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第五章 圓
第一節(jié) 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念 ☆ 圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通常考查圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論。
考點(diǎn)2 圓的相關(guān)性質(zhì)及推理 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　圓的有關(guān)概念
1．與圓有關(guān)的概念
1）圓：平面上到 （圓心）的距離等于 （半徑）的所有點(diǎn)組成的圖形。
2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦，過(guò) 的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。
3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做 ，符號(hào)：；小于半圓的弧叫 ，大于半圓的弧叫 。
4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做 。
5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做 。
6）弦心距：圓心到弦的距離，叫 。
7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做 ；等圓：半徑相等的圓叫做 ；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做 。
8）在 中能夠互相重合的弧是 ，度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。
■考點(diǎn)二　圓的相關(guān)性質(zhì)及推理
1）圓的對(duì)稱性
（1）圓既是 圖形，又是 圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；圓心是圓的對(duì)稱中心，將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。
（2）圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱性推出。
2）垂徑定理：垂直于弦的 平分這條 ，并且 弦所對(duì)的兩條弧。
解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形。
3）推論
1）平分弦（不是 ）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
3）如圖，可得①AB過(guò)圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
總結(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；（5）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。
4）弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 相等，所對(duì)的 相等，所對(duì)的弦的 相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的 分別相等。
解題技巧：運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。
5）圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的 。
推論1： 所對(duì)的圓周角 。
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 ，的圓周角所對(duì)的弦是 。
注意：圓的一條弧（弦）只對(duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為 。
6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。
性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形 ；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等。
■易錯(cuò)提示
1.求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。
2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角。
■考點(diǎn)一　圓的有關(guān)概念
◇典例1：（2023·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弧也相等
C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱軸
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東湛江·校聯(lián)考一模）下列命題中，是真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧；弧是半圓．
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．弦是直徑 B．半圓是弧
C．等弧就是長(zhǎng)度相等的兩條弧 D．圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是任意一條直徑
◇典例2：（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北滄州·九年級(jí)校考期中）如圖，由點(diǎn)P引出的為的四條弦，其中最長(zhǎng)的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度記為d（x）．下列描述正確的是（　　）

A． B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
◇典例3：（2023·福建泉州·校考二模）適時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，像素，，那么周圍圓環(huán)面積約為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的 倍．（精確到個(gè)位）
2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為 ．
◇典例4：（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為 ．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，若，，則（　　）

A． B． C． D．
2．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（ ）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
◇典例5：（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（　　）
A．2 B． C．3 D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 ．
■考點(diǎn)二　圓的相關(guān)性質(zhì)及推理
◇典例5：（2023·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，正確的是（　　）
①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①半圓是弧；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓；③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧是等弧；④等弧所對(duì)的圓心角相等；⑤如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等；②平分弦的直徑垂直于這條弦；
③圓的對(duì)稱軸是直徑；④弧分為優(yōu)弧和劣弧；⑤在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的圓周角相等．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4
◇典例6：（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，則的值為（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為 ．

2．（2023.廣東.九年級(jí)期末）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”．用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，為的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，寸，寸，則直徑的長(zhǎng)度是 寸．
◇典例7：（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．
(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長(zhǎng)．

◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，連接．若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A，B，C為上的三個(gè)點(diǎn)，，若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江·校聯(lián)考一模）如圖，是的外接圓，，，則的直徑為 ．
◇典例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某圓形舞臺(tái)，圓心為．，是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段及優(yōu)弧（點(diǎn)是該弧中點(diǎn)）圍成的區(qū)域是表演區(qū)．如圖1，在處安裝一臺(tái)監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為．如圖2，若再加一臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則下列方案可行的是（ ）

甲：在處放置；乙：在處放置；丙：在處放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，平分，交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E在弦上，且，連接．
(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．
◇典例10：（2023年遼寧省營(yíng)口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為對(duì)角線，經(jīng)過(guò)圓心．若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，直徑，弦，連接相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是 ．
◇典例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長(zhǎng)至點(diǎn)，已知，那么 ．

◇典例12：（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為 ．

1．（2023年四川省巴中市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的外接圓，若，則（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（　　）

A． B． C． D．
3．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（ ）

A． B． C． D．
5．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，直徑與弦相交于點(diǎn)P，連接，若，，則（ ）

A． B． C． D．
6．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長(zhǎng)分別為（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
7．（2023年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑 ．

8.（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于
cm．

9．（2023年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是，為了監(jiān)控整個(gè)展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器 臺(tái)．

10．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接，．若，，則 ， ．

11．（2023年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)D，E在以為直徑的上，的平分線交于點(diǎn)B，連接，，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，交于點(diǎn)F．
(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

12．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．(1)求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）
(2)若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．

1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①長(zhǎng)度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對(duì)的弦相等；③等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；④任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；⑤三角形有且只有一個(gè)外接圓．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，半徑，，點(diǎn)在弦上，，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023·湖北孝感·校考一模）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．10°
5．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，，于點(diǎn)．若的長(zhǎng)為，則的直徑為（ ）

A． B．2 C．4 D．
6．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為4，直徑AB與直徑CD垂直，P是上一點(diǎn)，連接PC，PB分別交AB，CD于E，F(xiàn)，若，則BF的長(zhǎng)為（　　）

A． B． C． D．
7．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用一塊直徑為4米的四來(lái)布平鋪在對(duì)角線長(zhǎng)為4米的正方形桌面上，若四周下垂的最大長(zhǎng)度相等，則這個(gè)最大長(zhǎng)度x為 米（用根號(hào)表示）．
8．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑和弦垂直相交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則的半徑長(zhǎng)為 ．

9．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，則AB與CD之間的距離是 cm．
10．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中兩條弦，互相垂直，垂足為，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求的值．
1．（2023·廣東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（ ）
A．π B．π C．π D．2π
2．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，過(guò)C作的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．
3．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁(yè)第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長(zhǎng)．(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
②設(shè)，，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明理由；
③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)計(jì)算的長(zhǎng)．
4．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．
知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．
①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；
逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．

5．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．
下面是小明的部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，．
，．
是等邊三角形．，
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．
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第五章 圓
第一節(jié) 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念 ☆ 圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通常考查圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論。
考點(diǎn)2 圓的相關(guān)性質(zhì)及推理 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　圓的有關(guān)概念
1．與圓有關(guān)的概念
1）圓：平面上到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)組成的圖形。
2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。
3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，符號(hào)：；小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧。
4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。
6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。
7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。
8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。
■考點(diǎn)二　圓的相關(guān)性質(zhì)及推理
1）圓的對(duì)稱性
（1）圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；圓心是圓的對(duì)稱中心，將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。
（2）圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱性推出。
2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形。
3）推論
1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
3）如圖，可得①AB過(guò)圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
總結(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；（5）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。
4）弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。
解題技巧：運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。
5）圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
注意：圓的一條弧（弦）只對(duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°。
6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。
性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等。
■易錯(cuò)提示
1.求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。
2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角。
■考點(diǎn)一　圓的有關(guān)概念
◇典例1：（2023·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弧也相等
C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱軸
【答案】C
【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)．根據(jù)圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解．
【詳解】解：A、直徑是弦，半圓是弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東湛江·校聯(lián)考一模）下列命題中，是真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧；弧是半圓．
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)圓的弦、弧的概念判斷即可．
【詳解】解：直徑是弦，是真命題；弦是直徑，是假命題；
半圓是弧，是真命題；弧是半圓，是假命題；故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，解題的關(guān)鍵是要熟悉圓的有關(guān)概念．
2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．弦是直徑 B．半圓是弧
C．等弧就是長(zhǎng)度相等的兩條弧 D．圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是任意一條直徑
【答案】B
【分析】此題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)圓的弦、弧、直徑等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷即可．熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】直徑是經(jīng)過(guò)圓心的弦，不是所有的弦都是直徑，故A錯(cuò)誤；
圓上任意兩點(diǎn)間的部分是弧，所以半圓是弧，故B正確；
只有在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧才是等弧，故C錯(cuò)誤；
圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線，故D錯(cuò)誤．故選：B．
◇典例2：（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【分析】根據(jù)扇形的定義，即可求解．扇形，是圓的一部分，由兩個(gè)半徑和和一段弧圍成．
【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北滄州·九年級(jí)校考期中）如圖，由點(diǎn)P引出的為的四條弦，其中最長(zhǎng)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦為直徑進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：由圖可知，過(guò)圓心為直徑，∴最長(zhǎng)，故選：C．
2.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度記為d（x）．下列描述正確的是（　　）

A． B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【分析】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可．
【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；

A、，本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，本選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，與可能相等，可能不等，本選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓知識(shí)的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
◇典例3：（2023·福建泉州·校考二模）適時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，像素，，那么周圍圓環(huán)面積約為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)同心圓的圓心為，連接，則大圓的半徑為，小圓的半徑為，

∴設(shè)小圓的半徑為，大圓的半徑，∵像素，，∴，
在中，，即，∴，
∵，∴，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握?qǐng)A環(huán)面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的 倍．（精確到個(gè)位）
【答案】14
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)，利用面積公式求解即可.
【詳解】解：如圖 由題意得AC與EF共線
∵圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1∴EF：AC=3：1∴OE：OA=3：1
設(shè)OE=3x，OA= x在正方形ABCD中 由勾股定理得：AD=x
∴圓的面積為：π×（3x）2=9πx2 正方形的面積為（x）2=2 x2∴9πx2÷2 x2=≈14 故答案為：14
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及圓與正方形的面積公式的求解.
2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出，根據(jù)位似比求出，周長(zhǎng)即可得出；
【詳解】解：正方形ABCD的面積為4，，
，，，所求周長(zhǎng)；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，涉及知識(shí)點(diǎn)：正方形的面積，正方形的對(duì)角線，圓的周長(zhǎng)，解題關(guān)鍵求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
◇典例4：（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為 ．
【答案】100°/100度
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OCA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OAC的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC的度數(shù)．
【詳解】解：∵，∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，若，，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，則，最后根據(jù)等角對(duì)等角得出，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，

∵，∴，∵，∴．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握半徑相等，等腰三角形“等邊對(duì)等角”．
2．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（ ）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．
【詳解】解：依題意，；；；；，加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，
∴共有6個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．
◇典例5：（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)稱性得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)圓模型，在矩形中利用勾股定理求出線段長(zhǎng)即可．
【詳解】解：連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，
∴AB＝AM＝3，∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，解題過(guò)程涉及到對(duì)稱性質(zhì)、圓的性質(zhì)、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確根據(jù)題意得出動(dòng)點(diǎn)軌跡．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系；作，使得，，則，，，由，推出，即（定長(zhǎng)），由點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，由此即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，
，，，，
，，即（定長(zhǎng)），
點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，
，的最大值為，故選：C．
2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 ．
【答案】
【分析】取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)D，連接MD，由勾股定理可得的長(zhǎng)度，由三角形中位線定理可知，可以推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓．
【詳解】取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)D，連接MD，
∵為等腰直角三角形，∴，
，，
由題意可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的半圓，
點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡、點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圓形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、圓的周長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．
■考點(diǎn)二　圓的相關(guān)性質(zhì)及推理
◇典例5：（2023·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，正確的是（　　）
①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷．
【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，本說(shuō)法錯(cuò)誤；
②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，本說(shuō)法正確；
③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，本說(shuō)法錯(cuò)誤；
④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說(shuō)法正確；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①半圓是弧；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓；③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧是等弧；④等弧所對(duì)的圓心角相等；⑤如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查了與圓有關(guān)的概念，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)半圓的定義判斷①；根據(jù)圓的面積公式和等圓的定義判斷②；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷③④⑤．
【詳解】解：①半圓是弧，原說(shuō)法正確，符合題意；
②面積相等的兩個(gè)圓是等圓，原說(shuō)法正確，符合題意；
③所對(duì)的弦長(zhǎng)相等的兩條弧不一定是等弧，例如同一條弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧不是等弧，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；④等弧所對(duì)的圓心角相等，原說(shuō)法正確，符合題意；
⑤在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
∴說(shuō)法正確的有3個(gè)，故選C．
2．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等；②平分弦的直徑垂直于這條弦；
③圓的對(duì)稱軸是直徑；④弧分為優(yōu)弧和劣弧；⑤在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的圓周角相等．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系和垂徑定理一一判斷即可．
【詳解】解：①在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等，故正確；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，故錯(cuò)誤；
③圓的對(duì)稱軸是直徑所在的直線，故錯(cuò)誤；④弧分為優(yōu)弧和劣弧，故正確；
⑤在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦之間關(guān)系和垂徑定理，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角，弧，弦之間的關(guān)系．
◇典例6：（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，則的值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計(jì)算即可．
【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，，

得，∴點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)共線，∵，，∴是等邊三角形，
∴，
∴．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為 ．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，
在中，∴故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023.廣東.九年級(jí)期末）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”．用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，為的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，寸，寸，則直徑的長(zhǎng)度是 寸．
【答案】26
【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由垂直得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．
【詳解】解：連接，，且寸，寸，
設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，，，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，化簡(jiǎn)得：，
即，（寸）．故答案為：26．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．
◇典例7：（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、平分，，，，故本選項(xiàng)正確；
C、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、與的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由可得，再由可得出．
【詳解】解：∵在中，∴，
∵，∴， 故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．
(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見解析(2)7
【分析】（1）根據(jù)，可得，再證明，即可；
（2）過(guò)O作與F，于G，連接，則，根據(jù)垂徑定理可得，證明，可得，從而得到四邊形是正方形，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，即可．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
在與中，，∴，∴；
（2）解：過(guò)O作與F，于G，連接，則，

∴四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得：，
∵，∴，在與中，，
∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，
設(shè)，則，∴，
即，解得：或（舍去），∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，連接．若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理解答即可.
【詳解】解：∵，∴；故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半是解題關(guān)鍵.
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A，B，C為上的三個(gè)點(diǎn)，，若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，結(jié)合，可得，再利用圓周角定理可得答案．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·黑龍江·校聯(lián)考一模）如圖，是的外接圓，，，則的直徑為 ．
【答案】
【分析】連接，，依據(jù)是等腰直角三角形，即可得到，進(jìn)而得出的直徑為．
【詳解】如圖，連接
，，是等腰直角三角形，
又，∴，∴的直徑為，故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理和勾股定理，熟知同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵．
◇典例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．
【詳解】解：，，
，，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某圓形舞臺(tái)，圓心為．，是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段及優(yōu)弧（點(diǎn)是該弧中點(diǎn)）圍成的區(qū)域是表演區(qū)．如圖1，在處安裝一臺(tái)監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為．如圖2，若再加一臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則下列方案可行的是（ ）

甲：在處放置；乙：在處放置；丙：在處放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】A
【分析】結(jié)合圓的基本性質(zhì)和定理逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①若在處放置，如圖1所示，連接；

∵點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，∴在處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到所對(duì)的區(qū)域，即兩臺(tái)監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故甲方案可行；
②若在處放置，如圖2所示，連接、、；
由①知，由圓周角定理，，∴在處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到所對(duì)的區(qū)域，即兩臺(tái)監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故乙方案可行；
③若在處放置，如圖3所示，連接、、、，
要使得其與處監(jiān)控器能夠監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則處監(jiān)控器應(yīng)該監(jiān)控到所對(duì)弓形的內(nèi)部，由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，，
∵監(jiān)控器監(jiān)控的度為，∴無(wú)法滿足監(jiān)控到所對(duì)弓形的內(nèi)部，即丙方案不可行；
綜上分析，甲、乙方案可行，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)運(yùn)用，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和常見定理，并熟練運(yùn)用于實(shí)際問題中是解題關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，平分，交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E在弦上，且，連接．
(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可；
（2）連接，首先證明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后證明出是等邊三角形，進(jìn)而得到．
【詳解】（1）證明：∵平分∴ ∵∴
∵∴即
（2）解：連接，∵為的直徑∴
∵∴∴，
∵在中，∴
∵∴∵∴是等邊三角形∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
◇典例10：（2023年遼寧省營(yíng)口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，
∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為對(duì)角線，經(jīng)過(guò)圓心．若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同弧所對(duì)圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，∴，
∵為圓的直徑，∴，∴；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．
2.（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，直徑，弦，連接相交于點(diǎn)，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查圓周角定理及其推論，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．連接，由題意可得出，即證明為等邊三角形，得出，根據(jù)圓周角定理及其推論可得出，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，且為直徑，∴，，
∴為等邊三角形，∴，∴，
∴．故答案為：．
◇典例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形內(nèi)接于，∴，
∴，∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，∴∴
∵∴，
∵∴,故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長(zhǎng)至點(diǎn)，已知，那么 ．

【答案】
【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解．
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形內(nèi)接于，∴，
∵，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
◇典例12：（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．
【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓
∵四邊形為矩形∴
∵∴∴∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上
連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過(guò)圓心O時(shí)，BM最短
∵，∴∴∵故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，，，先由圓周角定理得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓上，且點(diǎn)O在圓上，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)求得，，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，利用弧長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)即可求解．
【詳解】解：連接，，，∵，∴，

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓上，且點(diǎn)O在圓上，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B處時(shí)，，點(diǎn)F與O重合；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D處時(shí)，∵以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，∴即，點(diǎn)F與A重合，
∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，
∴的長(zhǎng)為，即點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、弧長(zhǎng)公式、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，正確得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡以及點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵．
2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為 ．

【答案】/
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，證明，可知點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
1．（2023年四川省巴中市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的外接圓，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，首先根據(jù)圓周角定理得到，然后利用半徑相等得到，然后利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】如圖所示，連接，

∵，，∴，
∵，∴．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
2．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，
∵，∴，
∴，∴，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長(zhǎng)．
3．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接, 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到, 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【詳解】連接,
∵,∴∴,
∵,∴是等邊三角形,∴ ,

∵，,∴,，∴,
∵,，，
即的半徑為 ，故選: .
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.
4．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，
是半徑，且，，
在中，，，解得：，故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．
5．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，直徑與弦相交于點(diǎn)P，連接，若，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)圓周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即，然后利用進(jìn)而可求出．
【詳解】解：∵，∴，∵，∴，
又∵為直徑，即，∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理，三角形外角和定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟知圓周角定理的相關(guān)知識(shí)．
6．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長(zhǎng)分別為（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由題意易得，然后可得，，，進(jìn)而可得，最后問題可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，∴；故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑 ．

【答案】
【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，在中，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8.（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于
cm．

【答案】10
【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】由題意得：，，
如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

餐盤與邊相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，四邊形是矩形，
，，，四邊形是矩形，，
，，，
設(shè)餐盤的半徑為，則，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，餐盤的半徑為，故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．
9．（2023年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是，為了監(jiān)控整個(gè)展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器 臺(tái)．

【答案】4
【分析】圓周角定理求出對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，利用圓心角的度數(shù)即可得解．
【詳解】解：∵，∴對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，
∵，∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)；故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．
10．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接，．若，，則 ， ．

【答案】
【分析】首先利用已知條件得到為直徑，然后可以證明為等腰直角三角形，由此求出，接著把繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明為等腰直角三角形即可解決問題．
【詳解】解：內(nèi)接于且，
為的直徑，，，
弦平分，，，
，，，，
如圖把繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，
，、、三點(diǎn)共線，為等腰直角三角形，
，．故答案為：，．

【點(diǎn)睛】此題分別考查了三角形的外接圓、圓周角定理及其推論、角平分線的性質(zhì)及勾股定理，有一定的綜合性．
11．（2023年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)D，E在以為直徑的上，的平分線交于點(diǎn)B，連接，，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）先證明，再利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求證；（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【詳解】（1）連接，∵，∴，
∵是直徑，∴，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴；

（2）如圖，連接，∵的平分線交于點(diǎn)B，∴，∴，∴，
∵是直徑，∴，∵，
∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正弦函數(shù)、圓周角定理的推論和勾股定理等知識(shí)，學(xué)生應(yīng)理解與掌握正弦的定義、兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、圓周角定理的推論，即同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．(1)求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）
(2)若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見解析(2)8
【分析】（1）證法一：連接，得到，因?yàn)椋裕蛔C法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】（1）證法一：如圖，連接，∵，∴，
∵是的直徑，∴，∴
∵，∴，∴，

證法二：如圖，連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，
∵是的直徑，∴，∴，
∴，∴，
（2）解：如圖，連接，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵的半徑為3，∴，在中，，
∵，∴，∴，∴，
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①長(zhǎng)度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對(duì)的弦相等；③等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；④任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；⑤三角形有且只有一個(gè)外接圓．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本題考查的是等弧的概念，弧，弦，圓心角的關(guān)系，正多邊形的性質(zhì)，圓的確定，三角形的外接圓的含義，根據(jù)基本概念與基本性質(zhì)逐一分析即可，熟記基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：能夠完全重合的弧是等弧，故①假命題；
在同圓與等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故②是假命題，
等邊三角形的外心與內(nèi)心重合；故③是真命題，
不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故④是假命題，
三角形有且只有一個(gè)外接圓，故⑤是真命題；故選C
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，半徑，，點(diǎn)在弦上，，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了垂徑定理，三角函數(shù)，勾股定理，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得到，由勾股定理得到，由三角函數(shù)得到，再由勾股定理即可得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，，
在中，∵，，
又∵，∴，，故選：．
3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到，，再利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，再證明，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，是的直徑，∴，，∴，
∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北孝感·校考一模）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．
5．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，，于點(diǎn)．若的長(zhǎng)為，則的直徑為（ ）

A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，連接,，先證是等邊三角形，再解求出的長(zhǎng)，從而得解，作輔助線構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】連接,．，，

，是等邊三角形，，
，，，
，的直徑為4．故選：C．
6．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為4，直徑AB與直徑CD垂直，P是上一點(diǎn)，連接PC，PB分別交AB，CD于E，F(xiàn)，若，則BF的長(zhǎng)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，連接BD，過(guò)點(diǎn)F作，證明，設(shè)，則，構(gòu)建方程求出m，即可求解.
【詳解】解：連接BD，過(guò)點(diǎn)F作于H．∵，∴，

∵，，∴，∴，
∵，∴，
設(shè)，則，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．故選：A．
7．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用一塊直徑為4米的四來(lái)布平鋪在對(duì)角線長(zhǎng)為4米的正方形桌面上，若四周下垂的最大長(zhǎng)度相等，則這個(gè)最大長(zhǎng)度x為 米（用根號(hào)表示）．
【答案】
【分析】本題考查正方形和圓的性質(zhì)、三角函數(shù)等，解題的關(guān)鍵建立幾何圖形與實(shí)際問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
根據(jù)正方形與圓的性質(zhì)、正弦函數(shù)關(guān)系等求解即可．
【詳解】四來(lái)布展平后的俯視圖如下．
根據(jù)題意可知，正方形的對(duì)角線恰好等于的直徑，，最大長(zhǎng)度．
∵為正方形的對(duì)角線，又是的直徑，∴．
由知是直角三角形，∴，
又∵，∴（米）故答案為：．
8．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑和弦垂直相交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則的半徑長(zhǎng)為 ．

【答案】
【分析】連接，，，根據(jù)垂徑定理和圓周角定理得到，，，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)勾股定理得，求出即可．
【詳解】解：連接，，，

的直徑和弦垂直相交于點(diǎn)，，
，，，，，
，，，，
，，，，，設(shè)，
，，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：或（不符合題意，舍去），，即的半徑長(zhǎng)為，答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，則AB與CD之間的距離是 cm．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意，分析兩種AB的位置情況進(jìn)行求解即可；
【詳解】解：①如圖，AB//CD，過(guò)點(diǎn)O作
在中∵，∴∴
∵∴∴∵∴
∴∴
∵AB//CD∴AB與CD之間的距離即GH∴AB與CD之間的距離為
②如圖，作，連接AD則有四邊形PEFD是矩形，∴EF=PD
∵∴∵∴
∵∴∴
∵∴∴故答案為：或
【點(diǎn)睛】本題圓的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中兩條弦，互相垂直，垂足為，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
(1)求證：；(2)連接，求的值．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）本題根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，得到，推出，利用同弧所對(duì)的圓周角相等推出，對(duì)頂角相等得到，最后進(jìn)行等量代換，即可解題．（2）本題過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，．利用圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)推出，，利用角的等量代換得到，證明，最后結(jié)合全等三角形性質(zhì)和垂徑定理，即可解題．
【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，
，，，．
（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，．
，，．同理得．
，．，．
又，，，，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半、等腰三角形性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、對(duì)頂角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形．
1．（2023·廣東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】A
【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：
∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴為⊙O的周長(zhǎng)，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：π，故選：A．
在中，點(diǎn)、為、的中點(diǎn)，，，
，即，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，
，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，故答案為：．
2．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，過(guò)C作的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)①證明見解析；②；(3)
【分析】（1）先證明，結(jié)合，，可得，從而可得答案；
（2）①證明，再證明，可得；②設(shè)， ，證明，可得，即，則，可得，從而可得答案；
（3）解法一：如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過(guò)作于，證明，，可得，證明，可得，，證明，，即，再解方程可得答案．
解法二：如圖，延長(zhǎng)，分別交、于M、N，連接．先證，再證，則可得．根據(jù)等腰三角形三線合一，可得，由此可得．由，可得．再證．則可得，即，解出r的值，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵平分，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）①∵為中點(diǎn)，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴；
②設(shè)， ，∴，，
∵，，∴，
∴，即，∴，即，
∴，∴，∴（負(fù)根舍去）；
（3）解法一：如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過(guò)作于，

∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，而，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，即，解得：，（負(fù)根舍去），
由（2）①知，∴．
解法二： 如圖，延長(zhǎng)，分別交、于M、N，連接，，．
又，，．
，，．
又，，．
又，，．
，．，
，，，
即，得，解得：，（負(fù)根舍去），∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，本題的難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁(yè)第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長(zhǎng)．(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
②設(shè)，，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明理由；
③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)計(jì)算的長(zhǎng)．
【答案】(1)；(2)①見解析；②；③的長(zhǎng)為或．
【分析】（1）先求得的直徑為10，再利用垂徑定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；（2）①連接，由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，推出，根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論成立；②利用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；③分兩種情況討論，當(dāng)和時(shí)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）解：連接，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，，
∴，，∴，，
在中，，∴；
（2）解：①連接，

∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，∴，
∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，∴，
∴，∴；
②∵，，，∴，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴；
③當(dāng)時(shí)， 在中，，∴，
∵，∴，
∴，即，∴；
當(dāng)時(shí)，在中，，
在中，，∴，
同理，∴，即，∴；
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
4．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．
知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．
①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；
逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．

【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析
【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；
（2）只要說(shuō)明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明此線段和相等．
【詳解】（1）解：①，，，．
②連接，過(guò)作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，
，，是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，．
（2）證明：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則，
，，
，，，
，，為該圓的圓心．
（3）證明：過(guò)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，
是直徑，，，
，，，
，，
必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識(shí)，對(duì)于（3）構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．
5．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．
下面是小明的部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，．
，．
是等邊三角形．，
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．
【答案】感知：；探究：見解析；應(yīng)用：．
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；
應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．
【詳解】感知：由圓周角定理可得，故答案為：；
探究：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，．
，．
是等邊三角形．，，
∴，，，
是等邊三角形，，，即；
應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，．
，．
，，∴，，
，是等腰直角三角形，
，，即，
，，
，，，
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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