資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 預(yù)習(xí)篇
6.1 平方根
一、平方根
1.平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)就叫作的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正數(shù)的平方根可記作，讀作：正負(fù)根號(hào)，讀作根號(hào)，是被開(kāi)方數(shù)。
3.平方根的性質(zhì)：若，那么，則也是的平方根，所以正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0；因?yàn)橄嗤膬蓚€(gè)數(shù)的乘積為正，所以任何數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根（即）。
二、算數(shù)平方根
1.算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)就叫作的算術(shù)平方根。
2.算術(shù)平方根的表示方法：正數(shù)的算術(shù)平方根可記作，讀作：根號(hào)。
3.算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)的正的平方根就是它的算術(shù)平方根。
三、開(kāi)平方
1.求一個(gè)數(shù)（）的平方根的運(yùn)算叫作開(kāi)平方，其中叫作被開(kāi)方數(shù)。開(kāi)平方運(yùn)算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)。
2.因?yàn)槠椒脚c開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，所以可以通過(guò)平方來(lái)尋找一個(gè)數(shù)的平方根。
3.正數(shù)、負(fù)數(shù)、0都可以進(jìn)行平方運(yùn)算，且平方的結(jié)果只有一個(gè)；但開(kāi)平方只有正數(shù)和0可以，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方。
選擇題
1.的算術(shù)平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的概念，一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：，
的算術(shù)平方根是．
故選：A．
2.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解；A、，原式計(jì)算正確，符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選A．
3.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是與，則這個(gè)正數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
【答案】C
【分析】此題主要考查了平方根的定義， 直接利用平方根的定義得出a的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是與，
∴，
解得：，
故，
則這個(gè)正數(shù)是：．
故選：C．
4.已知，則的值為（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本題考查非負(fù)性．根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，得到，求出的值，即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故選D．
5.下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．若，則a是負(fù)數(shù)
B．若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)
C．某數(shù)的絕對(duì)值、算術(shù)平方根都是他本身，則這個(gè)數(shù)是0
D．絕對(duì)值是同一個(gè)數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，他們互為相反數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根的定義，逐一進(jìn)行判斷即可，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A、若，則a是負(fù)數(shù)或0，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、 若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，故B項(xiàng)正確；
C、某數(shù)的絕對(duì)值、算術(shù)平方根都是他本身，則這個(gè)數(shù)是0或1，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、絕對(duì)值是0的數(shù)只有一個(gè)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
6.下列各組數(shù)中，相等的一組是（　　）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，絕對(duì)值．根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，絕對(duì)值的性質(zhì)求解，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、與，不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，相等，故本選項(xiàng)符合題意；
C、，，不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、與，不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
7.已知：，，則（ ）
A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58
【答案】C
【分析】本題考查積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解“被開(kāi)方數(shù)向一個(gè)方向移動(dòng)位，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向相同的方向移動(dòng)位”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選C．
8.如圖、每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可以得到每個(gè)小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長(zhǎng)是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的定義，準(zhǔn)確求出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．根據(jù)割補(bǔ)法求出陰影部分的面積即可得到答案．
【詳解】解：陰影部分，
它的邊長(zhǎng)是．
故選C．
填空題
1.如圖，一塊形如Z字形紙片，，，，現(xiàn)將紙片裁剪并拼成一個(gè)和它等面積的正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根得應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)的辦法計(jì)算出不規(guī)則鐵皮的面積．如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，先計(jì)算出不規(guī)則鐵皮的面積，再計(jì)算面積相等的正方形的面積．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，
∵，
，，
∴“Z”字形的鐵皮的面積
．
∴正方形的邊長(zhǎng)．
故答案為：．
2.一個(gè)正數(shù)的平方根是與，則m的值是 ，這個(gè)正數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查平方根的性質(zhì)，根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)，得到，求出的值，進(jìn)而求出這個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：由題意，得：，
解得：，
∴；
故答案為：，．
3.若為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的值是 ；
【答案】1
【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0得到，據(jù)此求出，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1．
4.現(xiàn)有幾種說(shuō)法：
①倒數(shù)等于本身的數(shù)是0，1，
②的平方根是
③近似數(shù)1.80所表示的準(zhǔn)確數(shù)a的范圍是
④算術(shù)平方根是他本身的數(shù)是0，1
⑤
其中正確的說(shuō)法有 ．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）
【答案】③④/④③
【分析】本題考查的是倒數(shù)的定義、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根和根據(jù)近似數(shù)求準(zhǔn)確數(shù)的取值范圍，掌握倒數(shù)的定義、算術(shù)平方根的定義、平方根的定義和四舍五入法是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)的定義、算術(shù)平方根的定義、平方根的定義和四舍五入法逐一判斷即可．
【詳解】解：①倒數(shù)等于本身的數(shù)是1，，故錯(cuò)誤；
②的平方根是，故錯(cuò)誤；
③近似數(shù)1.80所表示的準(zhǔn)確數(shù)a的范圍是，故正確；
④算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0，1，故正確；
⑤，故錯(cuò)誤，
綜上：正確的說(shuō)法有：③④．
故答案為：③④．
5.已知與的和是單項(xiàng)式，則的平方根是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平方根的意義，同類(lèi)項(xiàng)以及單項(xiàng)式的定義，根據(jù)單項(xiàng)式的定義求出m，n值，然后代入即可求出答案．
【詳解】解：已知與的和是單項(xiàng)式，則它們是同類(lèi)項(xiàng)，
∴，，
∴,
故的平方根為．
故答案為：.
解答題
1.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．例如：若，則或．
(1)根據(jù)上述平方根的意義，試求方程的解．
(2)自由下落物體的高度（單位：米）與下落時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系是，若有一個(gè)物體從離地米高處自由落下，求這個(gè)物體到達(dá)地面所需的時(shí)間．
【答案】(1)或
(2)秒
【分析】本題考查平方根及應(yīng)用，
（1）由平方根的知識(shí)可得，從而求出方程的解；
（2）將代入，得到，再根據(jù)平方根的定義求出t的值即可；
熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：，
，
∴或；
（2）根據(jù)題意，得：，
∴，
∴或（負(fù)值不符合題意，舍去），
答：這個(gè)物體到達(dá)地面所需的時(shí)間為秒．
2.（1）已知正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
【答案】（1）， （2）
【分析】本題考查了平方根的應(yīng)用：
（1）根據(jù)平方根的定義可得，求得的值，進(jìn)而求得和x；
（2）根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，可得，求得的值，代入求得的平方根即可．
【詳解】解：（1），
解得，
則，
；
（2），
，
，
則的平方根是．
3.常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有、、等，非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)有：①非負(fù)數(shù)的最小值是0，②幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0．如果實(shí)數(shù)a b c滿(mǎn)足：，請(qǐng)你求出的算術(shù)平方根．
【答案】2
【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，據(jù)此得到，則，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵4的算術(shù)平方根是2，
∴的算術(shù)平方根是2．
4.先填寫(xiě)表，通過(guò)觀察后再回答問(wèn)題：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面問(wèn)題：已知，則________；
(3)試比較與a的大小．（提示：在的前提下分三種況討論）
【答案】(1)，10
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得當(dāng)擴(kuò)大100倍時(shí)，擴(kuò)大10倍，由，即可求解；
（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，
故答案為：，10；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)擴(kuò)大100倍時(shí)，擴(kuò)大10倍，
∵，
∴，
故答案為：；
（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)與數(shù)位規(guī)律得：；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)與數(shù)位規(guī)律得：；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
5.已知，求的值．
【答案】
【詳解】原式整理，得，
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得，
．
．
．
，．
，．
．
6.如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形紙片拼成一個(gè)大的正方形紙片.沿著大正方形紙片邊的方向截出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使截得的長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)、寬之比為，且面積為？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】不能，理由見(jiàn)解析
【詳解】不能.理由如下：
因?yàn)榇笳叫渭埰拿娣e為，
所以大正方形的邊長(zhǎng)為6cm.
設(shè)截出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，
則.所以（取正值）.
因?yàn)椋?
由上可知.
所以不能截得長(zhǎng)、寬之比為，且面積為的長(zhǎng)方形紙片.
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七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 預(yù)習(xí)篇
6.1 平方根
一、平方根
1.平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)就叫作的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正數(shù)的平方根可記作，讀作：正負(fù)根號(hào)，讀作根號(hào)，是被開(kāi)方數(shù)。
3.平方根的性質(zhì)：若，那么，則也是的平方根，所以正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0；因?yàn)橄嗤膬蓚€(gè)數(shù)的乘積為正，所以任何數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根（即）。
二、算數(shù)平方根
1.算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)就叫作的算術(shù)平方根。
2.算術(shù)平方根的表示方法：正數(shù)的算術(shù)平方根可記作，讀作：根號(hào)。
3.算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)的正的平方根就是它的算術(shù)平方根。
三、開(kāi)平方
1.求一個(gè)數(shù)（）的平方根的運(yùn)算叫作開(kāi)平方，其中叫作被開(kāi)方數(shù)。開(kāi)平方運(yùn)算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)。
2.因?yàn)槠椒脚c開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，所以可以通過(guò)平方來(lái)尋找一個(gè)數(shù)的平方根。
3.正數(shù)、負(fù)數(shù)、0都可以進(jìn)行平方運(yùn)算，且平方的結(jié)果只有一個(gè)；但開(kāi)平方只有正數(shù)和0可以，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方。
選擇題
1.的算術(shù)平方根是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各等式中，正確的是(　　)
A． B． C． D．
3.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是與，則這個(gè)正數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
4.已知，則的值為（　　）
A． B． C．2 D．4
5.下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．若，則a是負(fù)數(shù)
B．若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)
C．某數(shù)的絕對(duì)值、算術(shù)平方根都是他本身，則這個(gè)數(shù)是0
D．絕對(duì)值是同一個(gè)數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，他們互為相反數(shù)
6.下列各組數(shù)中，相等的一組是（　　）
A．與 B．與
C．與 D．與
7.已知：，，則（ ）
A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58
8.如圖、每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可以得到每個(gè)小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長(zhǎng)是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
填空題
1.如圖，一塊形如Z字形紙片，，，，現(xiàn)將紙片裁剪并拼成一個(gè)和它等面積的正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
2.一個(gè)正數(shù)的平方根是與，則m的值是 ，這個(gè)正數(shù)是 ．
3.若為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的值是 ；
4.現(xiàn)有幾種說(shuō)法：
①倒數(shù)等于本身的數(shù)是0，1，
②的平方根是
③近似數(shù)1.80所表示的準(zhǔn)確數(shù)a的范圍是
④算術(shù)平方根是他本身的數(shù)是0，1
⑤
其中正確的說(shuō)法有 ．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）
5.已知與的和是單項(xiàng)式，則的平方根是 ．
解答題
1.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．例如：若，則或．
(1)根據(jù)上述平方根的意義，試求方程的解．
(2)自由下落物體的高度（單位：米）與下落時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系是，若有一個(gè)物體從離地米高處自由落下，求這個(gè)物體到達(dá)地面所需的時(shí)間．
2.（1）已知正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
3.常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有、、等，非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)有：①非負(fù)數(shù)的最小值是0，②幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0．如果實(shí)數(shù)a b c滿(mǎn)足：，請(qǐng)你求出的算術(shù)平方根．
4.先填寫(xiě)表，通過(guò)觀察后再回答問(wèn)題：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面問(wèn)題：已知，則________；
(3)試比較與a的大小．（提示：在的前提下分三種況討論）
5.已知，求的值．
6.如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形紙片拼成一個(gè)大的正方形紙片.沿著大正方形紙片邊的方向截出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使截得的長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)、寬之比為，且面積為？請(qǐng)說(shuō)明理由.
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