資源簡介

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八年級數學下冊 預習篇
18.2.1 矩形
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形.
矩形的定義有兩個要素：四邊形是平行四邊形；有一個角是直角。兩者缺一不可.
2.性質
性質 符號語言
角 矩形的四個 角都是直角 ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
對角線 矩形的對角 線相等 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性質的推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
3.判定定理
判定定理 符號語言
角 有一個角是直角的平 行四邊形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三個角是直角的四 邊形是矩形 在四邊形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四邊形 ABCD是矩形
對角線 對角線相等的平行四 邊形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
選擇題
1.在數學活動課上，同學們在判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案，其中正確的是（ ）
A．測量兩組對邊是否分別相等 B．測量其中三個內角是否都為直角
C．測量對角線是否相等 D．測量對角線是否互相平分
【答案】B
【分析】本題考查的是矩形的判定定理，牢記矩形的判定方法是解答本題的關鍵，難度較小．根據矩形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：A、測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形；不符合題意；
B、測量其中三個內角是否為直角，能判定矩形；符合題意；
C、測量對角線是否相等，不能判定形狀；不符合題意；
D、測量對角線是否相互平分，能判定平行四邊形；不符合題意；
故選：B．
2.如圖，在中，，是邊上的中線，且，則（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形的特征：斜邊的中線等于斜邊的一半，熟記相關結論即可求解．
【詳解】解：∵，是邊上的中線，
∴
故選：B
3.如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，
根據勾股定理，列出方程即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
由折疊性質可得：，
∴，
設，則，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
故選：．
4.如圖，在中，點，分別是，的中點，點M，在對角線上，，則下列說法正確的是（　　）

A．若，則四邊形是矩形
B．若，則四邊形是矩形
C．若，則四邊形是矩形
D．若，則四邊形是矩形
【答案】D
【分析】取中點O，連接、，先證明四邊形是平行四邊形，再根據矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
本題考查了平行四邊形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】如圖，取中點O，連接、，

∵中，點E，F分別是，的中點，
，，，，，，
，，
∴E，O，F三點共線，
又，，
，即，
四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
A選項，不能推出四邊形有內角，故不能證明四邊形是矩形；
B、C、D選項，只有D選項能由、，得到，根據對角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形是矩形．
故選：D
5.如圖，將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，已知，則的長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理等知識點，根據矩形的性質得到，根據勾股定理得到，根據折疊的性質得到，根據勾股定理即可得到結論，解題關鍵是熟練掌握矩形的性質及勾股定理．
【詳解】∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵將長方形沿著折疊，點D落在邊上的點F處，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故選：C．
6.如圖，在中，于點E，點在邊的延長線上，則添加下列條件不能證明四邊形是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．
由平行四邊形的性質得，，再證，得四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，，
四邊形是矩形，故A不符合題意；
，
，
∵，，
四邊形是矩形，故B不符合題意；
，
，
即，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
，
平行四邊形是矩形，故C不符合題意；
，
，故四邊形不能判定是矩形，故D符合題意；
故選：D．
7.如圖，矩形如圖放置在平面直角坐標系中，其中，若將其沿著對折后，為點A的對應點，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質，等腰三角形的判定．根據平行線的性質得到，由折疊的性質得到，求得，設，則，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】解：∵長方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
由折疊的性質得，，，
∴，
∴，
設，則，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴．
故選：B．
8.如圖，是內部一點，，且，，依次取，，，的中點，并順次連接得到四邊形，則四邊形的面積是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
【答案】A
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，矩形的性質與判定，先根據三角形中位線定理可得，，，從而可得，再根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據平行線的性質可得，根據矩形的判定可得平行四邊形是矩形，最后利用矩形的面積公式求解即可得．
【詳解】解：點分別是，的中點，且，
，
同理可得：，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又，
，
平行四邊形是矩形，
∴四邊形的面積是，
故選：A．
填空題
1.如圖，以長方形的相鄰邊建立直角坐標系，，，點E是邊上一點，將沿著翻折，點D恰好落在BC邊上，記為點F．若線段沿y軸正半軸向上平移，得到線段，連結OF'．若△OA'F'是等腰三角形，則的坐標是 ．
【答案】或或
【分析】根據矩形及折疊的性質得，，進而可求出的值，分類討論：若，若，若，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
，，
由折疊對稱性：，，
在中，，
如圖，由平移可知：，，
∴四邊形是平行四邊形，
，，
，
如圖，過點作于H，
，
∴四邊形是矩形，
，
∴F′的橫坐標為4，
分三種情況討論：
若，
，
，
的坐標是；
若，
，，
，
的坐標是；
若，
在中，，
設，
，
，
，
解得：，
的坐標是；
綜上所述，若是等腰三角形，的坐標是或或，
故答案為：或或．
2.如圖，在中，，，點是外的一個點，連接，，且，，四邊形的面積是，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，過點作，交的延長線于點，證出，設，得出，，由四邊形的面積求出，則可得出答案．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作，交的延長線于點，
，
，
，
，
設，
，，
，
過點作于點，
，，
，
，
四邊形的面積是，
，
解得，（舍去），
，
．
故答案為：．
3.如圖，在中，，是的中線，E是的中點，連接，，若，垂足為E，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線定理，勾股定理， 根據中線定理解題即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點D是的中點，，
∴，
∵E是的中點
∴
∴
∴，
故答案為：．
4.如圖，矩形中，，，為邊上的動點，連接，于，為的中點，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了矩形的性質，三角形全等的判定與性質，等邊三角形的性質等知識，取的中點，的中點，連接，，，，通過證明 ，得 ，在 中，利用三邊關系即可求解，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.
【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，，，，
則，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
連接，由勾股定理得：，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
5.如圖，矩形中，，.F是上一點，將沿所在的直線折疊，點A恰好落在邊上的點E處，連接交于點G，取的中點H，連接，則 .
【答案】
【分析】本題考查圖形的折疊，熟練掌握翻折的性質，矩形的性質，三角形中位線的性質是解題的關鍵．由折疊可知，垂直平分，連接，可得是的中位線，求出即可求．
【詳解】解：由折疊可知，垂直平分，連接，
是的中點，
是的中點，
，
，，
，
，
故答案為：．
解答題
1.取一張矩形紙片，E為邊上一動點，將沿直線折疊得．
(1)如圖1，連接，，，當時，試判斷的形狀；
(2)如圖2，連接，當，的最大值與最小值的和為20時，求線段的值；
(3)如圖3，當點落在邊上，分別延長，交于點，將繞點逆時針旋轉得，分別連接，，取中點連接CH，試探究線段與CH的數量關系．
【答案】(1)是等邊三角形
(2)
(3)
【分析】（1）結論：是等邊三角形．證明，推出，可得結論；
（2）由題意，的最大值為線段的長，設，則最小值為，當B，F，D共線時，的值最小，推出，利用勾股定理構建方程，可得結論；
（3）結論：．如圖3中，延長到M，使得，連接，，．證明是等腰直角三角形，可得結論．
【詳解】（1）解：結論：是等邊三角形．
理由：如圖1中，

由翻折變換的性質可知，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）如圖2中，連接，

由題意，的最大值為線段的長，設，則最小值為，當B，F，D共線時，的值最小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）結論：．
理由：如圖3中，延長到M，使得，連接，，．

∵，，，
∴，
∴，，
由翻折的性質可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
2.如圖，在中，為斜邊的中線，在邊及的延長線上依次取點E，F，連接，且．求證：．

【答案】見解析
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質．根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得，從而得到，進而得到，即可求證．
【詳解】證明：在中，為斜邊的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.如圖，在和中，，連接與交于點，，分別是、的中點．求證：垂直平分．
【答案】見解析
【分析】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質；連接，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而根據等腰直角三角形的性質，即可求解．
【詳解】證明：連接，
∵，是的中點，
∴，
∵是的中點，
∴，即垂直平分．
4.如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理等知識點；根據矩形的性質和折疊的性質，得到，再根據勾股定理，求出的長度，進而求出的長度，設，則，根據勾股定理建立方程即可得出答案．
【詳解】解：根據題意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
設，則，
在中，，
，
，解得
．
．
5.如圖，中，是邊上的高，、分別是、的中點，且．
(1)判斷并說明與的位置關系；
(2)若，，求．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)．
【分析】（）連接，由是邊上的高，則，再根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得出，最后由等腰三角形的“三線合一”性質即可；
（）由等腰三角形的性質和勾股定理即可求解；
此題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半和勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．
【詳解】（1）解：，理由如下：
連接，
∵是邊上的高，
∴，
∵是的中點，
∴，
∵，
∴，
∵是的中點，
∴；
（2）由（）得：，，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
6.如圖，在長方形中，的平分線交邊于點，于點，連接并延長交邊于點，連接交于點，若．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）分別證明、都是等腰直角三角形，進而推出，，再由即可證明結論；
（2）利用三角形內角和定理，等腰三角形的性質，平角的定義求出，的度數，即可利用三角形外角的性質求出的度數；
（3）先證明，得到，由（2）得，得到，推出，得到，再求出，由勾股定理得，據此求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是長方形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，，
∴、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
又∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的度數；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是長方形，，
∴，，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∴的值為．
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八年級數學下冊 預習篇
18.2.1 矩形
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形.
矩形的定義有兩個要素：四邊形是平行四邊形；有一個角是直角。兩者缺一不可.
2.性質
性質 符號語言
角 矩形的四個 角都是直角 ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
對角線 矩形的對角 線相等 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性質的推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
3.判定定理
判定定理 符號語言
角 有一個角是直角的平 行四邊形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三個角是直角的四 邊形是矩形 在四邊形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四邊形 ABCD是矩形
對角線 對角線相等的平行四 邊形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
選擇題
1.在數學活動課上，同學們在判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案，其中正確的是（ ）
A．測量兩組對邊是否分別相等 B．測量其中三個內角是否都為直角
C．測量對角線是否相等 D．測量對角線是否互相平分
2.如圖，在中，，是邊上的中線，且，則（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3.如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（　　）

A． B． C． D．
4.如圖，在中，點，分別是，的中點，點M，在對角線上，，則下列說法正確的是（　　）

A．若，則四邊形是矩形
B．若，則四邊形是矩形
C．若，則四邊形是矩形
D．若，則四邊形是矩形
5.如圖，將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，已知，則的長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6.如圖，在中，于點E，點在邊的延長線上，則添加下列條件不能證明四邊形是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
7.如圖，矩形如圖放置在平面直角坐標系中，其中，若將其沿著對折后，為點A的對應點，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
8.如圖，是內部一點，，且，，依次取，，，的中點，并順次連接得到四邊形，則四邊形的面積是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
填空題
1.如圖，以長方形的相鄰邊建立直角坐標系，，，點E是邊上一點，將沿著翻折，點D恰好落在BC邊上，記為點F．若線段沿y軸正半軸向上平移，得到線段，連結OF'．若△OA'F'是等腰三角形，則的坐標是 ．
2.如圖，在中，，，點是外的一個點，連接，，且，，四邊形的面積是，則的長為 ．
3.如圖，在中，，是的中線，E是的中點，連接，，若，垂足為E，則的長為 ．
4.如圖，矩形中，，，為邊上的動點，連接，于，為的中點，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為 ．
5.如圖，矩形中，，.F是上一點，將沿所在的直線折疊，點A恰好落在邊上的點E處，連接交于點G，取的中點H，連接，則 .
解答題
1.取一張矩形紙片，E為邊上一動點，將沿直線折疊得．
(1)如圖1，連接，，，當時，試判斷的形狀；
(2)如圖2，連接，當，的最大值與最小值的和為20時，求線段的值；
(3)如圖3，當點落在邊上，分別延長，交于點，將繞點逆時針旋轉得，分別連接，，取中點連接CH，試探究線段與CH的數量關系．
2.如圖，在中，為斜邊的中線，在邊及的延長線上依次取點E，F，連接，且．求證：．

3.如圖，在和中，，連接與交于點，，分別是、的中點．求證：垂直平分．
4.如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．
5.如圖，中，是邊上的高，、分別是、的中點，且．
(1)判斷并說明與的位置關系；
(2)若，，求．
6.如圖，在長方形中，的平分線交邊于點，于點，連接并延長交邊于點，連接交于點，若．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)如果，求的值．
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