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八年級數學下冊 預習篇
18.2.2 菱形
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.性質
（1）菱形的四條邊都相等.
（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
（3）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
（4）四條邊相等的四邊形是菱形.
(4)菱形的面積：菱形被它的兩條對角線分成四個全等的直角三角形，它們的底和高都分別是兩條對角線的一半.利用三角形的面積公式可推得，菱形的面積等于它的對角線之積的一半.
選擇題
1.菱形的面積為，一條對角線長是，那么菱形的另一條對角線長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的面積公式；
設菱形的另一條對角線長為，根據菱形的面積公式列方程求解即可．
【詳解】解：設菱形的另一條對角線長為，
由題意得：，
解得：，
即菱形的另一條對角線長為，
故選：D．
2.已知菱形的邊長為，它的一條對角線長為，則該菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查菱形的性質，勾股定理；根據已知可求得菱形的邊長，根據勾股定理可求得其另一條對角線的長，再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半求得其面積．
【詳解】解：如圖所示，
，，
，
，
從而得到菱形的面積．
故選：B．
3.菱形具有而矩形不一定具有的性質是（ ）
A．對邊平行且相等 B．每一條對角線所在的直線都是它的對稱軸
C．內角和等于外角和 D．對角線互相平分
【答案】B
【分析】本題考查菱形與矩形的性質，菱形的性質有：四邊形相等，兩組對邊分別平行，對角相等，鄰角互補，對角線互相垂直且平分，且每一組對角線平分一組對角；矩形的性質有：兩組對邊分別相等，兩組對邊分別平行，四個內角都是直角，對角線相等且平分；由此逐項判斷即可得出答案，熟練掌握并區分矩形和菱形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：A、對邊平行且相等，菱形和矩形都具有的性質，故此選項不符合題意；
B、每一條對角線所在的直線都是它的對稱軸，菱形具有而矩形不一定具有的性質，故此選項符合題意；
C、內角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性質，故此選項不符合題意；
D、對角線互相平分，菱形和矩形都具有的性質，故此選項不符合題意；
故選：B．
4.如圖，在菱形中，，，，分別是，的中點，，相交于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據菱形的性質和，可知是等邊三角形，是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得，，即可判斷①；根據可證，根據全等三角形的性質可得，再根據含角的直角三角形的性質可判斷②；根據為直角三角形，可知，進一步可知，即可判斷③；根據勾股定理可得，再根據三角形面積的求法即可判斷④．從而得出答案．
【詳解】解：在菱形中，，
，
，
是等邊三角形，是等邊三角形，
，，
，分別是，的中點，
，
，
，，
，
故①正確；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故②正確；
為直角三角形，
，
，
與不全等，
故③錯誤；
∵菱形，，
∴
，，，
根據勾股定理，得，
，
故④正確，
故正確的有①②④，共3個，
故選：C．
5.如圖，已知，，將沿邊翻折，得到的與原拼成的四邊形是菱形、其依據正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是菱形
【答案】A
【分析】本題主要考查了菱形的判定，折疊的性質，根據折疊的性質和已知條件可證明，再由四邊形線段的四邊形是菱形可得答案．
【詳解】解：由折疊的性質可得，
又∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
故選A．
6.如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先連接，根據線段垂直平分線的性質得，再根據菱形的性質得到，再證明，進而得出，，可知，然后根據等腰三角形的性質得，進而得出答案．
【詳解】連接．
∵是的垂直平分線，
∴．
∵四邊形是菱形，
∴．，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
7.如圖，平行四邊形中，對角線，相交于點O，，E，F，G是，，的中點．下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個數有（　?。﹤€．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】設和的交點為點P，根據三角形中位線定理可得，且，然后根據平行四邊形的性質可得，可證得，故②正確；再證明，可得垂直平分，從而得到，故①正確；再根據等腰三角形的性質，可得平分，故④正確；可證得四邊形為平行四邊形，而無法得到四邊形為菱形，故③錯誤；即可求解．
【詳解】解：設和的交點為點P，如圖，
∵E、F分別是，的中點，
∴，且，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，且，
∴，
∴，
∵點G為的中點，
∴，
在和中，
，
∴，故②正確；
∴，
∴，
∵，，
∴，點O為平行四邊形對角線交點，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵E為中點，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，故①正確；
∴平分，故④正確；
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
而無法得到四邊形為菱形，故③錯誤；
故選：C．
8.如圖，在給定的平行四邊形上，作一個菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以、為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點，連接，則四邊形為菱形；乙：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，作的垂直平分線交于，則四邊形為菱形；根據兩人的做法可判斷（ ）
A．甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤
【答案】C
【分析】由甲作圖可得，，證明四邊形是平行四邊形，根據，證明四邊形是菱形，可判斷甲的正誤；由乙作圖可得，，，在的垂直平分線上，，則，四邊形為菱形，進而可判斷乙的正誤．
【詳解】解：由甲作圖可得，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，甲正確，故符合要求；
由乙作圖可得，，，在的垂直平分線上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形，乙正確，故符合要求；
故選：C．
填空題
1.如圖，四邊形是菱形，是兩條對角線的交點，過點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，若菱形的兩條對角線分別為3和6，則陰影部分的面積為 ．
【答案】4.5//
【分析】本題考查了中心對稱，菱形的性質，根據中心對稱的性質判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半，即可得出結果．
【詳解】解：標注字母如圖所示：
∵O是菱形兩條對角線的交點，菱形是中心對稱圖形，
∴，四邊形四邊形，四邊形四邊形，
∴陰影部分的面積．
故答案為：．
2.在的兩邊上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；連接、、、．若，四邊形的面積為，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查菱形的判定和性質，根據作圖得到四邊形為菱形，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半，進行求解即可．
【詳解】解：由作圖可知：，
∴四邊形為菱形，
∴四邊形的面積為，
∴；
故答案為：．
3.如圖，菱形的對角線，相交于點，為中點，，則菱形的周長為 ．
【答案】
【分析】此題考查了菱形的性質和中位線定理，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質和中位線定理的應用．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴，，
∵為中點，
∴，
∴，
∴菱形的周長為，
故答案為：．
4.邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是 ．
【答案】/24平方厘米
【分析】此題主要考查了菱形的性質．根據菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可．
【詳解】解：如圖所示：
設菱形中，對角線，
∵四邊形是菱形，對角線，
∴，
，
，
∴菱形的面積為∶．
故答案為：．
5.如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查菱形的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質，關鍵是熟練掌握直角三角形斜邊中線性質．先根據菱形的性質得到，，進而求得，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后根據等邊對等角求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案為：．
解答題
1.如圖，在菱形中，點分別在邊上，．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查菱形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握菱形的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，然后可證，進而問題可求證
【詳解】證明：四邊形是菱形，
，
在和中，
，
，
．
2.如圖：在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長至點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】本題考查菱形的性質，矩形的判定，勾股定理：
（1）先證，結合菱形的性質證明四邊形是平行四邊形，再結合可證四邊形是矩形；
（2）由菱形的性質得，推出，再用勾股定理解即可．
【詳解】（1）解：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
3.如圖，在四邊形中，，，對角線、相交于點，若四邊形是菱形，求證：四邊形是矩形．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了矩形的判定，菱形的性質，平行四邊形的性質與判定，先證明四邊形是平行四邊形，得到，再由菱形的性質得到，則，進而得到，再由對角線相等的平行四邊形是矩形即可證明結論．
【詳解】證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是矩形．
4.【作圖與探究】如圖，在矩形中，．
(1)用尺規作圖法作菱形，使點分別在和邊上；
(2)求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交于，交于，連接，，四邊形即為所作．
（2）利用勾股定理，求出，，再利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，連接兩弧交點，即為線段的垂直平分線，與線段分別交于點，連接，，菱形即為所求作．
（2）設交于點．
四邊形是矩形，
，
，
，
設，則，
解得，
，
，
．
∴的長為．
5.已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線的性質，等腰三角形的判定，熟練的利用菱形的判定方法進行證明是解本題的關鍵．
先證明四邊形為平行四邊形，再證明可得從而可得結論．
【詳解】證明：∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵是的一條角平分線，
∴
∴
∴四邊形為菱形．
6.如圖，四邊形中，，，，連接，的角平分線分別交，于點，．
(1)連接，求證：四邊形為菱形；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)的長為．
【分析】（1）由等腰三角形的性質得，再證，得，則四邊形是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論；
（2）由勾股定理得，則，再由菱形的性質得，設，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，則，進而由勾股定理求出的長，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：如圖，
，平分，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形為菱形；
（2）解：，
，
，
，平分，
，
由（1）可知，，四邊形為菱形，
，
設，則，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即的長為．
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八年級數學下冊 預習篇
18.2.2 菱形
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.性質
（1）菱形的四條邊都相等.
（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
（3）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
（4）四條邊相等的四邊形是菱形.
(4)菱形的面積：菱形被它的兩條對角線分成四個全等的直角三角形，它們的底和高都分別是兩條對角線的一半.利用三角形的面積公式可推得，菱形的面積等于它的對角線之積的一半.
選擇題
1.菱形的面積為，一條對角線長是，那么菱形的另一條對角線長為（ ）
A． B． C． D．
2.已知菱形的邊長為，它的一條對角線長為，則該菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
3.菱形具有而矩形不一定具有的性質是（ ）
A．對邊平行且相等 B．每一條對角線所在的直線都是它的對稱軸
C．內角和等于外角和 D．對角線互相平分
4.如圖，在菱形中，，，，分別是，的中點，，相交于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5.如圖，已知，，將沿邊翻折，得到的與原拼成的四邊形是菱形、其依據正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是菱形
6.如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
7.如圖，平行四邊形中，對角線，相交于點O，，E，F，G是，，的中點．下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個數有（　?。﹤€．
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如圖，在給定的平行四邊形上，作一個菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以、為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點，連接，則四邊形為菱形；乙：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，作的垂直平分線交于，則四邊形為菱形；根據兩人的做法可判斷（ ）
A．甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤
填空題
1.如圖，四邊形是菱形，是兩條對角線的交點，過點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，若菱形的兩條對角線分別為3和6，則陰影部分的面積為 ．
2.在的兩邊上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；連接、、、．若，四邊形的面積為，則的長為 ．
3.如圖，菱形的對角線，相交于點，為中點，，則菱形的周長為 ．
4.邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是 ．
5.如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則 ．
解答題
1.如圖，在菱形中，點分別在邊上，．求證：．
2.如圖：在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長至點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的長．
3.如圖，在四邊形中，，，對角線、相交于點，若四邊形是菱形，求證：四邊形是矩形．
4.【作圖與探究】如圖，在矩形中，．
(1)用尺規作圖法作菱形，使點分別在和邊上；
(2)求的長度．
5.已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．
6.如圖，四邊形中，，，，連接，的角平分線分別交，于點，．
(1)連接，求證：四邊形為菱形；
(2)若，，求的長．
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