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八年級數學下冊 預習篇
18.1.2 平行四邊形的判定
一、判定方法
1.從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2.從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
3.從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
二、中位線
1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線與中線的區別：中位線是中點與中點的連線，中線是頂點與對邊中點的連線。
2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
3.三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系。
選擇題
1.如圖，點是內的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數為（ ）
A．4個 B．5個 C．8個 D．9個
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，根據兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵過點作直線、分別平行于、，
∴，
∴四邊形均為平行四邊形，
∴加上共9個；
故選D．
2.不能判定一個四邊形是平行四邊形的條件是（ ）
A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等
C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法逐項判斷即可．
【詳解】解：一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判定一個四邊形是平行四邊形，故A選項正確；
一組對邊平行且相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故B選項錯誤；
兩條對角線互相平分，能判定一個四邊形是平行四邊形，故C選項錯誤；
兩組對邊分別相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故D選項錯誤；
故選A．
3.如圖，點是邊延長線上一點，連接、、，與交于點．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，理解并掌握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．首先根據平行四邊形的性質可得，，，，若，由“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項A；若，易得，即可證明，由“兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”即可判斷選項B；若，證明，由全等三角形的性質可得，由“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項D；由不能證明四邊形為平行四邊形，即可判斷選項C．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
即，
若，則有，
∴四邊形為平行四邊形，故選項A不符合題意；
∵，
∴，
若，則有，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，故選項B不符合題意；
∵，
∴，
若，則在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四邊形為平行四邊形，故選項D不符合題意；
由不能證明四邊形為平行四邊形，選項C符合題意．
故選：C．
4.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的周長的計算，正確的找出規律是解題的關鍵．根據三角形的中位線定理得到的周長的周長，各的周長，于是得到結論．
【詳解】解：以的各邊的中點為頂點作，
的周長的周長的周長，
以各邊的中點為頂點作，
的周長各的周長的周長，
，
的周長
故選：A．
5.如圖，在中，，是的中點，過點作的平行線交于點，作的垂線交于點，若，且的面積為，則的長為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的性質．熟練掌握三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的性質是解題的關鍵．
由題意知，是的中位線，則，設，則，由勾股定理得，，如圖，過作，交的延長線于，證明，則，由，，可得，即，計算求出滿足要求的，進而可求．
【詳解】解：∵是的中點，，
∴是的中位線，
∴，
設，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如圖，過作，交的延長線于，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴，
故選：A．
6.如圖，在中，過點D作交于點E，過點E作交點F，與交于點N．若，，則長為（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，證明四邊形是平行四邊形，得到，然后由，求得，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵
∴
∴
故選：A．
7.）如圖，四邊形中，對角線與相交于點O，不能判斷四邊形是平行四邊形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，熟知平行四邊形的判定條件是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，一邊平行，另一邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，也有可能是等腰梯形，故此條件不能判斷四邊形是平行四邊形，符合題意；
B、，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
C、，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
D、，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
故選：A．
8.如圖，D，E，F分別是的邊上的中點，連接交于點G，，的面積為6，設的面積為，的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此題考查三角形的面積，涉及中線平分三角形的面積，得，，結合，得，即可作答．關鍵是根據三角形的面積得出的面積的面積，的面積的面積．
【詳解】解：∵D，E，F分別是的邊上的中點，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∴的面積相等，
∴，
故選：B
填空題
1.如圖，O是等邊三角形內任意一點，過點O作分別交于點G，H，I，已知等邊三角形的周長18，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了平行的性質、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的判定與性質．在解題的時候要注意找準對應平行線所形成的角．由平行推理得是等邊三角形，由等邊三角形三邊相等的性質和平行四邊形的性質求出的值．
【詳解】解：∵
∴
則四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∵是等邊三角形
∴三角形是等邊三角形，
則，
∴，
∴，
∵的周長為，
∴．
故答案為：6．
2.在四邊形中,,為兩條對角線,若,,則在下列結論中,不正確的是 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質,平行四邊形的性質及判定．通過證明,根據得到,根據已知條件即可判定三角形全等,繼而根據全等三角形性質得出結論．
【詳解】解:∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,故正確；
∴,故正確；
∴,故錯誤；
∴四邊形是平行四邊形,,故正確．
故答案為:．
3.如圖所示，四邊形是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形是平行四邊形的有 個．
①圖甲，；　　　
②圖乙，平分，平分；
③圖丙，是的中點，是的中點；
④圖丁，是上一點，．
【答案】3
【分析】本題考查了平行四邊形的判定及全等三角形的判定與性質，①由可得，利用可得，即可得證；②由四邊形是平行四邊形，平分，平分可證，則可得到，即可得證；③由四邊形是平行四邊形，是的中點，是的中點，可得，即可得證；④無法確定，只能證得，故不能證明四邊形是平行四邊形，注意掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解此題的關鍵．
【詳解】①∵四邊形是平行四邊形，
，
，
，，，
，
∴四邊形是平行四邊形；
②∵四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴四邊形是平行四邊形；
③∵四邊形是平行四邊形，
，
是的中點，是的中點，
，，
，
∴四邊形是平行四邊形；
④∵四邊形是平行四邊形，
，
是上一點，，無法判斷，
∴四邊形不一定是平行四邊形；
綜上所述，能得到四邊形是平行四邊形的個數是3，
答案：3．
4.如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，E為邊中點，點F在的延長線上，，于G，，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據三線合一可得是等腰的中線，進而可得，即有，結合勾股定理可得，再證明是的中位線，問題得解．
【詳解】∵E為邊中點，
∴，
∵，，
∴是等腰的中線，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平行四邊形的對角線與相交于點O，
∴點O是的中點，
∵E為邊中點，
∴是的中位線，
∴，
故答案為：．
5.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查三角形的中位線性質，熟練掌握三角形的中位線性質是解答的關鍵．利用三角形的中位線得到，進而求得即可求解．
【詳解】解：∵在中，點D、E分別是、的中點，，
∴，即，
∵以A為圓心，為半徑作圓弧交于點F，，
∴，
∴，
故答案為：3．
解答題
1.如圖，中，點D、E分別為、的中點．
(1)過點C作，并交延長線于點F（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）；
(2)求證：；
(3)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用尺規作一個角等于已知角的方法作，根據平行線的判定可得；
（2）求出，，利用可直接證明；
（3）根據是的中位線求出，再利用全等三角形的性質得出答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：點F，即為所求；
（2）證明：由作圖知，，
∵點E為的中點，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵點D、E分別為、的中點，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴．
2.圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，某一時刻的示意圖，其中AB為門檻寬度．

(1)當時，雙門間隙與門檻寬度的比值為 ___________．
(2)若雙門間隙的距離為2寸，點和點距離都為1尺（1尺10寸），則門檻寬度是 ___________寸．
【答案】(1)
(2)101
【分析】（1）過作交于點，得到是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，從而推出，即可得到答案；
（2）作于，于，得到，得到，設寸，則寸，由勾股定理列出關于的方程，即可解決問題．
【詳解】（1）解：過作交于點，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴雙門間隙與門檻寬度的比值為．
故答案為：；
（2）作于，于，

∵點和點距離都為1尺，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
設寸，則寸，
∵寸，
∴（寸），
∵，，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
∴（寸），
∴門檻寬度是101寸．
故答案為：101．
3.如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理等等：
（1）由平行線的性質得到，進而得到，再證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）先利用勾股定理求出，進而得到，求出即可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴（同高三角形），
∵，
∴．
4.在平行四邊形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，則______；
(2)如圖，求對角線的長（用含，的式子表示）；
(3)如圖，四邊形也是平行四邊形，連結并延長交于點，若AG⊥BE，，，，求的長．
【答案】(1)
(2)對角線的長為
(3)的長為
【分析】（1）延長，過點作的延長線于點，根據勾股定理和直角三角形的性質得出及的長，根據勾股定理即可得出結論；
（2）延長，過點作的延長線于點，根據得出，再由得出，，故，根據勾股定理即可得出結論；
（3）過點作，交的延長線于點，連接、，先根據平行四邊形的性質得出，，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四邊形的性質求出且，然后用勾股定理求即可．
【詳解】（1）解：如圖1，延長，過點作的延長線于點，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案為：；
（2）解：如圖1，延長，過點作的延長線于點，
，
．
，
，．
，
，
；
（3）解：過點作，交的延長線于點，連接、，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
5.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
【答案】(1)見詳解
(2)，
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，正確證明是關鍵．
（1）取的中點記為，取的中點記為．根據三角形中位線的性質可得，根據余角的性質可得，根據可證，根據全等三角形的性質即可證明；
（2）根據全等三角形的性質可得，從而得到y關于x的函數關系式，以及x的定義域；
（3）連接，根據三角形中位線的性質可得x為1時，．
【詳解】（1）解：取的中點記為H，取的中點記為N．連接
∵，點D是邊的中點，
∴都是三角形中位線
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是邊上的一個動點（不與A、B重合），
∴；
（3）解：連接，當E與H重合時，，
∵此時，
∴當時，．
6.如圖，在平行四邊形 中，分別平分和，交于點E，交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接分別交于點G、H，連接與交于點M，與交于點N，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）．
【答案】(1)見解析
(2)平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形．
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義等等，熟知平行四邊形的性質與判定定理是解題的關鍵．
（1）由平行四邊形的性質得到，再由角平分線的定義證明，進而證明，即可證明；
（2）先找出平行四邊形，①平行四邊形，②平行四邊形 ，③平行四邊形，④平行四邊形，再分別證明即可；
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵分別平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）為平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形．
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八年級數學下冊 預習篇
18.1.2 平行四邊形的判定
一、判定方法
1.從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2.從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
3.從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
二、中位線
1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線與中線的區別：中位線是中點與中點的連線，中線是頂點與對邊中點的連線。
2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
3.三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系。
選擇題
1.如圖，點是內的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數為（ ）
A．4個 B．5個 C．8個 D．9個
2.不能判定一個四邊形是平行四邊形的條件是（ ）
A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等
C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等
3.如圖，點是邊延長線上一點，連接、、，與交于點．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）

A． B． C． D．
4.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
5.如圖，在中，，是的中點，過點作的平行線交于點，作的垂線交于點，若，且的面積為，則的長為（ ）.
A． B． C． D．
6.如圖，在中，過點D作交于點E，過點E作交點F，與交于點N．若，，則長為（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
7.）如圖，四邊形中，對角線與相交于點O，不能判斷四邊形是平行四邊形的是( )
A． B．
C． D．
8.如圖，D，E，F分別是的邊上的中點，連接交于點G，，的面積為6，設的面積為，的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空題
1.如圖，O是等邊三角形內任意一點，過點O作分別交于點G，H，I，已知等邊三角形的周長18，則 ．
2.在四邊形中,,為兩條對角線,若,,則在下列結論中,不正確的是 ．
3.如圖所示，四邊形是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形是平行四邊形的有 個．
①圖甲，；　　　
②圖乙，平分，平分；
③圖丙，是的中點，是的中點；
④圖丁，是上一點，．
4.如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，E為邊中點，點F在的延長線上，，于G，，則的長為 ．

5.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
解答題
1.如圖，中，點D、E分別為、的中點．
(1)過點C作，并交延長線于點F（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）；
(2)求證：；
(3)若，求的長．
2.圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，某一時刻的示意圖，其中AB為門檻寬度．

(1)當時，雙門間隙與門檻寬度的比值為 ___________．
(2)若雙門間隙的距離為2寸，點和點距離都為1尺（1尺10寸），則門檻寬度是 ___________寸．
3.如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，，求的面積．
4.在平行四邊形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，則______；
(2)如圖，求對角線的長（用含，的式子表示）；
(3)如圖，四邊形也是平行四邊形，連結并延長交于點，若AG⊥BE，，，，求的長．
5.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
6.如圖，在平行四邊形 中，分別平分和，交于點E，交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接分別交于點G、H，連接與交于點M，與交于點N，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）．
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