資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學下冊 預習篇
18.1.1 平行四邊形的性質
1.平行四邊形的概念
定義 表示方法及解讀 注意
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 平行四邊形用符號“口”表示；平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形 平行四邊形的表示一定按順時針或逆時針依次注明各頂點
2.平行四邊形的性質
性質 符號語言
邊 平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四邊形的兩組對角分別相等，鄰角互補 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
對角線 平行四邊形的對角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
此外，平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心且平行四邊形具有一般四邊形的一切性質，
3.平行四邊形的性質的應用
平行四邊形的性質是我們研究平行四邊形的角或邊的重要依據.利用平行四邊形的性質，可以求角的度數、線段的長度。
選擇題
1.用四根木條釘成一個平行四邊形，把它拉成一個長方形，這時長方形與原平行四邊形相比，面積(　　)
A．不變 B．減少了
C．增大了 D．以上說法都不對
【答案】C
【分析】此題考查平行四邊形的性質，根據平行四邊形的面積等于底乘以高解答即可．
【詳解】解：∵用四根木條釘成一個平行四邊形，把它拉成一個長方形，
∴平行四邊形和長方形的底不變，而高變大，
∴長方形與原平行四邊形相比，面積增大，
故選：C．
2.如圖，在中，，，于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行四邊形的性質，等邊對等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質；根據等邊對等角求出，得到，根據平行四邊形的對邊平行得到，再根據直角三角形兩銳角互余求出度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
3.如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的性質與判定；證明，得出，，進而可得四邊形的周長為，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
．
在和中，
， ，，
，
，．
又，，，，
四邊形的周長為：．
故選C．
4.如圖，點是的對角線交點，為中點，交于點，若，則的值為( )
A．2 B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】由本題考查平行四邊形的性質，三角形中線的性質；利用平行四邊形的性質得出，根據三角形中位線的性質得出，即可得出答案．
【詳解】解：點是 的對角線交點，
，
為中點，
∴
，
．
故選：A．
5.如圖，平行四邊形的頂點A，B，D的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查坐標與圖形，平行四邊形的性質，根據平行四邊形對邊平行且相等可得，，再根據頂點A，B，D的坐標求出長及點C的縱坐標即可．
【詳解】四邊形是平行四邊形，
，，
A，B，D的坐標分別是，，，
，，
，點C的縱坐標為2，
頂點C的坐標是．
故選B．
6.在中，，則的度數為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對角相等、鄰角互補是解題的關鍵．
由平行四邊形的性質得，則，再求出，即可解決問題．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
，
故選：A．
7.如圖，在中，E為邊延長線上一點，連結．若的面積為6，則的面積為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】此題主要考查利用平行四邊形的性質．首先根據平行四邊形的性質，平行四邊形和的高相等，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴平行四邊形和的高相等，
，
故選：C．
8.如圖，，分別是平行四邊形的邊，上的點，與相交于點，與相交于點，若，，，則陰影部分的面積為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，三角形的面積，解題的關鍵在于求出各三角形之間的面積關系．根據平行四邊形的面積與三角形的面積公式可得三角形的面積，連接、兩點，由三角形的面積公式我們可以推出，，所以，，因此可以推出四邊形的面積就是．再根據面積差可得答案．
【詳解】解：連接、兩點，過點作于點，

，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
的邊上的高與的邊上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故陰影部分的面積為．
故選：B．
填空題
1.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
【答案】16
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質是解答本題的關鍵；
由中垂線的作法可知，然后由的周長為8，可知，繼而可求出平行四邊形的周長．
【詳解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周長為8，
即，
，
即，
四邊形是平行四邊形，
，，
平行四邊形的周長．
故答案為：16．
2.如圖，E為平行四邊形邊上一點，F，G分別為，的中點，若與的面積之和為6，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查平行四邊形的性質，三角形中線的性質，由平行四邊形的性質可知，結合，，可得，連接，由F、G分別為、的中點，可得，，進而可得四邊形的面積．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
連接，
∵F、G分別為、的中點，
∴，，
∴四邊形的面積，
故答案為：4.5．
3.如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為 .
【答案】3
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊；熟練掌握平行四邊形的性質，得出是解題的關鍵．
根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，，；根據兩直線平行，內錯角相等可得；根據從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線可得；推得，根據等角對等邊可得，，即可列出等式，求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
則，
∴，
同理可證：，
∵，
即，
解得：；
故答案為：3．
4.如圖，在中，，對角線與相交于點O，，則的周長為 .
【答案】22
【分析】本題考查平行四邊形的性質以及三角形周長等知識，解題的關鍵是記住平行四邊形的對角線互相平分．根據平行四邊形對角線互相平分求出的長，即可解決問題．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴的周長．
故答案為：22．
5.如圖，將平行四邊形的一邊延長至點E，若，則的度數是 ．
【答案】/80度
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的對角相等是解題的關鍵．利用平行四邊形的對角相等可得，再利用平角的定義可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
解答題
1.在四邊形中，，，，，點從出發以的速度向運動，點從點出發，以的速度向點運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t．
若是上一點，且，t取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？
【答案】或
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，一元一次方程的應用．熟練掌握平行四邊形的性質，一元一次方程的應用是解題的關鍵．
由題意知，分當點在線段上，當在線段上，兩種情況求解；①當點在線段上，時，即，計算求解即可；②當在線段上，時，即，計算求解即可．
【詳解】解：∵，是上一點，即，
∴，，
①當點在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴，
解得；
②當在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴，
解得；
綜上所述，或時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．
2.如圖，平行四邊形的對角線與交于點，若，，．
(1)猜想的度數，并證明你的猜想；
(2)求平行四邊形的周長．
【答案】(1)的度數為，證明見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、勾股定理的逆定理：
（1）先根據平行四邊形的性質可得，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出結論；
（2）先利用勾股定理可得，再根據平行四邊形的周長公式即可得解．
【詳解】（1）解：的度數為，證明如下：
∵四邊形是平行四邊形，且，，
，，
，
，
∴是直角三角形，且；
（2）解：，，，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
3.如圖，為平行四邊形的邊上一點．連接，過點作于點，在的延長線上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了尺規作圖，掌握尺規作圖的方法是解題的關鍵．過點作于點即可．
【詳解】如圖，即為所求，
4.如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，的平分線交于點F．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見詳解．
(2)13
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質，等腰三角形的三線合一性質知識，
（1）根據平行四邊形性質和角平分線性質可得，．即可得到，．即可求證結論．
（2）過點A作，垂足為H，利用，可計算出的長度，結合（1）即可求出長度．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分線，是的平分線．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）過點A作，垂足為H，如圖：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
5.如圖，中，把沿翻折得到，相交于點．
(1)求證：；
(2)連接交于點，連接，在不添加輔助線的條件下請直接寫出圖中所有等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵．
（1）由平行四邊形的性質和折疊的性質可得，由“”可證，可得，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求，可得；
（2）由全等三角形的性質可得，則是等腰三角形，由“”可證，可得，可證是等腰三角形．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四邊形是平行四邊形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
6.如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，分別交，，于點M，O，N（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，，求證：；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
(3)
【分析】（1）根據垂直平分線的作圖方法進行作圖即可；
（2）根據證明即可；
（3）根據，得出，根據勾股定理求出，即可求出結果．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作；

（2）證明：∵垂直平分，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
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八年級數學下冊 預習篇
18.1.1 平行四邊形的性質
1.平行四邊形的概念
定義 表示方法及解讀 注意
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 平行四邊形用符號“口”表示；平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形 平行四邊形的表示一定按順時針或逆時針依次注明各頂點
2.平行四邊形的性質
性質 符號語言
邊 平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四邊形的兩組對角分別相等，鄰角互補 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
對角線 平行四邊形的對角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
此外，平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心且平行四邊形具有一般四邊形的一切性質，
3.平行四邊形的性質的應用
平行四邊形的性質是我們研究平行四邊形的角或邊的重要依據.利用平行四邊形的性質，可以求角的度數、線段的長度。
選擇題
1.用四根木條釘成一個平行四邊形，把它拉成一個長方形，這時長方形與原平行四邊形相比，面積(　　)
A．不變 B．減少了
C．增大了 D．以上說法都不對
2.如圖，在中，，，于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
4.如圖，點是的對角線交點，為中點，交于點，若，則的值為( )
A．2 B．4 C． D．8
5.如圖，平行四邊形的頂點A，B，D的坐標分別是，，，則頂點C的坐標是（ ）
A． B． C． D．
6.在中，，則的度數為（）
A． B． C． D．
7.如圖，在中，E為邊延長線上一點，連結．若的面積為6，則的面積為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8.如圖，，分別是平行四邊形的邊，上的點，與相交于點，與相交于點，若，，，則陰影部分的面積為（　　）

A． B． C． D．
填空題
1.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
2.如圖，E為平行四邊形邊上一點，F，G分別為，的中點，若與的面積之和為6，則四邊形的面積是 ．
3.如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為 .
4.如圖，在中，，對角線與相交于點O，，則的周長為 .
5.如圖，將平行四邊形的一邊延長至點E，若，則的度數是 ．
解答題
1.在四邊形中，，，，，點從出發以的速度向運動，點從點出發，以的速度向點運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t．
若是上一點，且，t取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？
2.如圖，平行四邊形的對角線與交于點，若，，．
(1)猜想的度數，并證明你的猜想；
(2)求平行四邊形的周長．
3.如圖，為平行四邊形的邊上一點．連接，過點作于點，在的延長線上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
4.如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，的平分線交于點F．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
5.如圖，中，把沿翻折得到，相交于點．
(1)求證：；
(2)連接交于點，連接，在不添加輔助線的條件下請直接寫出圖中所有等腰三角形．
6.如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規作圖：作對角線的垂直平分線，分別交，，于點M，O，N（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，，求證：；
(3)若，，求的長．
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