資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
七年級數學下冊 預習篇
6.3 實數
一、無理數
1.無理數的概念：無限不循環小數叫作無理數。
2.有理數與無理數的區別：
（1）無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數；
（2）任何一個有理數都可以化成分數的形式，而無理數不能化成分數形式；
3.無理數近似值的估算方法：估算無理數的近似值通常用“夾逼法”，第一步：先確定被估算無理數的整數取值范圍；第二步：以較小整數逐步開始加0.1，并求其平方，確定被估算數的十分位，以此類推下去可以求出無理數的近似值。
4.無理數的常見類型：
（1）特點結構的數。如0.2020020002……是無理數；
（2）圓周率以及含的數；
（3）開方開不盡的數的方根；
二、實數
1.實數的概念：有理數和無理數統稱為實數。
2.實數的性質：在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣。
（1）相反數：實數的相反數是，0的相反數是0；
（2）絕對值：一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0；
（3）實數的絕對值可表示為，即的絕對值一定是一個非負數；
（4）倒數：乘積為1的兩個實數互為倒數，即如果與互為倒數，則；反之，如果，則與互為倒數，0沒有倒數。
（5）實數大小的比較：有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立，所以我們可以得到比較實數大小的法則。正實數大于0，負實數小于0，正數大于一切非負實數。兩個負實數，絕對值大的反而小。數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大。
6.實數與數軸上點的關系：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示。反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，實數和數軸上的點是一一對應的。
7.實數的運算：
（1）運算法則、運算率：有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用。
（2）運算順序：在進行實數的混合運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方，開方，在算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行。
選擇題
1.如圖，已知正方形的面積為5，頂點A在數軸上，且表示的數為．現以A為圓心，為半徑畫圓，與數軸交于點E（E在A的左側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查實數與數軸及兩點間距離，根據兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數是關鍵．根據正方形的邊長是面積的算術平方根得，結合A點所表示的數及間距離可得點E所表示的數．
【詳解】解：∵正方形的面積為5，且，
∴，
∵點A表示的數是，且點E在點A的左側，
∴點E表示的數為．
故選：C．
2.下列各數中，無理數是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本題考查無理數，根據無理數的概念（即無限不循環小數）判斷即可．
【詳解】A選項：，它不是無理數；
B選項：是無理數；
C選項：0不是無理數；
D選項：不是無理數．
故選：B
3.在四個數，0，，0.8中，絕對值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
【答案】A
【分析】本題主要考查絕對值及實數的大小比較，熟練掌握絕對值的意義及實數的大小比較是解題的關鍵；由題意得，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴絕對值最大的是；
故選A．
4.在，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．由題意直接根據無理數的定義，進行分析即可得出答案．
【詳解】解：實數，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數有、、…（每兩個之間依次多一個），共計個，
故選：C．
5.以下正方形的邊長是無理數的是（ ）
A．面積為的正方形 B．面積為的正方形
C．面積為的正方形 D．面積為的正方形
【答案】D
【分析】本題考查了無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．
【詳解】解：A、面積為的正方形的邊長為，是整數，屬于有理數，故本選項不合題意；
B、面積為的正方形的邊長為5，是整數，屬于有理數，故本選項不合題意；
C、面積為的正方形的邊長為7，是整數，屬于有理數，故本選項不合題意；
D、面積為的正方形的邊長為，是無理數，故本選項符合題意．
故選：D．
6.有一列數按一定規律排列：…．則第n個數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了規律型：數字的變化類，找到實數的變化規律是解題的關鍵．根據規律可知，第奇數個數為正數，第偶數個數為負數，再按分子、分母分別找規律求解即可．
【詳解】解：根據規律可知，第奇數個數為正數，第偶數個數為負數，該列數的分子是，分母是，
第個數是
故選B．
7.如圖，半徑為1個單位長度的半圓，從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達點，則點對應的數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查數軸上的點與對應數字的關系．解題的關鍵是得出點對應的數為該半圓的周長，計算半圓周長即可．
【詳解】解：點對應的數是半圓周長為直徑半圓弧長，
即，
故選：C．
8.估計的值在( )
A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間
【答案】B
【分析】本題主要考查了估算無理數的大小，利用算術平方根的性質可得，易得結果．
【詳解】解：，
，
，
故選：B．
填空題
1.按如圖所示的程序計算，若開始輸入的的值為，則最后輸出的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了實數的運算，根據運算程序運算即可得到結果，理解運算程序是解題的關鍵．
【詳解】解：，
∵不是無理數，
∴最后輸出的值為，
故答案為：．
2.整數a，滿足，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查估算無理數的大小，掌握無理數的估算方法是正確解答的前提．
根據算術平方根的定義估算無理數、的大小，進而確定的整數值．
【詳解】解：，，而整數，滿足，
，
，
故答案為：．
3.我們記邊形為，其內角和為，則 （不要求求出具體結果）
【答案】
【分析】本題考查了新定義內容：先根據的定義，列式代入數字即可作答．考查學生對符號的理解能力．
【詳解】解：依題意，∵邊形為，其內角和為，
∴
故答案為：
4.已知a是的整數部分，b是它的小數部分，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了估算無理數的大小，熟練掌握估算無理數的大小方法是解本題的關鍵．一個數是由整數部分＋小數部分構成的．通過估算的整數部分是3，那么它的小數部分就是，再代入式子求值．
【詳解】解：∵是的整數部分，是它的小數部分，
∴
∴．
故答案為：。
5.比較大小（用“＞，＜，＝”表示）： ； 3.14； ．
【答案】
【分析】本題考查實數的大小比較，解題的關鍵在于：（1）根據絕對值的性質、相反數的定義化簡，再根據正數大于一切負數解答；（2）根據即可比較；（3）先通分再比較．
【詳解】（1）
又
（2）
（3）
故答案為：；；
解答題
1.有下列各數：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每兩個3之間依次多一個1）．
(1)屬于整數的有 ．（填序號）
(2)屬于負分數的有 ．（填序號）
(3)屬于無理數的有 ．（填序號）
【答案】(1)④⑥
(2)②⑤
(3)③⑦
【分析】本題考查實數的分類，正理解整數、負分數、無理數是解題的關鍵．
（1）根據有理數定義直接寫即可；
（2）根據負分數的定義直接寫即可；
（3）根據無理數的定義直接寫即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴整數的有④⑥．
（2）解：∵，，
∴負分數的有②⑤．
（3）解：∵，，
∴無理數的有③⑦．
2.(1)計算： ．
(2) 計算：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）本題考查有理數的混合運算，除法變乘法，利用乘法分配律進行計算即可；
（2）本題考查實數的混合運算．先化簡各數，再進行加減運算即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）原式．
3.【閱讀材料】∵，即，∴，∴的整數部分為，∴的小數部分為．
【解決問題】
(1)填空：的小數部分是 ；
(2)已知、分別是的整數部分、小數部分，求代數式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由于，可求的整數部分，進一步得出的小數部分；
（）先求出的整數部分和小數部分，再代入代數式進行計算即可．
本題考查了估算無理數的大小，利用完全平方數和算術平方根對無理數的大小進行估算．
【詳解】（1）∵，
∴的整數部分是，
∴的小數部分是，
故答案為；
（2）∵、分別是的整數部分、小數部分，
∴，，
∴
，
，
，
．
4.如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．
(1)這個魔方的棱長為______．
(2)圖1的側面有一個正方形，求這個正方形的面積和邊長．
(3)將正方形放置在數軸上，如圖2所示，點A與數3表示的點重合，則D在數軸上表示的數為______．
【答案】(1)6
(2)，邊長
(3)
【分析】本題考查了正方體的體積、實數與數軸之間的關系，正方體的體積＝棱長的立方．實數與數軸上的點是一一對應的關系，數軸上的點的左右移動后對應的數的表示．
（1）根據正方體的體積，求的立方根，即可作答．
（2）根據正方形的面積，求的平方根，即可作答．
（3）根據數軸上表示實數，在左邊的點用減法表示，即可作答．
【詳解】（1）解：設魔方的棱長為，
則，
∴，
故答案為：6；
（2）解：，
∵邊長乘邊長，
∴邊長；
（3）解：∵，點A為3，
∴點D代表的數為，
故答案為：．
5.計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查實數的混合運算能力，
（1）先將原式化簡，再進行加減運算；
（2）先計算有理數的乘除法，再計算加減運算；
（3）先計算立方、變除法為乘法，再運用乘法分配律計算乘法，最后計算加減運算；
（4）先計算絕對值、算術平方根和立方根，再進行加法運算；
解題的關鍵是能準確確定運算順序和運算法則，并能進行正確地計算．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
6.把下列各數分別填入相應的集合里：，3，，，，0，，，（相鄰兩個1之間的0的個數逐次加1）
正有理數集合：{ ……}；
整數集合：{ ……}；
負分數集合：{ ……}；
無理數集合：{ ……}；
【答案】3，，3.14； 3，0，；，，；，
【分析】本題主要考查了實數，直接利用正有理數以及無理數和負分數的定義、整數的定義分別分析得出答案．
【詳解】解：正有理數集合：（3，，3.14…）；
整數集合：（3，0，…）；
負分數集合：（，，，…）；
無理數集合：（，……）．
故答案為：3，，3.14； 3，0，；，，；，．
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七年級數學下冊 預習篇
6.3 實數
一、無理數
1.無理數的概念：無限不循環小數叫作無理數。
2.有理數與無理數的區別：
（1）無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數；
（2）任何一個有理數都可以化成分數的形式，而無理數不能化成分數形式；
3.無理數近似值的估算方法：估算無理數的近似值通常用“夾逼法”，第一步：先確定被估算無理數的整數取值范圍；第二步：以較小整數逐步開始加0.1，并求其平方，確定被估算數的十分位，以此類推下去可以求出無理數的近似值。
4.無理數的常見類型：
（1）特點結構的數。如0.2020020002……是無理數；
（2）圓周率以及含的數；
（3）開方開不盡的數的方根；
二、實數
1.實數的概念：有理數和無理數統稱為實數。
2.實數的性質：在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣。
（1）相反數：實數的相反數是，0的相反數是0；
（2）絕對值：一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0；
（3）實數的絕對值可表示為，即的絕對值一定是一個非負數；
（4）倒數：乘積為1的兩個實數互為倒數，即如果與互為倒數，則；反之，如果，則與互為倒數，0沒有倒數。
（5）實數大小的比較：有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立，所以我們可以得到比較實數大小的法則。正實數大于0，負實數小于0，正數大于一切非負實數。兩個負實數，絕對值大的反而小。數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大。
6.實數與數軸上點的關系：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示。反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，實數和數軸上的點是一一對應的。
7.實數的運算：
（1）運算法則、運算率：有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用。
（2）運算順序：在進行實數的混合運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方，開方，在算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行。
選擇題
1.如圖，已知正方形的面積為5，頂點A在數軸上，且表示的數為．現以A為圓心，為半徑畫圓，與數軸交于點E（E在A的左側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
2.下列各數中，無理數是（ ）
A． B． C．0 D．
3.在四個數，0，，0.8中，絕對值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
4.在，，，，，，…（每兩個之間依次多一個）中，無理數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5.以下正方形的邊長是無理數的是（ ）
A．面積為的正方形 B．面積為的正方形
C．面積為的正方形 D．面積為的正方形
6.有一列數按一定規律排列：…．則第n個數是（ ）
A． B．
C． D．
7.如圖，半徑為1個單位長度的半圓，從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達點，則點對應的數是（ ）
A． B． C． D．
8.估計的值在( )
A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間
填空題
1.按如圖所示的程序計算，若開始輸入的的值為，則最后輸出的值是 ．
2.整數a，滿足，則 ．
3.我們記邊形為，其內角和為，則 （不要求求出具體結果）
4.已知a是的整數部分，b是它的小數部分，則 ．
5.比較大小（用“＞，＜，＝”表示）： ； 3.14； ．
解答題
1.有下列各數：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每兩個3之間依次多一個1）．
(1)屬于整數的有 ．（填序號）
(2)屬于負分數的有 ．（填序號）
(3)屬于無理數的有 ．（填序號）
2.(1)計算： ．
(2) 計算：
3.【閱讀材料】∵，即，∴，∴的整數部分為，∴的小數部分為．
【解決問題】
(1)填空：的小數部分是 ；
(2)已知、分別是的整數部分、小數部分，求代數式的值．
4.如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．
(1)這個魔方的棱長為______．
(2)圖1的側面有一個正方形，求這個正方形的面積和邊長．
(3)將正方形放置在數軸上，如圖2所示，點A與數3表示的點重合，則D在數軸上表示的數為______．
5.計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
6.把下列各數分別填入相應的集合里：，3，，，，0，，，（相鄰兩個1之間的0的個數逐次加1）
正有理數集合：{ ……}；
整數集合：{ ……}；
負分數集合：{ ……}；
無理數集合：{ ……}；
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