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第七章 復數
第7.1.1講 數系的擴充和復數的概念
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1．了解數系的擴充與引進復數的必要性．(重點)　
2.理解復數的有關概念及其代數形式．(難點)
3．掌握復數相等的充要條件及其應用．(重點)
1、復數的概念
2、已知復數類型求參數
3、根據相等條件求參數
知識點一　復數的概念及其表示
1．復數的定義
我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，全體復數所構成的集合C叫做復數集．規定i·i＝i2＝－1．
2．復數的表示
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做代數形式，a與b分別叫做復數z的實部與虛部．
兩個復數一定能比較大小嗎？
提示：當兩個復數為實數時，能夠比較大??；否則不能比較大小．
知識點二　復數相等
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c且b＝d．
若復數a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是什么？
提示：因為a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.
知識點三　復數的分類
1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)的分類情況如下：
復數
2．復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系：
題型1、復數的概念
1．復數，則（ ）
A．的實部為 B．的虛部為
C．的實部為 D．的虛部為
【答案】B
【分析】根據復數的概念求解.
【詳解】因為，所以，所以與的實部均為1，A，C錯誤；
的虛部為，B正確，D錯誤.
故選：B.
2．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根據復數相等求得，然后利用共軛復數的概念求虛部，即可求解．
【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．
故選：A．
3．若，，則復數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數相等的條件即可得解.
【詳解】由，得，則，
根據復數相等的充要條件得，解得，
故．
故選：B．
4．已知為虛數單位，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．實部為零的復數是純虛數
C．可能是實數 D．復數的虛部是
【答案】C
【分析】根據復數的概念即可求解.
【詳解】A.，說法不正確；
B.實部為零的復數可能虛部也為零，從而是實數，說法不正確；
C.當時，是實數，說法正確；
D.復數的虛部是1，說法不正確.
故選：.
5．下列四種說法正確的是（ ）
A．如果實數，那么是純虛數．
B．實數是復數．
C．如果，那么是純虛數．
D．任何數的偶數次冪都不小于零．
【答案】B
【分析】根據復數的概念及分類，逐項判定，即可看求解.
【詳解】對于A中，若，那么，所以A錯誤；
對于B中，由復數的概念，可得實數是復數，所以B正確；
對于C中，若且時，復數，所以C不正確；
對于D中，由虛數單位，可得D錯誤.
故選：B.
題型2、已知復數類型求參數
6．如果復數是純虛數，是虛數單位，則（ ）
A．且 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】根據題意復數為純虛數，即得，從而求解.
【詳解】由復數是純虛數，
得
解得:.
故選:C.
7．若復數是實數，則等于（ ）
A．1 B．1 C． D．不存在
【答案】C
【分析】由復數的類型有，即可求參數值.
【詳解】由題設，故.
故選：C
8．若復數是純虛數，則實數m等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根據純虛數的特征，列式求解.
【詳解】由題意可知，解得：.
故選：A
9．已知a，b均為實數，復數：，其中i為虛數單位，若，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由復數為實數及不等關系列不等式，解一元二次不等式即可.
【詳解】由題，所以為實數，即，
則有，解得，即a的取值范圍為.
故選：A
10．復數，為實數的充要條件是（　?。?br/>A． B．且
C．且 D．
【答案】D
【分析】依題意可得，即可求出的取值范圍.
【詳解】若復數，為實數，則，
即，所以.
故選：D
題型3、根據相等條件求參數
11．已知，其中x，y是實數，i是虛數單位，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由復數相等的條件列方程組求解出，從而可求出的值.
【詳解】由題意得，
所以，得，
所以.
故選：A
12．若，是虛數單位，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數相等可得，，進而即得.
【詳解】因為，
所以，，即，，
所以．
故選：D．
13．實數滿足條件：，（其中為i虛數單位），則（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】由復數相等的條件列出式子，即可求解
【詳解】因為，
所以，解得，
所以，
故選：A
14．下列命題：①若，則；②；③若，且，則.其中正確命題的個數為（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】通過反例可知①②錯誤；由且可構造方程組求得，知③正確.
【詳解】對于①，若，，則，①錯誤；
對于②，若，，則，②錯誤；
對于③，由，得：，解得：，③正確.
故選：B.
15．關于的方程有純虛數根，則為（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【分析】設出方程的純虛根并代入方程，根據復數相等的條件即可解得結果.
【詳解】設關于的方程的純虛數根為，且，
則，即，
根據復數相等的條件得，
因為，所以，解得或（舍去）
故選：C.
一、單選題
1．設復數，則的虛部為（ ）
A．4 B．-4 C．4i D．-4i
【答案】B
【分析】由復數虛部的概念即可得解.
【詳解】由題意復數，則的虛部為-4.
故選：B.
2．如果復數是純虛數,則實數= ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由純虛數概念建立關系式求解即可.
【詳解】由復數是純虛數，
得，解得.
故選：C.
3．適合的實數x、y的值為（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根據復數相等的定義，聯立關于x、y的方程組求解即可．
【詳解】根據復數相等的定義可得，，解得.
故選：A．
4．已知，其中，i為虛數單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據復數相等求解出，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
因此所選方程的兩根為，僅有符合要求，
故選：A.
5．設m為實數，已知復數為純虛數，則m的值為（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
【答案】C
【分析】根據復數為純虛數列方程計算求解即可.
【詳解】復數為純虛數,
,
故選:C.
6．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【分析】根據兩個實數才能比較大小進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得或．
故選：C
7．i為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
【答案】C
【分析】先化簡復數，然后由復數的基本概念求解即可.
【詳解】，所以其虛部為：.
故選：C.
8．已知為虛數單位，復數的虛部與實部互為相反數，則實數（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由復數虛部，實部定義可得答案.
【詳解】由題，，則．
故選：B
二、多選題
9．對于復數，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則為純虛數
B．若，則
C．若，則為實數
D．
【答案】AB
【分析】根據復數的概念判斷AC，根據復數相等判斷B，根據虛數單位的定義判斷D.
【詳解】對于A：當，，當時為實數，A錯誤；
對于B：若，則，B錯誤；
對于C：若，則為實數，C正確；
對于D：，D正確.
故選：AB.
10．的實部與虛部互為相反數，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由實部和虛部互為相反數，結合二倍角公式可構造關于的一元二次方程，解方程求得，根據特殊角三角函數值和的范圍可求得結果.
【詳解】由題意得：，，
解得：或，，或或，
故選：ACD.
三、填空題
11． ．
【答案】/
【分析】利用的性質計算可得答案.
【詳解】∵，∴，
則，故原式．
故答案為：.
12．定義運算，如果（是虛數單位），那么實數的值分別為
【答案】.
【分析】由題意，結合復數相等，建立方程組，可得答案.
【詳解】由得，，
所以，解得.
故答案為：.
四、解答題
13．已知復數．當實數取什么值時，復數是：
(1)虛數；
(2)純虛數；
【詳解】（1）
整理得
當復數是虛數時，，此時，
即實數取任意值，復數都是虛數；
（2）當復數是純虛數時，，得，
即實數時，復數是純虛數.
14．已知復數，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
【詳解】（1）因為，所以，解得，
因為，所以，
當時，，不符合條件，當時，滿足，
綜上，.
（2）若，則，
所以，即，
所以，即，
解得，又因為，
所以.
15．已知復數，則實數x取什么值時，z是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【詳解】（1）依題意，由，解得，所以當時，z是實數.
（2）依題意，由，解得且，
所以當且時，z是虛數.
（3）依題意，由，解得或，
所以當或時，z是純虛數.第七章 復數
第7.1.1講 數系的擴充和復數的概念
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1．了解數系的擴充與引進復數的必要性．(重點)　
2.理解復數的有關概念及其代數形式．(難點)
3．掌握復數相等的充要條件及其應用．(重點)
1、復數的概念
2、已知復數類型求參數
3、根據相等條件求參數
知識點一　復數的概念及其表示
1．復數的定義
我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，全體復數所構成的集合C叫做復數集．規定i·i＝i2＝－1．
2．復數的表示
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做代數形式，a與b分別叫做復數z的實部與虛部．
兩個復數一定能比較大小嗎？
提示：當兩個復數為實數時，能夠比較大??；否則不能比較大?。?br/>知識點二　復數相等
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c且b＝d．
若復數a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是什么？
提示：因為a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.
知識點三　復數的分類
1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)的分類情況如下：
復數
2．復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系：
題型1、復數的概念
1．復數，則（ ）
A．的實部為 B．的虛部為
C．的實部為 D．的虛部為
2．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
3．若，，則復數等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知為虛數單位，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．實部為零的復數是純虛數
C．可能是實數 D．復數的虛部是
5．下列四種說法正確的是（ ）
A．如果實數，那么是純虛數．
B．實數是復數．
C．如果，那么是純虛數．
D．任何數的偶數次冪都不小于零．
題型2、已知復數類型求參數
6．如果復數是純虛數，是虛數單位，則（ ）
A．且 B．
C． D．或
7．若復數是實數，則等于（ ）
A．1 B．1 C． D．不存在
8．若復數是純虛數，則實數m等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
9．已知a，b均為實數，復數：，其中i為虛數單位，若，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．復數，為實數的充要條件是（　?。?br/>A． B．且
C．且 D．
題型3、根據相等條件求參數
11．已知，其中x，y是實數，i是虛數單位，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若，是虛數單位，，則等于（ ）
A． B． C． D．
13．實數滿足條件：，（其中為i虛數單位），則（ ）
A． B．2 C．3 D．
14．下列命題：①若，則；②；③若，且，則.其中正確命題的個數為（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
15．關于的方程有純虛數根，則為（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
一、單選題
1．設復數，則的虛部為（ ）
A．4 B．-4 C．4i D．-4i
2．如果復數是純虛數,則實數= ( )
A． B． C． D．
3．適合的實數x、y的值為（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．已知，其中，i為虛數單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
5．設m為實數，已知復數為純虛數，則m的值為（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
6．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
7．i為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
8．已知為虛數單位，復數的虛部與實部互為相反數，則實數（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
9．對于復數，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則為純虛數
B．若，則
C．若，則為實數
D．
10．的實部與虛部互為相反數，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
11． ．
12．定義運算，如果（是虛數單位），那么實數的值分別為
四、解答題
13．已知復數．當實數取什么值時，復數是：
(1)虛數；
(2)純虛數；
14．已知復數，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
15．已知復數，則實數x取什么值時，z是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？

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