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八年級數(shù)學下冊 預習篇
18.2.3 正方形
1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性質(zhì)：正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).
(1)邊的性質(zhì)：正方形的4條邊都相等，對邊平行.
(2)角的性質(zhì)：正方形的4個角都是直角
(3)對角線的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分且相等，并且每條對角線平分一組對角.正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形兩條對角線把正方形分成4個全等的等腰直角三角形.正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸。
3.正方形的判定方法的應用
(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形.
(2)有一個角是直角的菱形是正方形.
(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形.
規(guī)律判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
①先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等.
②先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角.
在判定正方形時，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎之上來求證的.要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別.解答此類問題時要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關鍵.
4.矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應從邊、角、對角線3個方面區(qū)分它們的性質(zhì)：
(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有4條邊相等的性質(zhì).
(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角相等且鄰角互補的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有4個角都等于90°的性質(zhì).
(3)從對角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對角線還具有相等的性質(zhì)；菱形和正方形的對角線還具有互相垂直的性質(zhì)。
選擇題
1.如圖，正方形的邊長為8，E為邊上一點，連接，，取中點F，連接，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，根據(jù)題意求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，故可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
在中，，
∵點F是的中點，
∴是斜邊上的中線，
∴，
故選：C．
2.同學們探究四邊形紙板是否為正方形，以下測量方案正確的是（ ）
A．測量四條邊是否相等 B．測量四個內(nèi)角是否相等且一組鄰邊是否相等
C．測量四個內(nèi)角是否是直角 D．測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的判定；
根據(jù)正方形的判定定理逐項分析即可．
【詳解】解：A.測量四條邊是否相等可以得出四邊形紙板是否為菱形，不符合題意；
B.測量四個內(nèi)角是否相等且一組鄰邊是否相等可以得出四邊形紙板是否為正方形，符合題意；
C.測量四個內(nèi)角是否是直角 可以得出四邊形紙板是否為矩形，不符合題意；
D.測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直不能判斷四邊形紙板是否為正方形，還要測量兩條對角線是否互相平分，不符合題意；
故選：B．
3.如圖，正方形中，，將沿對折至，延長交于點，剛好是邊的中點，則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識．根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，很容易證明，進而得到，由是的中點，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：連接，由已知，且，
，
，
，
，是的中點，
，
設，則，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故選：A
4.如圖，正方形的邊長為10，且，，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，延長交于點，證是解題關鍵．
【詳解】解：延長交于點，如圖所示：
∵，，,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
5.若四邊形兩條對角線互相垂直，則順次連接其各邊中點得到的四邊形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的判定，三角形中位線定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
根據(jù)題意畫出圖形，由三角形中位線定理以及矩形的判定定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，四邊形的對角線，點G，F(xiàn)，E，H分別為邊，，，的中點，
在中，
分別為，的中點，
， ，
在中，
分別為，的中點，
， ，
， ，
為平行四邊形，
又∵在中，
分別為，的中點，
，
又，，
，
∴四邊形為矩形．
故選B．
6.菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對邊分別平行且相等 B．對角線相等
C．四條邊相等，四個角相等 D．對角線互相垂直
【答案】A
【分析】本題考查了菱形、矩形、正方形的性質(zhì)．根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，逐項判斷即可．
【詳解】解：A、菱形、矩形、正方形的兩組對邊分別平行且相等，故本選項符合題意．
B、矩形的對角線不一定相等，故本選項不符合題意．
C、矩形的四條邊不一定相等，菱形的四個角不應當相等，故本選項不符合題意．
D、矩形的對角線不一定互相垂直，故本選項不符合題意．
故選：A．
7.如圖，邊長為的正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，則兩個正方形重疊部分的面積是（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
【答案】B
【分析】證明，則，即可得到四邊形的面積等于的面積，即兩個正方形重疊部分的面積等于正方形面積的，即可求出答案．本題考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能推出四邊形的面積等于的面積是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
在與中，，
∴，
∴，
∴四邊形的面積等于的面積，即兩個正方形重疊部分的面積等于正方形面積的，
∴兩個正方形重疊部分的面積是，
故選：B．
8.如圖，在正方形中，，且，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理，延長到點使，連接、，證明得到，，，證明，得到，
設，則，，利用勾股定理得到，求出的值即可，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長到點使，連接、，
，
四邊形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
設，則，，，
，
，
解得：，
，
故選：C．
填空題
1.如圖，在正方形中，點E在邊上（不與點B，C重合），點F在邊的延長線上，，連接交于點G，過點A作于點M，交邊于點N．若，．則 ， ．
【答案】 5
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是正確作輔助線，構建全等三角形解決問題．
連接，，，由正方形的性質(zhì)可得，，，可證得，可得，，從而可得，根據(jù)等腰三角形三線合一可得點M為中點，由可證得，，可得，設，構建方程求解．
【詳解】解：如圖，連接，，，
四邊形為正方形，
，，，
，
，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
設，則，，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得，
，，
，
，
故答案為：5，．
2.如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為 ．
【答案】
【分析】本題考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關鍵．
【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
3.如圖，在平面直角坐標系中，是正方形，點的坐標是，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形、三角形全等的判定與性質(zhì)，作軸于點，軸于點，則，證明，結合點的坐標是，得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線，構造三角形全等是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作軸于點，軸于點，
∵四邊形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：．
4.如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，確定何時有最大值是解題關鍵．
連接，則是的中位線，，當最大時，有最大值求出即可．
【詳解】解：連接，如圖：
，分別是，的中點，
是的中位線，，
當最大時，有最大值，
，分別是邊，上的動點，
當與重合時，最大為的長，
正方形邊長為2，
，
的最大值為，
故答案為：．
5.如圖，長方形中，，，點E是邊上一點，連接，把沿折疊，使點B落在點處．當為直角三角形時，的長為 ．
【答案】或
【分析】解：①如圖，當時， 由勾股定理得，設，由折疊的性質(zhì)可得：，，由勾股定理，即可求解；②如圖，當時，由折疊性質(zhì)可得：，
，從而可證四邊形為正方形，即可求解．
【詳解】解：①如圖，當時，
四邊形是矩形，
，
，
設，
由折疊可得：，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
；
②如圖，當時，
，
由折疊性質(zhì)可得：
，
，
∴四邊形為正方形，
，
故的長為或；
故答案：或．
解答題
1.如圖，已知平行四邊形中，對角線，交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
(1)求證：
(2)若，判斷四邊形是怎樣的特殊平行四邊形？并證明你的猜想.
【答案】(1)見詳解
(2)四邊形是正方形，理由見詳解
【分析】此題主要考查菱形和正方形的判定，要靈活應用判定定理及等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)定理．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)．證明，得垂直平分即可；
（2）根據(jù)有一個角是的菱形是正方形．證明由題意易得即可．
【詳解】（1）證明： 四邊形是平行四邊形，
．
又是等邊三角形，
（三線合一），即垂直平分，
．
（2）解：四邊形是正方形，理由如下：
四邊形是平行四邊形，
．
又是等邊三角形，
平分（三線合一），
，
又
，
（三角形的一個外角等于和它外角不相鄰的兩內(nèi)角之和），
由（1）中，得平行四邊形是菱形，
，
四邊形是正方形．
2.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A、點B關于x軸對稱，，，連接，點P從點B出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位的速度向原點O運動，同時，點Q從點C出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位的速度向原點O運動，當點P到達原點，點Q也停止運動．
(1)連接、，設點P的運動時間為t秒，的面積為，用含t的式子表示S（不要求寫出t的取值范圍）；
(2)點M、點N在過A垂直于y軸的直線上，連接，，，，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，恰好，求此時點N的坐標．
【答案】(1)；
(2)點N的坐標為或．
【分析】（1）由題意得，，，推出，，利用三角形面積公式即可求解；
（2）分點在y軸右側(cè)時，點在y軸左側(cè)時，兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：∵點A、點B關于x軸對稱，，
∴，則，，
由題意得，，則，，
∴的面積為；
（2）解：當點在y軸右側(cè)時，如圖，作于點，連接，
則四邊形是矩形，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴點N與點A重合，
∴此時點N的坐標為；
當點在y軸左側(cè)時，如圖，作于點，交的延長線于點，連接，
則四邊形、是矩形，，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴點N與點G重合，
∴此時點N的坐標為；
綜上，點N的坐標為或．
3.活動課上，老師讓同學們翻折正方形進行探究活動，同學們經(jīng)過動手操作探究，發(fā)展了空間觀念，并積累了數(shù)學活動經(jīng)驗．
【問題背景】如圖1，過點A引射線，交邊于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線上的點G處，折痕交于E，延長交于F．
【問題探究】
(1)如圖2，當點H與點C重合時，與的大小關系是______；是______三角形．
(2)如圖3，當點H為邊上任意一點時（點H與點C不重合），連接，猜想與的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)在（2）條件下，當，時，CF的長為______．
【答案】(1)；等腰直角；
(2)，理由見解析；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)證明，，即可解決問題．
（2）結論：，證明方法類似（1）．
（3）設，則，，利用勾股定理構建方程求出即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
由翻折可知：，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案為：；等腰直角；
（2）結論：．
∵四邊形是正方形，
∴，，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴；
（3）設，則，，
在中，，即，
解得：，即的長為，
∴，
故答案為：．
4.如圖，點在正方形的邊上（不與點重合），連接，將沿翻折，使點落在點處，作射線交于點，交于點，連接．
(1)求證：．
(2)過點作交射線于點．
①求的度數(shù)；
②直接寫出線段與之間的數(shù)量關系．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，然后利用證明；
（2）①根據(jù)軸對稱得到，求出，利用，求出，即可根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出，進而得到，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可；
②過點A作于點P，得到是等腰直角三角形，求出，證明，得到，由，即可得到．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①如圖，∵點D與點F關系對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②過點A作點P，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5.如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．
(1)求證：；
(2)若正方形的邊長是8，，點是的中點，求的長．
【答案】(1)見解答；
(2)
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，結合可得即可得證；
（2）由題意知即可求出，則，根據(jù)勾股定理即可求出，由是中點可得即可解答．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中點，，
．
6.用圖①中的1張邊長為m的正方形M圖紙、1張邊長為n的正方形N圖紙和2張邊長分別為m，n的長方形D圖紙拼成圖②的一張大正方形圖片，觀察圖形
(1)由圖②和圖①可以得到關于面積的等式為 ．
(2)小麗同學用圖①中這三張圖紙拼出一張面積為的大長方形圖片，求需要M，N兩種紙片各多少張；
(3)如圖③，已知點P為線段上的動點，分別以，為邊在的兩側(cè)作正方形和正方形．若，且兩個正方形的面積之和為，利用（1）中得到的結論求圖③中陰影部分面積．
【答案】(1)
(2)需要M，N兩種紙片各6張
(3)3
【分析】（1）根據(jù)圖形整體面積等于各部分面積之和即可解答；
（2）根據(jù)多項式乘多項式即可解答；
（3）設，則，根據(jù)完全平方公式可求得，從而解決本題．本題考查多項式乘多項式，完全平方公式，掌握面積法是解題關鍵．
【詳解】（1）由圖形的面積關系可得：，
故答案為：．
（2）∵，
∴需要M，N兩種紙片各6張．
（3）設，， ，
故，
∵，
∴
解得，
∴．
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八年級數(shù)學下冊 預習篇
18.2.3 正方形
1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性質(zhì)：正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).
(1)邊的性質(zhì)：正方形的4條邊都相等，對邊平行.
(2)角的性質(zhì)：正方形的4個角都是直角
(3)對角線的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分且相等，并且每條對角線平分一組對角.正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形兩條對角線把正方形分成4個全等的等腰直角三角形.正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸。
3.正方形的判定方法的應用
(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形.
(2)有一個角是直角的菱形是正方形.
(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形.
規(guī)律判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
①先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等.
②先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角.
在判定正方形時，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎之上來求證的.要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別.解答此類問題時要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關鍵.
4.矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應從邊、角、對角線3個方面區(qū)分它們的性質(zhì)：
(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有4條邊相等的性質(zhì).
(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角相等且鄰角互補的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有4個角都等于90°的性質(zhì).
(3)從對角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對角線還具有相等的性質(zhì)；菱形和正方形的對角線還具有互相垂直的性質(zhì)。
選擇題
1.如圖，正方形的邊長為8，E為邊上一點，連接，，取中點F，連接，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.同學們探究四邊形紙板是否為正方形，以下測量方案正確的是（ ）
A．測量四條邊是否相等 B．測量四個內(nèi)角是否相等且一組鄰邊是否相等
C．測量四個內(nèi)角是否是直角 D．測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直
3.如圖，正方形中，，將沿對折至，延長交于點，剛好是邊的中點，則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如圖，正方形的邊長為10，且，，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
5.若四邊形兩條對角線互相垂直，則順次連接其各邊中點得到的四邊形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形
6.菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對邊分別平行且相等 B．對角線相等
C．四條邊相等，四個角相等 D．對角線互相垂直
7.如圖，邊長為的正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，則兩個正方形重疊部分的面積是（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
8.如圖，在正方形中，，且，則的長為（ ）

A． B． C． D．
填空題
1.如圖，在正方形中，點E在邊上（不與點B，C重合），點F在邊的延長線上，，連接交于點G，過點A作于點M，交邊于點N．若，．則 ， ．
2.如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為 ．
3.如圖，在平面直角坐標系中，是正方形，點的坐標是，則點的坐標為 ．
4.如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為 ．
5.如圖，長方形中，，，點E是邊上一點，連接，把沿折疊，使點B落在點處．當為直角三角形時，的長為 ．
解答題
1.如圖，已知平行四邊形中，對角線，交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
(1)求證：
(2)若，判斷四邊形是怎樣的特殊平行四邊形？并證明你的猜想.
2.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A、點B關于x軸對稱，，，連接，點P從點B出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位的速度向原點O運動，同時，點Q從點C出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位的速度向原點O運動，當點P到達原點，點Q也停止運動．
(1)連接、，設點P的運動時間為t秒，的面積為，用含t的式子表示S（不要求寫出t的取值范圍）；
(2)點M、點N在過A垂直于y軸的直線上，連接，，，，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，恰好，求此時點N的坐標．
3.活動課上，老師讓同學們翻折正方形進行探究活動，同學們經(jīng)過動手操作探究，發(fā)展了空間觀念，并積累了數(shù)學活動經(jīng)驗．
【問題背景】如圖1，過點A引射線，交邊于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線上的點G處，折痕交于E，延長交于F．
【問題探究】
(1)如圖2，當點H與點C重合時，與的大小關系是______；是______三角形．
(2)如圖3，當點H為邊上任意一點時（點H與點C不重合），連接，猜想與的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)在（2）條件下，當，時，CF的長為______．
4.如圖，點在正方形的邊上（不與點重合），連接，將沿翻折，使點落在點處，作射線交于點，交于點，連接．
(1)求證：．
(2)過點作交射線于點．
①求的度數(shù)；
②直接寫出線段與之間的數(shù)量關系．
5.如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．
(1)求證：；
(2)若正方形的邊長是8，，點是的中點，求的長．
6.用圖①中的1張邊長為m的正方形M圖紙、1張邊長為n的正方形N圖紙和2張邊長分別為m，n的長方形D圖紙拼成圖②的一張大正方形圖片，觀察圖形
(1)由圖②和圖①可以得到關于面積的等式為 ．
(2)小麗同學用圖①中這三張圖紙拼出一張面積為的大長方形圖片，求需要M，N兩種紙片各多少張；
(3)如圖③，已知點P為線段上的動點，分別以，為邊在的兩側(cè)作正方形和正方形．若，且兩個正方形的面積之和為，利用（1）中得到的結論求圖③中陰影部分面積．
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