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第七章 復數
第7.1.2講 復數的幾何意義
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1．了解復平面的概念．(重點)　
2.理解復數、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系．(重點、難點)　
3.掌握復數模的概念，會求復數的模．(重點)
1、復數的坐標表示
2、復數的模和共軛復數
3、根據復數的幾何意義求參問題
知識點一　復數的幾何意義
1．復平面
(1)復平面：建立了平面直角坐標系來表示復數的平面叫復平面；
(2)實軸：坐標系中的x軸叫實軸，在它上面的點都表示實數；
(3)虛軸：坐標系中的y軸叫虛軸，除去原點外，在它上面的點都表示純虛數．
2．復數的幾何意義
(1)復數與復平面內的點一一對應：
復數z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數與復平面內以原點為起點的向量一一對應：
復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
(1)虛軸上的點都對應著唯一的純虛數嗎？
提示：不是．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
(2)象限內的點與復數有何對應關系？
提示：第一象限的復數特點：實部為正，且虛部為正；
第二象限的復數特點：實部為負，且虛部為正；
第三象限的復數特點：實部為負，且虛部為負；
第四象限的復數特點：實部為正，且虛部為負．
知識點二　復數的模
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值)．由模的定義可知，|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
知識點三　共軛復數
1．定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
通常記復數z的共軛復數為，若z＝a＋bi，則＝a－bi．特別地，實數a的共軛復數仍是a本身．
2．性質
(1)||＝|z|.
(2)實數的共軛復數是它本身，即z＝ z∈R.
題型1、復數的坐標表示
1．復數在復平面上對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．若復數，其中，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在復平面內，復數和表示的點關于虛軸對稱，則復數z＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知在復平面內對應的點位于第四象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型2、復數的模和共軛復數
6．已知，若為純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知復數滿足，其中是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知，則（ ）
A．2 B．4 C． D．8
9．已知復數在復平面內對應的點在實軸上，則的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．若，z為純虛數，且，則（ ）
A． B．5 C． D．3
題型3、根據復數的幾何意義求參問題
11．已知復數z的實部和虛部均為自然數，在復平面內z對應的點為Z，那么滿足的點Z的個數為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知i是虛數單位，若，則實數a=（ ）
A．2 B．2 C．-2 D．±2
13．已知復數滿足，且，那么實數不可能取的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
14．在復平面內，若復數所對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
15．復數對應的點在函數圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．復數，其中為虛數單位，則（ ）
A． B．2 C． D．5
2．設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．復數滿足，則的虛部是為（ ）
A． B． C． D．
4．已知復數，則的共軛復數對應的點位于復平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在復平面內，復數對應的向量為，復數對應的向量為，那么向量對應的復數是（ ）
A．1 B． C． D．
6．若，其中a，，是虛數單位，則（ ）
A．2 B． C．3 D．5
7．在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（　　）
A． B．
C． D．
8．設復數滿足，則的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多選題
9．對于復數（，），下列說法正確的是（ ）
A．若，則為實數
B．若，則為純虛數
C．若，，則在復平面上對應的點位于第四象限
D．若，則在復平面上對應的點的集合所構成的圖形的面積為4
10．已知復數，，在復平面內對應的點分別為A，B，C，的共軛復數在復平面內對應的點為D，則（ ）
A．點A在第二象限 B．
C． D．點D的坐標為
三、填空題
11．已知，在復平面內對應的點為，則滿足的點的集合對應的圖形為 .
12．已知復數滿足，則（為虛數單位）的最大值為 ．
四、解答題
13．已知復數在復平面內所對應的點為A.
(1)若復數為純虛數，求實數的值；
(2)若點A在第二象限，求實數的取值范圍.
14．已知復平面內的動點所對應的復數為，且滿足，求點與復數所對應的點的距離的最大值．
15．已知在復平面內表示復數的點為.
(1)若點在函數的圖象上，求實數的值；
(2)若為坐標原點，點A在軸的正半軸上，且向量與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.第七章 復數
第7.1.2講 復數的幾何意義
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1．了解復平面的概念．(重點)　
2.理解復數、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系．(重點、難點)　
3.掌握復數模的概念，會求復數的模．(重點)
1、復數的坐標表示
2、復數的模和共軛復數
3、根據復數的幾何意義求參問題
知識點一　復數的幾何意義
1．復平面
(1)復平面：建立了平面直角坐標系來表示復數的平面叫復平面；
(2)實軸：坐標系中的x軸叫實軸，在它上面的點都表示實數；
(3)虛軸：坐標系中的y軸叫虛軸，除去原點外，在它上面的點都表示純虛數．
2．復數的幾何意義
(1)復數與復平面內的點一一對應：
復數z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數與復平面內以原點為起點的向量一一對應：
復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
(1)虛軸上的點都對應著唯一的純虛數嗎？
提示：不是．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
(2)象限內的點與復數有何對應關系？
提示：第一象限的復數特點：實部為正，且虛部為正；
第二象限的復數特點：實部為負，且虛部為正；
第三象限的復數特點：實部為負，且虛部為負；
第四象限的復數特點：實部為正，且虛部為負．
知識點二　復數的模
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值)．由模的定義可知，|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
知識點三　共軛復數
1．定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
通常記復數z的共軛復數為，若z＝a＋bi，則＝a－bi．特別地，實數a的共軛復數仍是a本身．
2．性質
(1)||＝|z|.
(2)實數的共軛復數是它本身，即z＝ z∈R.
題型1、復數的坐標表示
1．復數在復平面上對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由復數確定點的坐標，再根據第二象限坐標的特點，解關于的一元一次不等式組即可求出的范圍.
【詳解】復數在復平面上對應的點的坐標為，
根據第二象限坐標的特點可得，從而可得.
故選：D.
2．若復數，其中，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】寫出復數的實部與虛部，再判斷其正負，再結合復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】因為，實部為，虛部為，
因為，所以，，
所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.
故選：D
3．復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】得到對應的點坐標，得到所在象限.
【詳解】在復平面上對應的點為，位于第四象限.
故選：D
4．在復平面內，復數和表示的點關于虛軸對稱，則復數z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求解即可.
【詳解】由題意可得對應的點為，
該點關于虛軸對稱的點為，所以復數對應的點為，
所以.
故選：B
5．已知在復平面內對應的點位于第四象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，結合復數的幾何意義得出對應點的坐標，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】將整理化簡可得，
所以復數在復平面內對應的點坐標為，
由點位于第四象限可得，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A
題型2、復數的模和共軛復數
6．已知，若為純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據純虛數的定義可得，進而利用復數的模長公式即可求解.
【詳解】由為純虛數，得，，解得，
所以，
故選:B．
7．已知復數滿足，其中是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出復數，利用復數的模長公式可求得的值.
【詳解】因為，則，故.
故選：B.
8．已知，則（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根據復數的模長計算公式，可得答案.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
9．已知復數在復平面內對應的點在實軸上，則的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】由題意可得，由解出a的值，結合復數的幾何意義即可求解.
【詳解】由題意知，
，
所以復數z在復平面內對應的點的坐標為，
又該點在實軸上，所以，解得，
所以，則.
故選：D.
10．若，z為純虛數，且，則（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【分析】根據復數相等及復數的模求解即可.
【詳解】因為z為純虛數，
所以設，
由得，
所以，解得，
所以，則，
故選：A．
題型3、根據復數的幾何意義求參問題
11．已知復數z的實部和虛部均為自然數，在復平面內z對應的點為Z，那么滿足的點Z的個數為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】設，得到，再依次列舉得到答案.
【詳解】設，，，即，
當時，或；
當時，；
當時，，或；
當時，.
綜上所述：共有個點滿足條件.
故選：C
12．已知i是虛數單位，若，則實數a=（ ）
A．2 B．2 C．-2 D．±2
【答案】D
【分析】根據復數模的概念求解即可.
【詳解】，
，
解得，
故選：D
13．已知復數滿足，且，那么實數不可能取的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】令復數，代入模長公式，再代入，化簡列方程組即可求得.
【詳解】令，則分別帶入，中得
當時，，或；
當時，解得；
綜上：或或.
故選：A
14．在復平面內，若復數所對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據復數對應的點所在位置列不等式組求解.
【詳解】復數所對應的點在第二象限，
，
解得.
故選：C.
15．復數對應的點在函數圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由復數幾何意義可得對應點的坐標，代入函數解析式即可求得結果.
【詳解】對應的點為，，解得：.
故選：D.
一、單選題
1．復數，其中為虛數單位，則（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根據復數的模的公式計算即得.
【詳解】因，則.
故選：C.
2．設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求出即可.
【詳解】因為，
所以對應復平面內點的坐標，
所以位于第二象限，
故選：B
3．復數滿足，則的虛部是為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】根據復數虛部的定義以及共軛復數的概念即可得解.
【分析】因為，則
所以的虛部為.
故選：D.
4．已知復數，則的共軛復數對應的點位于復平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據題意求，進而結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，則，
所以復數對應的點為，位于復平面的第一象限.
故選：A.
5．在復平面內，復數對應的向量為，復數對應的向量為，那么向量對應的復數是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】由題意得，，，
則對應復數1.
故選：A．
6．若，其中a，，是虛數單位，則（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】利用復數相等的條件，求出，由復數模的公式計算.
【詳解】若，即，
得，解得，
所以．
故選：B
7．在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據復數對應的點的坐標寫出復數的代數形式，結合共軛復數的定義進行求解即可.
【詳解】因為復數對應的點的坐標是，
所以，因此，
故選：B
8．設復數滿足，則的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】設復數，根據題意得到，得到復數對應的點的軌跡為為圓心半徑為的圓，進而求得的最大值.
【詳解】設復數，可得，所以，
所以復數對應的點的軌跡為為圓心半徑為的圓，
所以的最大值是．
故選：B.

二、多選題
9．對于復數（，），下列說法正確的是（ ）
A．若，則為實數
B．若，則為純虛數
C．若，，則在復平面上對應的點位于第四象限
D．若，則在復平面上對應的點的集合所構成的圖形的面積為4
【答案】AC
【分析】根據復數的概念以及幾何意義，結合圓的性質，可得答案.
【詳解】對于A，由，，則，故A正確；
對于B，當時，，故B錯誤；
對于C，由，則其在復平面上對應的點為，由，，則該點在第四象限，故C正確；
對于D，，則在復平面上對應的點的集合所構成的圖形為以原點為圓心，以為半徑的圓，則其面積，故D錯誤.
故選：AC.
10．已知復數，，在復平面內對應的點分別為A，B，C，的共軛復數在復平面內對應的點為D，則（ ）
A．點A在第二象限 B．
C． D．點D的坐標為
【答案】ACD
【分析】對于A，求得的坐標即可判斷；對于B，求得的坐標，從而可求得即可判斷；對于C，分別計算的模即可判斷；對于D，先計算，再求得的坐標即可判斷.
【詳解】對于A，，所以點A在第二象限，A對；
對于B，，所以，所以，B錯；
對于C，，，所以，C對；
對于D，，所以，D對.
故選：ACD
三、填空題
11．已知，在復平面內對應的點為，則滿足的點的集合對應的圖形為 .
【答案】以為圓心，1為半徑的圓（含內部）
【分析】令，根據復數模的定義可得，即得圖形.
【詳解】令，由，即點的集合對應的圖形是以為圓心，1為半徑的圓（含內部）.
故答案為：以為圓心，1為半徑的圓（含內部）
12．已知復數滿足，則（為虛數單位）的最大值為 ．
【答案】6
【分析】由復數的幾何意義求解即可.
【詳解】設(為實數)，
則復數滿足的幾何意義是以原點為圓心，以1為半徑的圓上的點，
則表示的幾何意義是圓上的點到的距離，
根據圓的性質可知，所求最大值為.
故答案為：6.
四、解答題
13．已知復數在復平面內所對應的點為A.
(1)若復數為純虛數，求實數的值；
(2)若點A在第二象限，求實數的取值范圍.
【詳解】（1）若復數為純虛數，則，解得，
所以實數的值為.
（2）若點A在第二象限，則，解得，
所以實數的取值范圍為.
14．已知復平面內的動點所對應的復數為，且滿足，求點與復數所對應的點的距離的最大值．
【詳解】∵滿足的點Z的軌跡是以，對應的點B，C為端點的線段．
由平面幾何知識知點與復數所對應的點的距離的最大值．

15．已知在復平面內表示復數的點為.
(1)若點在函數的圖象上，求實數的值；
(2)若為坐標原點，點A在軸的正半軸上，且向量與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.
【詳解】（1）由題可知，復數在復平面內對應的點的坐標為.
又該點位于函數的圖象上，
所以，
即，
解得或.
（2）由題可知，點在第二象限或第三象限，
所以且，
即且且，
所以的取值范圍為.

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