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第五章 圓
第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點、直線與圓的位置關(guān)系 ☆☆ 與圓相關(guān)的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分。
考點2 切線的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點3 三角形的外接圓與內(nèi)切圓 ☆☆☆
■考點一　點、直線與圓的位置關(guān)系類
1）點和圓的位置關(guān)系：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則：
圖1 圖2
(1)dr 點在⊙O外，如圖3．
解題技巧：掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系。
2）直線和圓的位置關(guān)系：
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下：
圖1 圖2 圖3
(1)d>r 相離，如圖1；(2)d=r 相切，如圖2；(3)d3）圓和圓之間的位置關(guān)系（了解）
設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下：
圖1 圖2 圖3 圖4 圖5
（1）d>R+r 兩圓外離；（2）d=R+r 兩圓外切；（3）R-r（4）d=R-r 兩圓內(nèi)切；（5）0≤d兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.
■考點二　切線的性質(zhì)與判定
1）切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點；（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
解題技巧：利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。
2）切線的判定
（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）；
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；
（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。
切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑。
3）切線長定理
定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。
定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
解題技巧：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解。
■考點三　三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1）三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。
2）三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點，叫該三角形的外心。
4）三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點，叫該三角形的內(nèi)心。
5）常見結(jié)論
（1）三角形內(nèi)切圓半徑： ，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長；
（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑： ，其中a，b為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。
■易錯提示
1. 由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進行分類討論，否則比較容易漏解。
2. 一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓和一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個外切三角形和內(nèi)接三角形。
■考點一　點、直線與圓的位置關(guān)系類
◇典例1：（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）

A．點，均在圓外 B．點在圓外，點在圓內(nèi)
C．點在圓內(nèi)，點在圓外 D．點，均在圓內(nèi)
【答案】C
【分析】由，得到，，再根據(jù)勾股定理，在中計算出，在中計算出，則，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．
【詳解】解：如圖，

四邊形為矩形，，，，，，
在中，，，，
在中，，，，
，點在圓內(nèi)，點在圓外．故選：．
【點睛】本題考查了點與圓的位置：設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，已知及其所在平面內(nèi)的個點．如果半徑為，那么到圓心距離為的點可能是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】C
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，半徑為，如圖所示，連接，
∴，∴到圓心距離為的點可能是點，故選：．
【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，理解并掌握點到圓心的線段與圓的半徑的大小關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為，與相交，且點在外，那么的半徑長可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接交于，根據(jù)勾股定理求出的長，從而求出的長，再根據(jù)相交兩圓的位置關(guān)系得出的范圍即可．
【詳解】解：連接交于，如圖，

在中，由勾股定理得：，則，
，，與相交，且點在外，必須，
即只有選項B符合題意，故選：B．
【點睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇蘇州·校考一模）已知點P是半徑為4的上一點，平面上一點Q到點P的距離為2，則線段的長度a的范圍為 ．
【答案】
【分析】如圖，當(dāng)點在圓外且，，三點共線時，線段的長度的最大，當(dāng)點在圓內(nèi)且，，三點共線時，線段的長度的最小，據(jù)此得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
當(dāng)點在圓外且，，三點共線時，線段的長度的最大，最大值為；
當(dāng)點在圓內(nèi)且，，三點共線時，線段的長度的最小，最小值為，
所以，線段的長度的范圍為．故答案為：．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
◇典例2：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）的半徑r和圓心O到直線l的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩根和與兩根積，則直線l與的位置關(guān)系是 ．
【答案】相交
【分析】由以及題意知，，，由，可判斷直線l與的位置關(guān)系．
【詳解】解：，由題意知，，
∵，∴直線l與相交，故答案為：相交．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）已知平面內(nèi)有與直線，的半徑為，點O到直線的距離為，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷
【答案】A
【分析】根據(jù)點O到直線的距離與圓的半徑大小作比較即可．
【詳解】解：∵點O到直線的距離為，且的半徑為，
∴，即直線與的位置關(guān)系是相切，故選：A．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北滄州·校考三模）題目：“如圖，在中，，，，以點為圓心的的半徑為，若對于的一個值，與只有一個交點，求的取值范圍．”對于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．則正確的是（ ）

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【分析】由勾股定理求出，再根據(jù)等面積法求出斜邊上的高為，再根據(jù)半徑的情況，分別作出圖形，進行判斷即可得到答案．
【詳解】解：，，，
斜邊上的高為：，當(dāng)時，畫出圖如圖所示：
， ， ，
此時在圓內(nèi)部，與只有一個交點，
當(dāng)時，畫出圖如圖所示，此時與只有一個交點，
當(dāng)時，畫出圖如圖所示：此時與只有一個交點，
三人的答案合在一起才完整，故選：D．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，等面積法，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

【答案】/
【分析】分兩種情況討論：位于軸左側(cè)和位于軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．
【詳解】解：的圓心P的坐標(biāo)為，，

的半徑為2，，，，
當(dāng)位于軸左側(cè)且與軸相切時，平移的距離為1，
當(dāng)位于軸右側(cè)且與軸相切時，平移的距離為5，
平移的距離d的取值范圍是，故答案為：．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．
◇典例3：（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如果兩圓的半徑分別為5或2，圓心距為7，那么這兩個圓的位置關(guān)系是 ．
【答案】外切
【分析】根據(jù)圓心距d，以及兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系得出兩圓位置關(guān)系．
【詳解】解：∵，∴這兩個圓外切．故答案為：外切．
【點睛】被踢主要考查了圓與圓之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握：當(dāng)時，兩圓外離；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)離；當(dāng)時，兩圓相交．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知兩圓相交，它們的圓心距為，一個圓的半徑是，那么另一個圓的半徑長可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由兩圓相交，它們的圓心距為，其中一個圓的半徑為，根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切時求得兩圓的半徑，即可求解．
【詳解】∵兩圓相交，它們的圓心距為，其中一個圓的半徑為，
當(dāng)兩圓外切時，另一個圓的半徑為，
當(dāng)兩圓內(nèi)切時，另一個圓的半徑為
∴當(dāng)兩圓相交時，另一個圓的半徑可以是,故選：C．
【點睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距，兩圓半徑，的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，注意分類討論思想的應(yīng)用．
2．（2023·上海寶山·一模）已知內(nèi)切兩圓的圓心距為5，其中一個圓的半徑長等于2，那么另一個圓的半徑長等于 ．
【答案】7
【分析】設(shè)另一個圓的半徑長為，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出或，再求出即可．
【詳解】解：設(shè)另一個圓的半徑長為，內(nèi)切兩圓的圓心距為5，其中一個圓的半徑長等于2，
或，解得：或（半徑不能為負，舍去），
所以另一個圓的半徑長是7．故答案為：7．
【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，能熟練掌握圓與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，已知兩圓的半徑分別為，，兩圓的圓心距為，那么當(dāng)時，兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．
3．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知的半徑為，的半徑為，圓心距，如果在上存在一點，使得，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】當(dāng)位于內(nèi)部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最大值；當(dāng)位于外部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最小值．
【詳解】當(dāng)位于內(nèi)部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最大值．
如圖所示，．

當(dāng)位于外部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最小值．
如圖所示，．故答案為：．
【點睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，能采用數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
■考點二　切線的性質(zhì)與判定
◇典例4：（2023年海南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，是的切線，點是切點，連接交于點，連接，若，則 度．
【答案】100
【分析】由切線的性質(zhì)可得，則，通過計算可得，再由圓周角定理即可得到答案．
【詳解】解：為的直徑，是的切線，，，
，，
，故答案為：100．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，是切點，連接，．若，則的度數(shù)是 ．

【答案】/度
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算即可解答．
【詳解】解∶∵是的切線，是切點，∴，
∴故答案為∶．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，、分別切于點B、C，若，則的度數(shù)是 ；

【答案】/50度
【分析】連接，由切線長定理證明，再求得，最后由三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)．
【詳解】解：連接，

∵、分別切于點B、C，， ∴， ∴，
∵是的直徑，∴∵， ∴，
∴ ，∴；故答案為50°．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，綜合性強，難度一般．
◇典例5：（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，點在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點，與相交于點，連接．若，，則的長是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出．
【詳解】如圖所示，連接，，

∵，，，∴，
∵以為直徑的半圓與相切于點，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，即，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，即，∴解得．故選：B．
【點睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為C，D．若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接、、，交于，如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到，，平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后求出即可．
【詳解】解：連接、、，交于，如圖，

，與相切，切點分別為，，
，，平分，，，，
，，∵∴
∵∴在中，，
，．故選：D．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查圓周角定理和解直角三角形．
2．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．
【詳解】解：∵，∴，．
∵，∴為等腰直角三角形，
∴，∴．∵是的切線，∴，
∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，得出．
◇典例6：（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則 ．

【答案】/度
【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，
∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∵與分別相切于點，，∴，
又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，
∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，為直角，，在三角形的內(nèi)部有一個半圓，半圓與均相切且直徑在上．則半圓的半徑為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)半圓與相切于點，連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)， ，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可得解．
【詳解】解：如圖，

設(shè)半圓與相切于點，連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得， ，
由切線長定理得，，在中，為直角，，，
，，，
在中，設(shè)半徑為，則，，
由勾股定理得，，解得，．故選：．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及圓的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形列方程解決問題是關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇鹽城·校考模擬預(yù)測）如圖，，，是的切線，，，為切點，若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】此題考查切線長定理，由與相切于點、與相切于點，可得，同理得，再由求得結(jié)果．熟練運用切線長定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：與相切于點、與相切于點，，
，，
與相切于點、與相切于點，，的長為3，故答案為：3．
◇典例7：（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

【答案】(1)見解析(2)的半徑為
【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，
∵為的直徑，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，即：，
又為的半徑，∴為的切線；
（2）連接，則：，
∵為的直徑，∴，∴，∴，
在中，，，∴，
設(shè)的半徑為，則：，
∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．
【點睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

【答案】見詳解
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：如圖，連接，，，
為的直徑，，，
，，即，，
是的半徑，直線與相切．

【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．
2.（2023年陜西九年級中考模擬）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長．
【答案】(1)詳見解析(2)
【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長度．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，
又∵，∴，即，∴是的切線；
（2）解：∵，∴，
∵在中，∴
∴，∴，∵，
∴，∴，設(shè)，則，
又∵，即，解得（取正值），∴，
【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點，點為邊的中點，連接．
(1)求證：是的切線；(2)點為直線上任意一動點，連接交于點，連接．
①當(dāng)時，求的長；②求的最大值．

【答案】(1)見解析(2)①或；②
【分析】（1）連接，，由是的直徑，可得，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，進而可得，即，再利用切線的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）①分兩種情況：當(dāng)點在線段上時，過點作于點，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；當(dāng)點在的延長線上時，過點作于點，運用勾股定理和解直角三角形即可；②設(shè)，則，利用面積法可得，得出，即，再運用乘法公式和不等式性質(zhì)可得，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，，

是的直徑，，，
點為邊的中點，，，
，，，即，
，即，，
是的半徑，是的切線；
（2）①當(dāng)點在線段上時，如圖，過點作于點，

在中，，設(shè)，
，，，，
，，解得：，，
，即，；
當(dāng)點在的延長線上時，如圖，過點作于點，
，，設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，（舍去），，，
，，
設(shè)，則，在中，，
即，解得：，（舍去），；
綜上所述，的長為或；
②設(shè)，則，如圖，是的直徑，，
，，，
，，，，的最大值為．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面積，乘法公式和不等式性質(zhì)等．熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)和解直角三角形等是解題關(guān)鍵．
■考點三　三角形的外接圓與內(nèi)切圓
◇典例8：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（ ）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點D、E、F分別是的中點，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長求解即可．
【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，
∴點D、E、F分別是的中點，∴，
∵的周長為21，∴即，
∴，故選：B．
【點睛】本題考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格點處，則點P是下列哪個三角形的外心（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理，可求得點P到A，B，C，D，E各點的距離，只有到B、C、E的距離相等，而三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，即可解答．
【詳解】解：如圖，由勾股定理得：，

∴P到B、C、E的距離相等，∴P是的外心，故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的外心及勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟悉三角形外心的概念．
2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）在中，，則這個三角形的外接圓半徑為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)，其圓心是直角三角形斜邊中點，從而利用勾股定理求出斜邊長即可得到答案，注意題中并沒有指明具體的直角，需要分類討論求解．
【詳解】解：在中，，則分三種情況：
①當(dāng)，如圖所示：這個三角形的外接圓半徑為；

②當(dāng)，如圖所示：，
這個三角形的外接圓半徑為；
③當(dāng)，，
由于直角三角形中斜邊大于直角邊，則該情況不存在；
綜上所述，這個三角形的外接圓半徑為或，故答案為：或．
【點睛】本題考查三角形外接圓的性質(zhì)，設(shè)計勾股定理，根據(jù)題意，分類討論求解是解決問題的關(guān)鍵．
◇典例9：（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖，是的內(nèi)切圓，，則的大小為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由是的內(nèi)接圓得到，，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出．
【詳解】解：∵，，∴，
∵是的內(nèi)切圓，∴，，
∴，，
∴
，故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，由三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心及三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點I是內(nèi)心，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再由內(nèi)心的定義得到，則，由此即可求出答案．
【詳解】解：∵，∴，
∵點I是內(nèi)心，∴分別是的角平分線，
∴，∴，
∴，故選D．
【點睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)心的定義，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為 ．

【答案】
【分析】由切線的性質(zhì)得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由銳角的正切即可求出的長．
【詳解】解：設(shè)與切于，與相切于，連接，連接，，，

，，，平分，，
是等邊三角形，，，
同理：，，，，
∵，．故答案為：．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識點推出，得到是中點，應(yīng)用銳角的正切即可求解．
◇典例10：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：連接，∵點I是的內(nèi)心，，
∴，∴，
∵，∴，故選：C．

【點睛】本題考查三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇無錫·校考二模）已知三邊分別為，，，則該三角形的內(nèi)心，外心和重心圍成的小三角形的面積為 ．
【答案】
【分析】取中點，則點為外心，取中點，連接、交于點，則點為重心，設(shè)點為內(nèi)心，過點作垂直于，交與，作于點，根據(jù)外心，重心，內(nèi)心的性質(zhì)分別求得，，，勾股定理求得，根據(jù)作圖可得，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖，，，，，
取中點，則點為外心，取中點，連接、交于點，則點為重心，設(shè)點為內(nèi)心，過點作垂直于于，交與，作于點，

點為中點，，，由題得，為中位線，
：：，：：，：：，，，
，，，
由內(nèi)切圓半徑得，，，，
∵，∴，∴四邊形為矩形，
，．故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形外心，重心，內(nèi)心的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北衡水·校考模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，，點是的內(nèi)心．（1）點到邊的距離為 ；（2）是的外心，連接，則的長為 ．

【答案】 2
【分析】（1）連接，，，過點分別作，，于點，，，根據(jù)，，可得，即可解決問題；
（2）連接，證明，可得，再利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖，連接，，，過點分別作，，于點，，，

在中，，，，，
是的內(nèi)心，，，
，，點到邊的距離為2；故答案為：2；
（2）如圖，連接，由1.知，，，，
四邊形是正方形，，，，
在和中，，（AAS），，
是的外心，，，
在中，根據(jù)勾股定理得：．故答案為：；．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形外接圓與外心，三角形的全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心和外心的區(qū)別．
◇典例11：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知的周長為，其內(nèi)切圓的面積為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，，，由面積關(guān)系可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓與相切于點，點，點，連接，，，，，，
切于，，，，
同理：，，
，
，，故選A
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓半徑 ．
【答案】1
【分析】本題考查了切線長定理，圓的切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解答本題的關(guān)鍵，首先利用切線的性質(zhì)證明四邊形是正方形，得到，再利用切線長定理得到，，最后由列方程即可求解．
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與、、分別相切于點D、E、F，，，
，四邊形是矩形，
，四邊形是正方形，，，，
，，，，
在中，，
，，解得 ．故答案為：1．
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，為的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留)(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；勾股定理求得，進而根據(jù)等面積法求得，三角形的內(nèi)切半徑，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：中，，，，
，，內(nèi)切圓半徑，
，設(shè)與切于點，與切于點，連接、，
則四邊形為正方形，．故選：C．
1．（2023年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接．
∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，
∴，
∴，，
∴，∴．故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
2．（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，∵，∴，

∵，即，∴，
∵，∴，∴，即，
設(shè)，則，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴；故選A
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點為．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作延長線于點，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．
【詳解】解：如圖所示，作延長線于點，連接，

∵，，∴，
∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，
由題意，為的切線，∴，，
∵，∴設(shè)，，，
則，，
在中，，在中，，
∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），
∴，∴，∴，故選：B．
【點睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強，熟練運用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．
4．（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）（多選題）發(fā)動機的曲柄連桿將直線運動轉(zhuǎn)化為圓周運動，圖①是發(fā)動機的實物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點A在直線l上往復(fù)運動，推動點B做圓周運動形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點C、D是直線l與的交點；當(dāng)點A運動到E時，點B到達C；當(dāng)點A運動到F時，點B到達D．若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B． C．當(dāng)與相切時， D．當(dāng)時，
【答案】AC
【分析】如圖，由題意可得：，，，，從而可判斷A，B，如圖，當(dāng)與相切時，求解，可得，可判斷C；當(dāng)時，如圖，可得，，，可判斷D；從而可得答案．
【詳解】解：如圖，由題意可得：

，，，，
∴，故A符合題意；，故B不符合題意；
如圖，當(dāng)與相切時，∴，∴，
∴，故C符合題意；

當(dāng)時，如圖，∴，∴，
，∴，故D不符合題意；故選AC
【點睛】本題考查的是線段的和差運算，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
5．（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）（多選題）如圖，是的直徑，為弦，過點的切線與延長線相交于點，若，則下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)是的直徑，可得，根據(jù)是的切線，可得，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，進而可得，即可判斷A，B，D選項，根據(jù)是直角三角形，是斜邊，則，即可判斷C選項．
【詳解】解：∵是的直徑，∴，故A選項正確，
∵是的切線，∴，∴，故B選項正確，
∵∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，故D選項正確
∵是直角三角形，是斜邊，則，故C選項錯誤，故選：ABD．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直徑所對的圓周角是直角，切線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計算即可．
【詳解】∵，∴，
根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，∴,
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點是外一點，，分別與相切于點，，點在上，已知，則的度數(shù)是 ．

【答案】/度
【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖，∵，分別與相切于點，，∴，

∵，∴，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．
8．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，過原點O，且與x軸交于另一點D，為的切線，為切點，是的直徑，則的度數(shù)為 ．

【答案】
【分析】先根據(jù)點，的坐標(biāo)得，進而得的半徑為1，然后再在中利用銳角三角函數(shù)求出，進而得，最后再證為等邊三角形即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：點，，，
過原點，為的半徑，為的切線，，，
在中，，，，，，，
又，三角形為等邊三角形，，即的度數(shù)為．故答案為：．
【點睛】此題主要考查了點的坐標(biāo)，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義和等邊三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．
（1）若，則的長是 （結(jié)果保留）；（2）若，則 ．

【答案】
【分析】（1）連接，根據(jù)點為的中點，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長公式即可求解；（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設(shè)，則，勾股定理求得,J進而即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，∵點為的中點，∴，

又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案為：．
（2）解：如圖，連接，∵點為的中點，∴，∴，
∵是的切線，∴,∴∴，∵，∴，
設(shè)，則，，
∴，，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長公式，平行線分線段成比例定理等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023年山東省濟南市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，，為的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，，點是的中點，弦，相交于點．
(1)求的度數(shù)；(2)若，求直徑的長．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)，得出，即，得出，進而計算即可得出答案；（2）連接，根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)中點的定義，得出，再根據(jù)同弧或同弦所對的圓周角相等，得出，再根據(jù)正切的定義，得出，再根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，進而即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵與相切于點，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如圖，連接，

∵是直徑，∴，∵點是的中點，∴，
∴，
在中，∵，，∴，
在中，∵，∴，∴的直徑的長為．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓周角定理及其推論、銳角三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．
11．（2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：
①過點A作切線，且（點C在A的上方）；
②連接，交于點D；③連接，與交于點E．
(1)求證：為的切線；(2)求的長度．
【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，
∵是的切線，∴，∵，，∴，
∵，，∴，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，∵點D在上，∴為的切線；
（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴解得．
【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
12．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長到點D．使得，點E在的延長線上，點在線段上，交于N，交于G．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)若，求證：．

【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析
【分析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結(jié)論得證；（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得到的長；（3）先證明，則，得到，由得到，則，由同角的余角相等得到，則，得，進一步得到，則，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是的切線；
（2）∵，，∴，
∴，∴，解得或3，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∵，即，∴；
（3）證明：∵是的直徑，∴，
∵， ∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負半軸交于點A，P是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段PA的中點，連接，則線段的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】連接，如圖，先解方程得，再判斷為的中位線得到，利用點與圓的位置關(guān)系，過圓心C時，最小，如圖，點P運動到位置時，最小，然后計算出即可得到線段的最小值．
【詳解】解：連接，如圖，

當(dāng)時，，解得，∴，
∵Q是線段的中點，∴為的中位線，∴，
當(dāng)最小時，最小，而過圓心C時，最小，如圖，點P運動到位置時，最小，
∵，∴，∴線段的最小值是．故選：A．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．確定位置是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，．分別以點、為圓心畫圓，如果與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切，那么的半徑長的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，勾股定理求得，進而根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，當(dāng)圓O與相切時，過點作，
∵矩形中，對角線與相交于點，，．
∴，，，，
∴∴，則；

當(dāng)圓O與相切時，過點作于點，如圖所示，

則 則
∴與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切時，，故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（ ）

A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，進而可得，，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，

由題意知，平分，平分，
∴，，∴，，
∵，∴，
∵，∴，由勾股定理得，，
如圖，連接交于，則，設(shè)，則，
由勾股定理得，，即，解得，
∴，，由勾股定理得，，故選：A．
【點睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知是內(nèi)一點（點不與圓心重合），點到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的直徑為 ．
【答案】12
【分析】根據(jù)題意知的直徑為最小距離與最大距離的和，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：∵是內(nèi)一點，
∴的直徑為最小距離與最大距離的和，
∵最小距離與最大距離是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴的直徑為，故答案為：12．
【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系．
5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)接于，它的內(nèi)心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為 ．

【答案】/
【分析】連接，，通過證明得到，求得線段，利用三角形的內(nèi)心是三角形的三個內(nèi)角平分線的交點，根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得的長，再利用三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，則．
【詳解】解：連接，，

∵，∴，∴，∴，∴，
∵點為的內(nèi)心，∴，分別為，的平分線，
∴，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及其推論，等腰三角形的判定與性質(zhì)，充分利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，的內(nèi)切圓（圓心為點）與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法正確的是 ．（填代碼即可）
A．射線一定過點 B．點是三條中線的交點
C．若是等邊三角形，則 D．點是三條邊的垂直平分線的交點
【答案】ACD
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓和外接圓的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解： A、∵的內(nèi)切圓圓心為O，∴點O是三條角平分線的交點，
以點B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交于G，H兩點；分別以點G，H為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點P；作射線，由此可得BP是角平分線，所以射線一定過點O，說法正確，故此選項符合題意；B、∵都在上，∴是的外接圓，
∴點O是三條邊的垂直平分線的交點，故此選項不符合題意；
C、當(dāng)是等邊三角形時，則，
∵與相切于點D，∴，∴三點共線，∴點D是的中點，
同理點E是的中點，∴是的中位線，∴，故此選項符合題意；
D、∵都在上，∴是的外接圓，
∴點O是三條邊的垂直平分線的交點，故此選項符合題意；故答案為：ACD．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓和外接圓的特點和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是能與其它知識聯(lián)系起來，加以證明選項的正確．
7．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓直徑為 .
【答案】
【分析】設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點D，在圓O上取點F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，根據(jù)三角形內(nèi)心定義可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB CD，可得bc＝40，根據(jù)勾股定理可得BC＝a＝7，再根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和圓周角定理可得∠BOC＝120°，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出OB的長．
【詳解】解：如圖，設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點D，
在圓O上取點F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點E，
設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD＝b，
CD＝AC sin60°＝b，∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周長為l＝20，△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝，
∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB CD，∴b c，∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC內(nèi)心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，∴OB＝.
∴外接圓直徑為．故答案為：．
【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．屬于中考選擇題的壓軸題，很有難度．
8．（2023·上海寶山·一模）已知相交兩圓的半徑長分別為13和20，公共弦的長為24，那么這兩個圓的圓心距為 ．
【答案】11或21
【分析】設(shè)半徑長分別為13和20的、相交于點、點，，連接、，則，，再分兩種情況討論，一是點、點在直線的同側(cè)，延長交于點，根據(jù)“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”得，，可由勾股定理求得，，則；二是點、點在直線的異側(cè)，交于點，則，，．
【詳解】解：半徑長分別為13和20的、相交于點、點，，
連接、，則，，
如圖1，點、點在直線的同側(cè)，延長交于點，
垂直平分，，，
，，；
如圖2，點、點在直線的異側(cè)，交于點，
，，
，，，
綜上所述，這兩個圓的圓心距為11或21，故答案為：11或21．
【點睛】此題重點考查圓與圓的位置關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是鈍角
(1)求作，使得圓心在邊上，且經(jīng)過點（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)與的另一個交點為D，且求證：是的切線。
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）由經(jīng)過點可知圓心到點的距離相等，因此線段的垂直平分線與的交點即為圓心，由此可解；（2）連接，設(shè)，則，，利用勾股定理的逆定理判斷，即可證明是的切線．
【詳解】（1）解：如圖1，是所求作的圓：
圖1 圖2
（2）證明：如圖2，連接，設(shè)，則，，
，，．
在中，，，
，，即．
點在上，是的切線．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的逆定理，切線的判定等，難度不大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，綜合運用上述知識點．
10．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）已知中，．根據(jù)作圖過程，解決下列問題．
【作圖過程】：以點A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB、AC于H、L點，分別以點H、L為圓心、大于的長為半徑畫弧交于點K，作射線AK；以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BC、BA于E、F點，分別以E、F為圓心、大于的長為半徑畫弧交于點G，作射線BG交射線AK于點O，過點O作于點M，點M為垂足，以點O為圓心，OM為半徑作．
【解決問題】：(1)證明：是的內(nèi)切圓；(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見詳解(2)2
【分析】（1）過O點作OD⊥AB于D點，過O點作OP⊥AC于點P，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有OP=OD=OM，即O點到Rt△ABC三邊的距離相等，則有O點是Rt△ABC的內(nèi)心，可知⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，即OP=OM=r，先證明四邊形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再證明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，則有AB=AD+BD=AP+BM，則r可求．
【詳解】（1）過O點作OD⊥AB于D點，過O點作OP⊥AC于點P，如圖，
根據(jù)作圖可知OA、OB分別是∠CAB、∠ABC的角平分線，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，∴OP=OD，OD=OM，∴OP=OD=OM，
∴O點到Rt△ABC三邊的距離相等，∴O點是Rt△ABC的內(nèi)心，∴⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，∴四邊形OPCM是正方形，∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，∴BM=BD，同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，∴r=2，即⊙O的半徑為2．
【點睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2023·廣東佛山·一模）如圖，內(nèi)接于⊙O，且為的直徑，，與交于點E，與過點C的的切線交于點D，交于點F．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的長；(3)當(dāng)點F為的中點時，直接寫出的值．
【答案】(1)見解析(2)(3)
【分析】（1）連接，證明，，證明為直角，由可得，結(jié)合，證明，即可得證；（2）先求出證明，可得，結(jié)合，表示出，即可求解；（3）如圖，延長交于H，連接，證明，設(shè)的半徑為r,可得，再利用正切的定義進行計算即可；
【詳解】（1）連接，
∵為的切線，∴，
∵為直徑，點C在上，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴是等腰三角形．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，在中，，
∴，
解得，∴．
（3）如圖，延長交于H，連接，
∵為直徑，，∴，
∵，∴，∴
∴，∴，∴，
∵F為的中點，設(shè)，的半徑為r，
∴，∴解得，
∴，∴．
【點睛】本題考查的是圓的綜合應(yīng)用，勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
1．（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）在中，，下列說法錯誤的是（　　）
A． B．
C．內(nèi)切圓的半徑 D．當(dāng)時，是直角三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【詳解】解：∵，∴即，故A說法正確；
當(dāng)時，，
若以為底，高，∴，故B說法正確；
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，
∵，∴，，
∵，∴，∴，故C說法錯誤；
當(dāng)時，，∴是直角三角形，故D說法正確；故選：C．
【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的直徑，是弦，，，，的延長線與的延長線相交于點，的延長線與的延長線相交于點，連接．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①；②是的切線；③B，E兩點間的距離是；④．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】連接、、，過點作交延長線于，于．①根據(jù)已知、垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形證，，即可得到；②根據(jù)已知、垂徑定理、中垂線定理證，推出，不垂直，即可判斷不是的切線；③證，結(jié)合、，計算出、、，最后根據(jù)勾股定理計算即可；④先計算出，推理出，設(shè)，用含的代數(shù)式表示和，代入求解即可．
【詳解】如圖，連接、、，過點作交延長線于，于

的直徑，，，，
，，
是弦，，，（垂直于弦的直徑平分弦所對的弧），
，即，，
，，
（圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角），，故結(jié)論①正確
，，又（同弧所對圓周角是圓心角的一半），
，，，于，
，，，
，，故結(jié)論③正確
，，，，
平分（垂直于弦的直徑平分弦），是的中垂線，，，
，，，即，
是弦，是銳角，是鈍角，
是鈍角，，不垂直，不是的切線，故結(jié)論②不正確
，，，，
，，，，
設(shè)，則，
，，
，，，，
，，解得：，
，故結(jié)論④不正確綜上，①和③這2個結(jié)論正確，故選：B．
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)綜合，結(jié)合判斷切線、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識點，熟練掌握、綜合運用知識點推理證明和計算是解題的關(guān)鍵．
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點，交于點，延長，交于點．(1)求證：是的切線；(2)求證：；
(3)若，求的值．

【答案】(1)證明，見解析(2)證明，見解析(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)平分，則，根據(jù)，得，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；（2）由（1）得，，根據(jù)，，相似三角形的判定和性質(zhì)，即可；（3）根據(jù)，則，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理求出；根據(jù)，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，即可．
【詳解】（1）連接∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴是的切線．

（2）證明，如下：由（1）得，，∵，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
（3）∵，∴，設(shè)的半徑為，∴，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴．
【點睛】本題考查圓，相似三角形，銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵圓的切線定理的運用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的運用．
4．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，以為直徑的與交于點D，點是的中點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，點P是上一動點，求的最大值．

【答案】(1)證明見解析；(2)(3)
【分析】（1）連接，由圓周角定理得到，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得，由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，由切線的判定即可證得與相切；
（2）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出；，
（3）設(shè)的邊高為，由可得，即可得出當(dāng)取最大值時，取最大值，根據(jù)進而求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，

∵為的直徑，∴，∴，
∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是的半徑，∴與相切；
（2）解：由（1）知，，∵是的中點，∴，∴，
∵，∴，，
又∵在中，，即：，
∴（負值以舍去），∴；
（3）設(shè)的邊高為，由（2）可知，
又∵是直徑，∴，∴，∴，
∴當(dāng)取最大值時，也取最大值，
又∵，∴當(dāng)取最大值時，取最大值，
此時邊高為取最大值為半徑，∴，
∴∴，∴，
綜上所述：的最大值為．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握切線的判定方法；（2）通過解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證得．（3）將的最大值轉(zhuǎn)化為的面積最大值．
5．（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．(1)填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．

【答案】(1)，5；(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)和勾股定理分別求解即可；（2）由面積法求出，再利用勾股定理求，則的面積可求；（3）先證明，得到，利用，分別得到，進而計算，，再分別求出則問題可解；
【詳解】（1）解：∵是的直徑，是的切線，∴的度數(shù)是；
∵，∴；故答案為：，5；
（2）如圖，∵是的直徑，∴，

，∴由面積法，∴
，；
（3）方法一：如圖，由∴

∴∴
∴∴
設(shè)
是等腰直角三角形，
，是等腰直角三角形
，∴，∴，，
，，．
方法二：如圖 由
設(shè)，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答問題．
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第五章 圓
第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點、直線與圓的位置關(guān)系 ☆☆ 與圓相關(guān)的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分。
考點2 切線的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點3 三角形的外接圓與內(nèi)切圓 ☆☆☆
■考點一　點、直線與圓的位置關(guān)系類
1）點和圓的位置關(guān)系：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則：
圖1 圖2
(1)dr 點在⊙O ，如圖3．
解題技巧：掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系。
2）直線和圓的位置關(guān)系：
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下：
圖1 圖2 圖3
(1)d>r ，如圖1；(2)d=r ，如圖2；(3)d3）圓和圓之間的位置關(guān)系（了解）
設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下：
圖1 圖2 圖3 圖4 圖5
（1）d>R+r 兩圓 ；（2）d=R+r 兩圓 ；（3）R-r（4）d=R-r 兩圓 ；（5）0≤d兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.
■考點二　切線的性質(zhì)與判定
1）切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個 ；（2）切線到圓心的距離等于圓的 ；（3）切線 經(jīng)過切點的半徑。
解題技巧：利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。
2）切線的判定
（1）與圓只有一個 的直線是圓的切線（定義法）；
（2）到圓心的距離等于 的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；
（3）經(jīng)過半徑 并且 于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。
切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑。
3）切線長定理
定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的 。
定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的 ，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
解題技巧：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解。
■考點三　三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1）三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的 ，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的 ，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。
2）三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做圓的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三邊 的交點，叫該三角形的 。
4）三角形的內(nèi)心：三角形三條 的交點，叫該三角形的 。
5）常見結(jié)論
（1）三角形內(nèi)切圓半徑： ，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長；
（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑： ，其中a，b為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。
■易錯提示
1. 由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進行分類討論，否則比較容易漏解。
2. 一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓和一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個外切三角形和內(nèi)接三角形。
■考點一　點、直線與圓的位置關(guān)系類
◇典例1：（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）

A．點，均在圓外 B．點在圓外，點在圓內(nèi)
C．點在圓內(nèi)，點在圓外 D．點，均在圓內(nèi)
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，已知及其所在平面內(nèi)的個點．如果半徑為，那么到圓心距離為的點可能是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
2．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為，與相交，且點在外，那么的半徑長可能是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·江蘇蘇州·校考一模）已知點P是半徑為4的上一點，平面上一點Q到點P的距離為2，則線段的長度a的范圍為 ．
◇典例2：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）的半徑r和圓心O到直線l的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩根和與兩根積，則直線l與的位置關(guān)系是 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）已知平面內(nèi)有與直線，的半徑為，點O到直線的距離為，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷
2．（2023·河北滄州·校考三模）題目：“如圖，在中，，，，以點為圓心的的半徑為，若對于的一個值，與只有一個交點，求的取值范圍．”對于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．則正確的是（ ）

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
3．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

◇典例3：（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如果兩圓的半徑分別為5或2，圓心距為7，那么這兩個圓的位置關(guān)系是 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知兩圓相交，它們的圓心距為，一個圓的半徑是，那么另一個圓的半徑長可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海寶山·一模）已知內(nèi)切兩圓的圓心距為5，其中一個圓的半徑長等于2，那么另一個圓的半徑長等于 ．
3．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知的半徑為，的半徑為，圓心距，如果在上存在一點，使得，則的取值范圍是 ．
■考點二　切線的性質(zhì)與判定
◇典例4：（2023年海南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，是的切線，點是切點，連接交于點，連接，若，則 度．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，是切點，連接，．若，則的度數(shù)是 ．

2．（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，、分別切于點B、C，若，則的度數(shù)是 ；

◇典例5：（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，點在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點，與相交于點，連接．若，，則的長是（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為C，D．若，則等于（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為 ．

◇典例6：（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則 ．

◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，為直角，，在三角形的內(nèi)部有一個半圓，半圓與均相切且直徑在上．則半圓的半徑為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·江蘇鹽城·校考模擬預(yù)測）如圖，，，是的切線，，，為切點，若，，則的長為 ．
◇典例7：（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

◆變式訓(xùn)練
1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

2.（2023年陜西九年級中考模擬）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長．
3．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點，點為邊的中點，連接．
(1)求證：是的切線；(2)點為直線上任意一動點，連接交于點，連接．
①當(dāng)時，求的長；②求的最大值．

■考點三　三角形的外接圓與內(nèi)切圓
◇典例8：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（ ）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格點處，則點P是下列哪個三角形的外心（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）在中，，則這個三角形的外接圓半徑為 ．
◇典例9：（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖，是的內(nèi)切圓，，則的大小為（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點I是內(nèi)心，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為 ．

◇典例10：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇無錫·校考二模）已知三邊分別為，，，則該三角形的內(nèi)心，外心和重心圍成的小三角形的面積為 ．
2．（2023·河北衡水·校考模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，，點是的內(nèi)心．（1）點到邊的距離為 ；（2）是的外心，連接，則的長為 ．

◇典例11：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知的周長為，其內(nèi)切圓的面積為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓半徑 ．
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，為的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留)(　　)
A． B． C． D．
1．（2023年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
2．（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點為．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）（多選題）發(fā)動機的曲柄連桿將直線運動轉(zhuǎn)化為圓周運動，圖①是發(fā)動機的實物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點A在直線l上往復(fù)運動，推動點B做圓周運動形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點C、D是直線l與的交點；當(dāng)點A運動到E時，點B到達C；當(dāng)點A運動到F時，點B到達D．若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B． C．當(dāng)與相切時， D．當(dāng)時，
5．（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）（多選題）如圖，是的直徑，為弦，過點的切線與延長線相交于點，若，則下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為 ．

7．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點是外一點，，分別與相切于點，，點在上，已知，則的度數(shù)是 ．

8．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，過原點O，且與x軸交于另一點D，為的切線，為切點，是的直徑，則的度數(shù)為 ．

9．（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．
（1）若，則的長是 （結(jié)果保留）；（2）若，則 ．

10．（2023年山東省濟南市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，，為的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，，點是的中點，弦，相交于點．
(1)求的度數(shù)；(2)若，求直徑的長．
11．（2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：
①過點A作切線，且（點C在A的上方）；②連接，交于點D；③連接，與交于點E．(1)求證：為的切線；(2)求的長度．
12．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長到點D．使得，點E在的延長線上，點在線段上，交于N，交于G．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)若，求證：．

1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負半軸交于點A，P是以點為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段PA的中點，連接，則線段的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．
2．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，．分別以點、為圓心畫圓，如果與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切，那么的半徑長的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（ ）

A． B． C． D．5
4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知是內(nèi)一點（點不與圓心重合），點到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的直徑為 ．
5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)接于，它的內(nèi)心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為 ．

6．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，的內(nèi)切圓（圓心為點）與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法正確的是 ．（填代碼即可）
A．射線一定過點 B．點是三條中線的交點
C．若是等邊三角形，則 D．點是三條邊的垂直平分線的交點
7．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓直徑為 .
8．（2023·上海寶山·一模）已知相交兩圓的半徑長分別為13和20，公共弦的長為24，那么這兩個圓的圓心距為 ．
9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是鈍角
(1)求作，使得圓心在邊上，且經(jīng)過點（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)與的另一個交點為D，且求證：是的切線。
10．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）已知中，．根據(jù)作圖過程，解決下列問題．
【作圖過程】：以點A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB、AC于H、L點，分別以點H、L為圓心、大于的長為半徑畫弧交于點K，作射線AK；以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BC、BA于E、F點，分別以E、F為圓心、大于的長為半徑畫弧交于點G，作射線BG交射線AK于點O，過點O作于點M，點M為垂足，以點O為圓心，OM為半徑作．
【解決問題】：(1)證明：是的內(nèi)切圓；(2)若，，求的半徑．
11．（2023·廣東佛山·一模）如圖，內(nèi)接于⊙O，且為的直徑，，與交于點E，與過點C的的切線交于點D，交于點F．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的長；(3)當(dāng)點F為的中點時，直接寫出的值．
1．（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）在中，，下列說法錯誤的是（　　）
A． B．
C．內(nèi)切圓的半徑 D．當(dāng)時，是直角三角形
2．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，的直徑，是弦，，，，的延長線與的延長線相交于點，的延長線與的延長線相交于點，連接．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①；②是的切線；③B，E兩點間的距離是；④．

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點，交于點，延長，交于點．(1)求證：是的切線；(2)求證：；
(3)若，求的值．

4．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，以為直徑的與交于點D，點是的中點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，點P是上一動點，求的最大值．

5．（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．(1)填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．

21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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