個非零向量，
所以，故.
綜上，的值為．
17．B
【分析】由向量的線性運算，可得解
【詳解】由題意，．
故選：B
18．
【分析】利用平面向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】
.
故答案為：
19．
【分析】根據向量的加減法運算以及共線向量的表示方法可求解.
【詳解】如圖，,
故答案為: ,.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量加減法化簡得便可得答案.
（2）利用向量加減法化簡得便可求出答案.
【詳解】（1）解：，且四邊形是平行四邊形
（2）
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.3向量的數乘運算【第一課】“上好三節課，做好三套題“高中數學素養晉級之路
6.2.3向量的數乘運算
[課標要求]
1.了解向量數乘的概念.
2.理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算.
3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法.
[明確任務]
1.實數與向量的積的定義（數學抽象）；
2.利用共線向量定理證明三點共線、兩線平行（邏輯推理）；
3.利用實數與向量積的運算律進行有關的計算（數學運算）；
4.共線向量定理（直觀想象）.
1.數量運算中加法與乘法關系；
2.共線向量的概念、向量加法與減法的運算法則.
核心知識點1 向量的線性運算
1.向量數乘的定義：一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，
記作λa，其長度與方向規定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|.
（2）λa（a≠0）的方向
特別地，當λ＝0時，λa＝0；當λ＝－1時，（－1）a＝－a.
2.向量數乘的運算律：設λ，μ為實數，那么
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μ a；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.
特別地，（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
3.向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，
以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.
例1.（1）若a＝2b＋c，則化簡3（a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）等于（　　）
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不對
【答案】C
【解析】原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
（2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，則x＝________.
【答案】4b－3a
【解析】由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
歸納總結 向量線性運算的基本方法
（1）類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數.
（2）方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當的運用運算律，簡化運算.
【舉一反三】
1．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，，則 .
3．如圖，已知向量與不共線，求作向量．

核心知識點2 用已知向量表示其他向量
例2.如圖，在 ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則等于（　　）
A. a－b B. a＋b
C.a＋b D.a－b
【答案】　D
【解析】因為E是BC的中點，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
歸納總結 用已知向量表示其他向量的兩種方法
（1）直接法
（2）方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.
【舉一反三】
4．在中，點為邊的中點．記，，則（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若點滿足，則( )
A． B．
C． D．
核心知識點3 向量共線的判定及應用
向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
例3.設，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線.
（1），；
（2），；
（3），.
【答案】（1）共線
（2）共線
（3）不共線
【解析】（1），則有，即共線；
（2），則有，即共線；
（3）設，共線，則由共線向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共線，
這與已知條件不共線矛盾，不共線.
（2）利用向量共線求參數的方法
已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解.
【舉一反三】
6．已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是 .
7．設與是兩個不共線向量，，，.若A，B，D三點共線，則的值為 ．
8．下列運算正確的個數是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
11．設P是所在平面內的一點，，則
A． B． C． D．
12．化簡 .
13．已知點在線段上，且，若向量，則 .
14．設是不共線的兩個向量.
(1)若，，，求證：A，B，C三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據向量混合運算即可.
【詳解】，
故選：C.
2．
【分析】根據向量的加減與數乘，可得答案.
【詳解】；
；
；
.
故答案為：.
3．答案見解析
【分析】畫出，從而利用向量減法法則畫出.
【詳解】如圖所示，，，故即為.

4．D
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】
因為點D為邊的中點，所以，
.
故選：D.
5．D
【分析】根據平面向量的線性運算可求出結果.
【詳解】由，得，
得，得.
故選：D．
6．，，
【分析】利用共線向量的充要條件化簡求解即可.
【詳解】因為，
所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.
故答案為：，，
7．
【分析】根據三點共線，轉化為向量，計算向量后，再轉化為向量相等，即可求解的值.
【詳解】因為A，B，D三點共線，所以必存在一個實數λ，使得.又，，，所以 ，化簡為，所以，又與不共線，所以 解得.
故答案為：
8．C
【分析】利用平面向量的線性運算逐個選項分析求解即可.
【詳解】根據向量數乘運算和加減運算規律知①②正確；
在③中，，顯然該運算錯誤.
所以運算正確的個數為2.
故選：C
9．B
【分析】根據平面向量的線性運算，結合圖形可得.
【詳解】因為四邊形為矩形，為中點，
所以，
所以.
故選：B
10．C
【分析】結合圖形，用、表示出、和即可.
【詳解】因為是的中點，所以.
故選：C
11．B
【詳解】移項得.故選B
12．
【分析】利用向量的線性運算求解即得.
【詳解】
故答案為：
13．
【分析】根據線段的數量關系，即可確定向量之間的倍數關系，即得答案.
【詳解】如圖，由，可得，所以，即，
故答案為：
14．(1)證明見解析；
(2)±4.
【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質求出參數即可.
【詳解】（1）由，，，
得，
，
因此，且有公共點B，
所以A，B，C三點共線.
（2）由于與共線，則存在實數，使得，
即，而是不共線，
因此，解得或，
所以實數k的值是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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