資源簡介

選 修 系 列 4
選修 4-1 幾何證明選講
【課程目標(biāo)】
本專題的內(nèi)容包括：相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識、圓的進(jìn)一步的認(rèn)識、圓錐截線。
通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生能證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；使學(xué)生不僅理解邏輯演繹的程序，而且體驗大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程；通過對圓錐曲線性質(zhì)的進(jìn)一步探索，使學(xué)生提高空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力。
【學(xué)習(xí)要求】
1．相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識
了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理。
教學(xué)中，可以使用如下定理作為推理的依據(jù)：
◆平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應(yīng)邊成比例。
◆三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比。
◆經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于底邊的直線平分另一腰。
◆梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
◆若一條直線截三角形的兩邊（或其延長線）所得對應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行。
◆斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。
2．圓的進(jìn)一步認(rèn)識
理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論。
掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理。
教學(xué)中，可以使用如下定理作為推理的依據(jù)：
◆從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等。
◆若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對該線段張角相等，則此兩點(diǎn)與線段兩個端點(diǎn)共圓。特別的，對定線段張角為直角的點(diǎn)共圓。
3．圓錐截線（本節(jié)內(nèi)容不作要求，可以選擇部分內(nèi)容教學(xué)）
了解平行投影的含義；了解平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。
了解平面截圓錐面的定理（簡稱圓錐截線定理）。
【教學(xué)建議】
1.本專題的部分內(nèi)容，學(xué)生在初中已經(jīng)初步了解其內(nèi)容，并且在學(xué)習(xí)中側(cè)重于觀察、實驗和操作，而本專題不僅是初中所學(xué)知識的深化，而且側(cè)重于邏輯推理與抽象思維。教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生逐步適應(yīng)這一思維層次的提升。
2.本專題的教學(xué)，應(yīng)按照從簡到繁、從具體到抽象、從實驗到論證的過程進(jìn)行，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)具體的平面幾何內(nèi)容中體會數(shù)學(xué)的思想方法，從而進(jìn)一步培養(yǎng)創(chuàng)新思維的意識和能力。
3．幾何證明的難度應(yīng)嚴(yán)格控制，在解決同一個問題的過程中，相似三角形（或全等三角形）的使用不宜超過2次，添置的輔助線不超過3條。
4.圓錐截線定理的證明，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它們有助于學(xué)生體會空間想像能力和幾何直觀能力在解決問題中的作用，有助于提高學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識解決問題的能力。對這部分內(nèi)容可以選擇開設(shè)相關(guān)講座或指導(dǎo)學(xué)生閱讀。
選修 4-2 矩陣與變換
【課程目標(biāo)】
本專題的內(nèi)容包括：二階矩陣與平面向量、幾種常見的平面變換、變換的復(fù)合與矩陣的乘法、逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量、矩陣的簡單應(yīng)用。
通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生了解矩陣是研究圖形（向量）變換的基本工具，許多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來表示；使學(xué)生理解二階方陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念，并以變換和映射的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義；初步體會矩陣應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步體會代數(shù)與幾何結(jié)合的數(shù)形結(jié)合思想。
【學(xué)習(xí)要求】
1．二階矩陣與平面向量
了解矩陣的有關(guān)概念；掌握二階矩陣與平面列向量的乘法。
2．幾種常見的平面變換
理解矩陣對應(yīng)的變換把平面上的直線變成直線，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ。
理解幾種常見的平面變換：恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換；了解單位矩陣。
3．矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法
掌握二階矩陣的乘法；理解矩陣乘法的簡單性質(zhì)（不滿足交換律、滿足結(jié)合律、不滿足消去律）。
4．逆變換與逆矩陣
理解逆矩陣的意義；掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件。
理解逆矩陣的唯一性和 (AB)-1＝B-1A-1 等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。
會從幾何變換的角度求出AB的逆矩陣。
了解二階行列式的定義；會用二階行列式求逆矩陣。
了解用變換與映射的觀點(diǎn)解二元線性方程組的意義。
會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解二元線性方程組。
理解二元線性方程組解的存在性、唯一性。
5．特征值與特征向量
掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義。
會求二階矩陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實數(shù)的情形）。
會用二階矩陣的特征值、特征向量解決簡單的問題。
了解三階或高階矩陣。
了解矩陣的簡單應(yīng)用。
【教學(xué)建議】
1．本專題只對具體的二階方陣加以討論，而不討論一般m×n階矩陣以及（aij）形式的表示。
2．矩陣的引入要從具體的實例開始，通過具體的實例讓學(xué)生認(rèn)識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點(diǎn)來認(rèn)識矩陣、解線性方程組。
3．要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法，并通過具體的實例讓學(xué)生理解矩陣乘法的運(yùn)算律。
4．要在具體的實例中理解逆矩陣和特征值的實際意義及其不變性，結(jié)合具體實例能用線性方程組或用行列式來求解簡單二階矩陣的逆矩陣和特征值。逆矩陣的唯一性定理要結(jié)合具體幾何變換來理解其合理性。
5．在學(xué)習(xí)二階矩陣基礎(chǔ)知識的同時，教師可以根據(jù)教學(xué)的實際情況適時地介紹一些矩陣的拓廣知識（如三階矩陣或高階矩陣），這些知識不要求學(xué)生掌握，只要求學(xué)生作一些感性的認(rèn)識，也便于學(xué)生對矩陣的有關(guān)知識有一個較為全面的了解，有利于以后的學(xué)習(xí)。
6．這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到，矩陣從實際生活需要中產(chǎn)生，并在實際的問題中有著廣泛的應(yīng)用，體驗數(shù)學(xué)的抽象更有助于人們對問題的思考與解決。
7．矩陣的簡單應(yīng)用，在教學(xué)中主要把握以下兩方面情況：
（1）運(yùn)用的矩陣為：m×1矩陣或1×n矩陣（m，n≤4）或n×n方陣（n=2，3）。
（2）問題類型為：簡單的網(wǎng)絡(luò)圖中的一級路、二級路矩陣問題；簡單的二階逆矩陣應(yīng)用問題；簡單的特征向量應(yīng)用問題。
選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
【課程目標(biāo)】
本專題的內(nèi)容包括：坐標(biāo)系、曲線的極坐標(biāo)方程、平面坐標(biāo)系中幾種變換、參數(shù)方程。
通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生簡單了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系，掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式；通過從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用價值；培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力和應(yīng)用意識。
【學(xué)習(xí)要求】
1．坐標(biāo)系
了解極坐標(biāo)系；會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置；會進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。
了解在球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法（本節(jié)內(nèi)容不作要求）。
2．曲線的極坐標(biāo)方程
了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法；會進(jìn)行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；了解簡單圖形（過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)的圓、圓心在極點(diǎn)的圓）的極坐標(biāo)方程。
3．平面坐標(biāo)系中幾種常見變換（本節(jié)內(nèi)容不作要求）
了解在平面直角坐標(biāo)系中的平移變換與伸縮變換。
4．參數(shù)方程
了解拋物運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程及參數(shù)的意義。
理解直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點(diǎn)）的參數(shù)方程及其簡單應(yīng)用。
會進(jìn)行曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。
【教學(xué)建議】
1．坐標(biāo)系的教學(xué)應(yīng)著重讓學(xué)生理解平面和空間中點(diǎn)的位置都可以用有序數(shù)組（坐標(biāo)）來刻畫，在不同坐標(biāo)系中，這些數(shù)所體現(xiàn)的幾何含義不同。同一幾何圖形的方程在不同坐標(biāo)系中具有不同的形式。因此，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使表示圖形的方程具有更方便的形式。在坐標(biāo)系的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試建立坐標(biāo)系，說明建立坐標(biāo)系的原則，激勵學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，并通過具體實例說明這樣建立坐標(biāo)系有哪些方便之處
2．教學(xué)中應(yīng)通過具體例子讓學(xué)生體會極坐標(biāo)的多值性，但是在表示點(diǎn)的極坐標(biāo)時，如無特別要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，主要是極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，主要是參數(shù)方程化為普通方程，并注意參數(shù)的取值范圍。
3．求曲線的極坐標(biāo)方程主要包括：特殊位置的直線（如過極點(diǎn)的直線）、圓（過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）；求曲線的參數(shù)方程主要包括：直線、圓、橢圓和拋物運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程。
4．應(yīng)通過對具體物理現(xiàn)象的分析(如拋物運(yùn)動的軌跡)引入?yún)?shù)方程，使學(xué)生了解參數(shù)的作用。應(yīng)注意鼓勵學(xué)生運(yùn)用已有的平面向量、三角函數(shù)等知識，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)建立曲線的參數(shù)方程。
5．可以組織學(xué)生成立興趣小組，合作研究擺線的性質(zhì)，收集擺線應(yīng)用的實例，了解平擺線和圓的漸開線的參數(shù)方程。可以應(yīng)用計算機(jī)展現(xiàn)心臟線、螺線、玫瑰線、葉形線、擺線、漸開線等，使學(xué)生感受這些曲線的美。
選修4-5 不等式選講
【課程目標(biāo)】
本專題的內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、數(shù)學(xué)歸納法與不等式。
通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。
【學(xué)習(xí)要求】
1．不等式的基本性質(zhì)
掌握不等式的基本性質(zhì)。
2．含有絕對值的不等式
理解絕對值的幾何意義；會解絕對值不等式：∣ax＋b∣≤c 、∣ax＋b∣≥c ；了解絕對值不等式∣x－c∣＋∣x－b∣≥a 的解法。
理解絕對值不等式∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣。
3．不等式的證明
了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法；能用比較法、綜合法、分析法證明簡單的不等式。
4．幾個著名的不等式
理解二元柯西不等式的幾種不同形式：
（1）柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。
（3）≥。
（通常稱作平面三角不等式）。
掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式。
5．利用不等式求最大（小）值
會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。
6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與不等式
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式。
會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1，n為正整數(shù)）。
【教學(xué)建議】
1．在本專題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式的數(shù)學(xué)意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質(zhì)。
2．代數(shù)恒等變換以及放縮法是證明不等式的常用方法，在利用這些方法證明不等式時，常常使用一些技巧。對于專門從事某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學(xué)生來說，往往很難掌握這些技巧，對他們更為重要的是理解這些不等式的背景和它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。所以，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。
3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)通過對一些簡單問題的分析，幫助學(xué)生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時，常常需要進(jìn)行一些代數(shù)恒等變換。教師不要選擇過于技巧化的問題或習(xí)題，以免沖淡了對數(shù)學(xué)歸納法思想的理解。
4．在教學(xué)解絕對值不等式時，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。
5．不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法只要求了解。
6．不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用平均不等式、柯西不等式求解。
7．下列內(nèi)容可指導(dǎo)學(xué)生閱讀：n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式。

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