資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形與四邊形
第一節 幾何圖形初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 線段、射線、直線 ☆ 該專題內容是初中幾何的基礎，在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，預計2024年各地中考還將出現. 大部分地區在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握．對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待..
考點2 角 ☆☆
考點3相交線 ☆
考點4 平行線的判定與性質 ☆☆
1．線段向一方無限延伸就成為 ．線段向兩方無限延伸就成為 ．線段是直線上兩點間的部分，射線是直線上某一點一旁的部分．
2．直線有以下的基本事實： ．
線段有以下的基本事實： ．
連結兩點的 叫做這兩點間的距離．
3．由兩條有 的 所組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做這個角的 ．角也
可以看成是由一條 繞著它的端點旋轉而成的圖形．
1周角＝ 平角＝ 直角＝360°；1°＝ ，1′＝ ．
4．如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角 ，簡稱互余．同角或等角的
余角相等．
如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角 ，簡稱互補．同角或等角的補角相等．
5．兩條直線相交，只有 個交點．兩條直線相交形成四個角，我們把其中相對的任何一對
角叫做對頂角．對頂角 ．
6．當兩條直線相交所構成的四個角中有一個是直角時，我們說這兩條直線 ，其中
的一條直線叫做另一條直線的 ，它們的交點叫做 ．
從直線外一點到這條直線的 ，叫做點到直線的距離．在同一平面內，過一點有 條直線垂直于已知直線．連結直線外一點與直線上各點的所有線段中， 最短．
7．垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的 ，簡稱中垂線．
8．在同一平面內，不相交的兩條直線叫做 ．經過直線外一點，有 條直線與這條直線平行．
9．平行線的判定及性質：
(1)判定：
①在同一平面內， 的兩條直線叫做平行線．
②同位角 ，兩直線平行．
③內錯角 ，兩直線平行．
④同旁內角 ，兩直線平行．
⑤在同一平面內， 同一條直線的兩條直線互相平行．
⑥ 同一條直線的兩條直線互相平行．
(2)性質：
①兩直線平行， ．
②兩直線平行， ．
③兩直線平行， ．
■考點一　線段、射線、直線的概念、度量及計算
◇典例1：（2021 包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
◆變式訓練
1．（2023 婺城區模擬）如圖，小亮為將一個衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個釘子進行固定，用數學知識解釋他這樣操作的原因，應該是（　　）
A．過一點有無數條直線 B．兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離
C．兩點確定一條直線 D．兩點之間，線段最短
2．（2023 桃城區校級模擬）下列四個圖中，能表示線段x＝a+c﹣b的是（　　）
A． B．
C． D．
■考點二 角的概念、度量及計算
◇典例2：（2022 麗水模擬）將一副直角三角尺按如圖所示的不同方式擺放，則圖中∠α與∠β不一定相等的是（　　）
A． B． C．D．
◆變式訓練
1．（2021 興安盟）74°19′30″＝　 　°．
2．（2023 河北一模）如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數可能（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2023 北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
■考點三 兩直線相交及其性質
◇典例3：（2023 魯山縣一模）如圖，已知直線AB，CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠AOD＝120°，則∠EOB度數是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
◆變式訓練
1．（2022 河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數為（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
2．（2023 余杭區二模）點A為直線BC外一點，AC⊥BC于點C，AC＝6．點P是直線BC上的動點，則線段AP長可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
■考點四　 平行線的判定與性質
◇典例4： 1．（2023 南潯區二模）如圖，直線a，b被直線c所截，且a∥b．若∠1＝50°，則∠2＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．（2023 縉云縣一模）如圖是一款教室護眼燈AB，用兩根電線AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，為保證護眼燈AB與天花板EF平行，添加下列條件中，正確的是（　　）
A．∠BDC＝90° B．∠BDF＝90° C．∠BAC＝90° D．∠ACE＝90°
◆變式訓練
1．（2022 杭州）如圖，已知AB∥CD，點E在線段AD上（不與點A，點D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．（2021 嘉興二模）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．試探究：
（1）如圖1，∠B與∠E的關系是　 　；
（2）如圖2，寫出∠B與∠E的關系，并說明理由；
（3）根據上述探究，請歸納得到一個真命題．
1．（2023 義烏市模擬）若∠α＝60°32'，則∠α的余角是（　　）
A．29°68' B．29°28' C．119°68' D．119°28'
2．（2021 臺州）小光準備從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，但導航提供的三條可選路線長卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點確定一條直線
3．（2023 金華模擬）已知∠α＝76°22′，則∠α的補角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
4．（2023 西湖區三模）如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，點P是直線CB上動點，則線段AP長度不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022 蕭山區校級一模）在∠AOB的內部任取一點C，作射線OC，那么有（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC
6．（2023 金華模擬）一艘輪船從A港出發，沿著北偏東60°的方向航行，行駛至B處時發現前方有暗礁，所以轉向北偏西25°方向航行，到達C后需要把航向恢復到出發時的航向，此時輪船航行的航向向順時針方向轉過角度α的度數為（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（2022 婺城區模擬）木工師傅用刨子可將木板刨平，如圖，經過刨平的木板上的兩個點，而且只能彈出一條墨線，其數學原理為（　　）
A．兩點之間線段最短 B．垂線段最短
C．兩點確定一條直線 D．兩邊之和大于第三邊
8．（2023 上城區一模）如圖，點A為直線BD外一點，AC⊥BD，垂足為點C，點A到直線BD的距離是線段（　　）的長度．
A．AC B．CD C．BC D．AD
9．（2023 金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
10．（2021 臺州）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（　　）
A．40° B．43° C．45° D．47°
11．（2023 仙居縣一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3的度數為（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
12．（2023 濱江區二模）已知點A，B，C是直線l上互不重合的三個點，設AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常數，（　　）
A．若0＜n≤1，則點A在點B，C之間 B．若2＜n≤3，則點A在點B，C之間
C．若0＜n≤1，則點C在點A，B之間 D．若2＜n≤3，則點C在點A，B之間
13．（2022 桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝　　cm．
14．（2023 臺州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數為 　　．
15．（2021 長興縣模擬）比較大小：38°15′　　38.15°（選填“＞”“＜”“＝”）．
16．（2023 金東區二模）如圖，AD∥BC，點E是BA延長線上一點，∠E＝∠DCE．
（1）求證：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度數．
17．（2023 樂清市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠1與∠2互補．
（1）求證：EF∥BD．
（2）若∠A＝65°，∠AEF＝80°，求∠CBD的度數．
18．（2023 鹿城區二模）如圖，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分別于點D、E，已知∠1＝∠2．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）當AC＝BC時，請判斷DE與BE的大小關系，并說明理由．
1．（2023 臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
2．（2022 陜西）若∠A＝48°，則∠A的補角的度數為（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
3．（2023 蓮池區二模）下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（　　）
A．B． C． D．
4．（2021 杭州）如圖，設點P是直線l外一點，PQ⊥l，垂足為點Q，點T是直線l上的一個動點，連結PT，則（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．（2023 海淀區校級模擬）如圖，已知∠AOC＝90°，∠COB＝60°，OD平分∠AOB，則∠COD的度數是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．15°
6．（2023 銅仁市模擬）已知A、B、C為直線l上的三點，線段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C兩點間的距離是（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．以上說法都不對
7．（2023 長興縣二模）如圖，點A、D在射線AE上，直線AB∥CD，∠CDE＝140°，那么∠A的度數為（　　）
A．140° B．60° C．50° D．40°
8．（2022 貴陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，則點B到AC的距離是（　　）
A．線段AB的長度 B．線段BC的長度 C．線段BD的長度 D．線段DE的長度
9．（2021 金華）某同學的作業如下框，其中※處填的依據是（　　）
如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4． 請完成下面的說理過程． 解：已知∠1＝∠2， 根據（內錯角相等，兩直線平行），得l1∥l2． 再根據（※），得∠3＝∠4．
A．兩直線平行，內錯角相等 B．內錯角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內角互補
10．（2023 余杭區二模）如圖，直線a∥b，點B在直線a上，AB⊥BC，若∠1＝40°，則∠2的度數為（　　）
A．40° B．50° C．80° D．140°
11．（2022 蘭溪市模擬）小明從A處出發沿北偏東50°方向行走至B處，又從B處沿南偏東70°方向行走至C處，則∠ABC等于（　　）
A．20° B．100° C．120° D．160°
12．（2022 拱墅區模擬）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，過點A作AD⊥CD于點D，若AB＝，CD＝，則AC的長可能是（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
13．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（　　）
A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定
14．（2023 豐潤區模擬）如圖，直線l上有三點A，B，C，AB＝5，BC＝10，點P，Q分別從點A，B同時出發，向點C移動，點P的速度是m個單位長/秒，點Q的速度是n個單位長/秒，2m＜3n，那么（　　）
A．點P先到 B．點Q先到
C．點P，Q同時到 D．無法確定哪點先到
15．（2022 錢塘區二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝　　．
16．（2022 桂林）如圖，直線l1，l2相交于點O，∠1＝70°，則∠2＝　　°．
17．（2023 樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為 　　．
18．（2023 杭州）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點F在線段BC的延長線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝　　．
19．（2022 叢臺區校級三模）如圖，直線a，b，c在同一平面內，直線a，c交于點O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的銳角為 　　；
（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉 　　°時，可使直線a⊥b．
20．（2023 柯城區校級一模）已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝100，線段BC的中點為Q，BC＝60，則線段PQ的長為　　．
21．（2021 饒平縣校級模擬）如圖，已知直線AB和CD相交于點O，∠COE為直角，OF平分∠AOE，∠COF＝28°．求∠BOE的度數．
22．（2023 新城區一模）如圖，B，F，E，C在同一條直線上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度數．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求證：AB∥CD．
23．（2021 溫州三模）如圖，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．
（1）請說明BD∥FG的理由．
（2）若D是AC的中點，F是BC的中點，已知AB＝4，BC＝3，求FG的長度．
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第四章 三角形與四邊形
第一節 幾何圖形初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 線段、射線、直線 ☆ 該專題內容是初中幾何的基礎，在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，預計2024年各地中考還將出現. 大部分地區在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握．對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待..
考點2 角 ☆☆
考點3相交線 ☆
考點4 平行線的判定與性質 ☆☆
1．線段向一方無限延伸就成為射線．線段向兩方無限延伸就成為直線．線段是直線上兩點間的部分，射線是直線上某一點一旁的部分．
2．直線有以下的基本事實：經過兩點有一條而且只有一條直線．
線段有以下的基本事實：兩點之間線段最短．
連結兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離．
3．由兩條有公共端點的射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做這個角的頂點．角也
可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形．
1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ．
4．如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余．同角或等角的
余角相等．
如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角互為補角，簡稱互補．同角或等角的補角相等．
5．兩條直線相交，只有一個交點．兩條直線相交形成四個角，我們把其中相對的任何一對
角叫做對頂角．對頂角相等．
6．當兩條直線相交所構成的四個角中有一個是直角時，我們說這兩條直線互相垂直，其中
的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線．連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
7．垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．
8．在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
9．平行線的判定及性質：
(1)判定：
①在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．
②同位角相等，兩直線平行．
③內錯角相等，兩直線平行．
④同旁內角互補，兩直線平行．
⑤在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．
⑥平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
(2)性質：
①兩直線平行，同位角相等．
②兩直線平行，內錯角相等．
③兩直線平行，同旁內角互補．
■考點一　線段、射線、直線的概念、度量及計算
◇典例1：（2021 包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【考點】兩點間的距離．
【答案】C
【點撥】根據題意可分為兩種情況，①點C在線段AB上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案；②BC在線段AB的延長線上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案．
【解析】解：根據題意分兩種情況，
①如圖1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是線段AC的中點，
∴AD＝＝；
②如圖2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是線段AC的中點，
∴AD＝＝×6＝3．
∴線段AD的長為1或3．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了兩點之間的距離，正確理解題目并進行分情況進行計算是解決本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 婺城區模擬）如圖，小亮為將一個衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個釘子進行固定，用數學知識解釋他這樣操作的原因，應該是（　　）
A．過一點有無數條直線 B．兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離
C．兩點確定一條直線 D．兩點之間，線段最短
【考點】直線的性質：兩點確定一條直線．
【答案】C
【點撥】根據公理“兩點確定一條直線”來解答即可．
【解析】解：因為“兩點確定一條直線”，所以他在衣架兩端各用一個釘子進行固定．
故選：C．
【點睛】本題考查的是直線的性質，即兩點確定一條直線．
2．（2023 桃城區校級模擬）下列四個圖中，能表示線段x＝a+c﹣b的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】直線、射線、線段．
【答案】B
【點撥】根據線段的和差即可得出答案．
【解析】解：根據線段的和差可得，
能表示線段x＝a+c﹣b的是B，
故選：B．
【點睛】本題考查了線段的和差，掌握線段的和差是解題的關鍵．
■考點二 角的概念、度量及計算
◇典例2：（2022 麗水模擬）將一副直角三角尺按如圖所示的不同方式擺放，則圖中∠α與∠β不一定相等的是（　　）
A． B． C．D．
【考點】余角和補角．
【答案】B
【點撥】A、由圖形可分別求出∠α＝∠β＝45°，即可做出判斷；
B、由圖形可得兩角互余，即可做出判斷；
C、由對頂角相等可得∠α＝∠β，即可做出判斷；
D、根據同角的余角相等，即可做出判斷．
【解析】解：A、由圖形可得∠β＝45°，∠α＝∠90°﹣45°＝45°，則∠α＝∠β＝45°，故A不符合題意；
B、由圖形可得∠α+∠β＝90°，故B符合題意；
C、由對頂角相等得：∠α＝∠β，故C不符合題意；
D、根據同角的余角相等，得：∠α＝∠β，故D不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題主要考查余角，解答的關鍵是對余角的定義的掌握．
◆變式訓練
1．（2021 興安盟）74°19′30″＝　74.325　°．
【考點】度分秒的換算．
【答案】74.325
【點撥】先將30″化成“分”，再將19.5′化成“度”即可．
【解析】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案為：74.325．
【點睛】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進率和換算方法是得出正確答案的前提．
2．（2023 河北一模）如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數可能（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考點】角的大小比較．
【答案】C
【點撥】結合三角板的相應的角的度數與∠AOB的比較，可判斷∠AOB的范圍，從而可求解．
【解析】解：由圖1可得∠AOB＜45°，由圖2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故選：C．
【點睛】本題主要考查角的大小的比較，解答的關鍵是由圖比較出∠AOB的范圍．
3．（2023 北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
【考點】余角和補角．
【答案】C
【點撥】先求出∠COD的度數，然后根據∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故選：C．
【點睛】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，根據角的和差首先求出∠COD的度數．
■考點三 兩直線相交及其性質
◇典例3：（2023 魯山縣一模）如圖，已知直線AB，CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠AOD＝120°，則∠EOB度數是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【考點】對頂角、鄰補角；角平分線的定義．
【答案】B
【點撥】根據對頂角相等可得∠BOC＝120°，再根據角平分線的性質，可得，進而得到答案．
【解析】解：∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE平分∠COB，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了對頂角相等和角平分線的定義等知識，掌握對頂角相等是關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數為（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【考點】垂線；對頂角、鄰補角．
【答案】B
【點撥】首先利用垂直的定義得到∠COE＝90°，然后利用平角的定義即可求解．
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了垂直的定義和平角的性質計算，要注意領會由垂直得直角這一要點．
2．（2023 余杭區二模）點A為直線BC外一點，AC⊥BC于點C，AC＝6．點P是直線BC上的動點，則線段AP長可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考點】垂線段最短．
【答案】D
【點撥】利用垂線段最短得到AP≥AC，然后對各選項進行判斷．
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥6．
故選：D．
【點睛】本題考查了垂線段最短：垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．
■考點四　 平行線的判定與性質
◇典例4： 1．（2023 南潯區二模）如圖，直線a，b被直線c所截，且a∥b．若∠1＝50°，則∠2＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考點】平行線的性質．
【答案】C
【點撥】由平行線的性質：兩直線平行內錯角相等，即可得到答案．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝50°．
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是掌握平行線的性質．
2．（2023 縉云縣一模）如圖是一款教室護眼燈AB，用兩根電線AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，為保證護眼燈AB與天花板EF平行，添加下列條件中，正確的是（　　）
A．∠BDC＝90° B．∠BDF＝90° C．∠BAC＝90° D．∠ACE＝90°
【考點】平行線的判定．
【答案】C
【點撥】根據平行線的判定逐項分析即可得到結論．
【解析】解：A、由∠BDC＝90°，不能判定AB∥EF，故該選項不符合題意；
B、由∠BDF＝90°，不能判定AB∥EF，故該選項不符合題意；
C、由∠BAC＝90°，能判定AB∥EF，故該選項符合題意；
D、由∠ACE＝90°，不能判定AB∥EF，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 杭州）如圖，已知AB∥CD，點E在線段AD上（不與點A，點D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考點】平行線的性質；三角形的外角性質．
【答案】C
【點撥】由∠AEC為△CED的外角，利用外角性質求出∠D的度數，再利用兩直線平行內錯角相等即可求出∠A的度數．
【解析】解：∵∠AEC為△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行線的性質，以及外角性質，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．
2．（2021 嘉興二模）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．試探究：
（1）如圖1，∠B與∠E的關系是　∠B＝∠E　；
（2）如圖2，寫出∠B與∠E的關系，并說明理由；
（3）根據上述探究，請歸納得到一個真命題．
【考點】平行線的判定與性質．
【答案】（1）∠B＝∠E，證明見解析；
（2）∠B+∠E＝180°，證明見解析；
（3）如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補．
【點撥】（1）根據平行線的性質得出∠B＝∠1，∠1＝∠E，即可得出答案；
（2）根據平行線的性質得出∠B+∠1＝180°，∠1＝∠E，即可得出答案；
（3）根據（1）（2）可推出，如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補．
【解析】解：（1）∠B＝∠E，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補．
【點睛】本題主要考查平行線的性質、命題與證明，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
1．（2023 義烏市模擬）若∠α＝60°32'，則∠α的余角是（　　）
A．29°68' B．29°28' C．119°68' D．119°28'
【考點】余角和補角；度分秒的換算．
【答案】B
【點撥】根據余角的定義解答即可．
【解析】解：若∠α＝60°32'，則∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．
故選：B．
【點睛】本題考查余角的定義．掌握和為90°的兩角互為余角是解題的關鍵．
2．（2021 臺州）小光準備從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，但導航提供的三條可選路線長卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點確定一條直線
【考點】線段的性質：兩點之間線段最短；垂線段最短；直線的性質：兩點確定一條直線．
【答案】A
【點撥】根據線段的性質，可得答案．
【解析】解：從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，理由是兩點之間線段最短，
故選：A．
【點睛】本題考查了線段的性質，熟記線段的性質并應用是解題的關鍵．
3．（2023 金華模擬）已知∠α＝76°22′，則∠α的補角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
【考點】余角和補角；度分秒的換算．
【答案】A
【點撥】根據補角的定義：若兩個角的和為180°，則這兩個角互補，列出式子計算即可．
【解析】解：180°﹣76°22′＝103°38′，
故選：A．
【點睛】本題考查了補角的定義，度分秒的換算，掌握1°＝60′是解題的關鍵．
4．（2023 西湖區三模）如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，點P是直線CB上動點，則線段AP長度不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】垂線段最短．
【答案】A
【點撥】由垂線段的性質：垂線段最短，即可得到答案．
【解析】解：∠ACB＝90°，AC＝4，點P是直線CB上動點，則線段AP長度不可能是3．
故選：A．
【點睛】本題考查垂線段最短，關鍵是掌握垂線段的性質：垂線段最短．
5．（2022 蕭山區校級一模）在∠AOB的內部任取一點C，作射線OC，那么有（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC
【考點】角的大小比較．
【答案】D
【點撥】根據題意畫出圖，觀察圖即可得答案．
【解析】解：如圖：
∵C點是∠AOB內部任一點，
∴∠AOC與∠BOC的大小無法確定，
由圖可知∠AOB必大于∠AOC，
故選：D．
【點睛】本題考查角的大小比較，能夠根據題意畫出圖是解題的關鍵．
6．（2023 金華模擬）一艘輪船從A港出發，沿著北偏東60°的方向航行，行駛至B處時發現前方有暗礁，所以轉向北偏西25°方向航行，到達C后需要把航向恢復到出發時的航向，此時輪船航行的航向向順時針方向轉過角度α的度數為（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考點】方向角；平行線的性質．
【答案】C
【點撥】根據平行線的性質以及三角形的外角性質解答即可．
【解析】解：如圖，
由題意可知，AM∥BD，AB∥CE，
∴∠A+∠ABD＝180°，∠BDC+∠ABD＝180°，
∴∠BDC＝∠A＝60°，
∴∠α＝∠BDC+∠CBD＝60°+25°＝85°．
故選：C．
【點睛】此題考查平行線的性質及方向角的定義，正確理解方向角是關鍵．
7．（2022 婺城區模擬）木工師傅用刨子可將木板刨平，如圖，經過刨平的木板上的兩個點，而且只能彈出一條墨線，其數學原理為（　　）
A．兩點之間線段最短 B．垂線段最短
C．兩點確定一條直線 D．兩邊之和大于第三邊
【考點】垂線段最短；直線的性質：兩點確定一條直線；線段的性質：兩點之間線段最短．
【答案】C
【點撥】由直線的性質：兩點確定一條直線，即可得到答案．
【解析】解：經過刨平的木板上的兩個點，而且只能彈出一條墨線，其數學原理為：兩點確定一條直線．
故選：C．
【點睛】本題考查直線的性質，關鍵是掌握直線的性質：兩點確定一條直線．
8．（2023 上城區一模）如圖，點A為直線BD外一點，AC⊥BD，垂足為點C，點A到直線BD的距離是線段（　　）的長度．
A．AC B．CD C．BC D．AD
【考點】點到直線的距離．
【答案】A
【點撥】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，由此即可判斷．
【解析】解：AC⊥BD，垂足為點C，點A到直線BD的距離是線段AC的長度．
故選：A．
【點睛】本題考查點到直線的距離，關鍵是掌握點到直線的距離的定義．
9．（2023 金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【考點】平行線的判定與性質．
【答案】C
【點撥】由同位角相等兩直線平行得到a與b平行，再由兩直線平行同旁內角互補，求出∠5的度數，根據對頂角相等即可求出∠4的度數．
【解析】解：∵∠1＝∠3＝50°，
∴a∥b，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴∠5＝130°，
∴∠4＝∠5＝130°．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．
10．（2021 臺州）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（　　）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【考點】平行線的性質．
【答案】B
【點撥】直接利用三角形外角的性質結合平行線的性質和三角形內角和定理得出答案．
【解析】解：方法1：如圖，∵∠1＝47°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝92°，
∵矩形對邊平行，
∴∠5＝∠3＝92°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．
方法2：如圖，作矩形兩邊的平行線，
∵矩形對邊平行，
∴∠3＝∠1＝47°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣47°＝43°
∴∠2＝∠4＝43°．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質、平行線的性質，正確得出∠3的度數是解題關鍵．
11．（2023 仙居縣一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3的度數為（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【考點】平行線的性質．
【答案】D
【點撥】過∠2頂點作直線l∥支撐平臺，直線l將∠（2分）成兩個角即∠4、∠5，根據平行線的性質即可求解．
【解析】解：如圖所示，過∠2頂點作直線l∥支撐平臺，直線l將∠2分成兩個角∠4和∠5，
∵工作籃底部與支撐平臺平行、直線l∥支撐平臺，
∴直線l∥支撐平臺∥工作籃底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．
12．（2023 濱江區二模）已知點A，B，C是直線l上互不重合的三個點，設AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常數，（　　）
A．若0＜n≤1，則點A在點B，C之間 B．若2＜n≤3，則點A在點B，C之間
C．若0＜n≤1，則點C在點A，B之間 D．若2＜n≤3，則點C在點A，B之間
【考點】線段的和差；根的判別式．
【答案】D
【點撥】根據點A，B，C是直線上互不重合的三個點，設當點A在點B，C之間時，BC＝BA+AC恒成立；設點C在點A，B之間時，AB＝AC+CB恒成立；分別代入求解即可．
【解析】解：當點A在點B，C之間時，BC＝BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
（2na+1）＝（a2+a+4）+（na），
化簡得a2+（1﹣n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣n）2﹣12．
若0≤n≤1，則Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合條件，故A選項錯誤；
若2＜n≤3，則Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合條件，故B選項錯誤；
當點C在點A，B之間時，AB＝AC+CB恒成立，即方程至少有一解，
（a2+a+4）＝（2na+1）+（na），
化簡得a2+（1﹣3n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣3n）2﹣12．
若0＜n≤1，則Δ＝（1﹣3n）2﹣12＜0，不符合條件，故C選項錯誤；
若2＜n≤3，則Δ＝（1﹣3n）2﹣12＞0，符合條件，故D選項正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了線段的和與差，一元二次方程根的判定，依據題意，列方程，結合選項進行驗證是解題的關鍵．
13．（2022 桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝　4　cm．
【考點】兩點間的距離．
【答案】4．
【點撥】根據中點的定義可得AB＝2AC＝4cm．
【解析】解：根據中點的定義可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查中點的定義，熟知中點的定義是解題關鍵．
14．（2023 臺州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數為 　140°　．
【考點】平行線的性質．
【答案】140°．
【點撥】利用平行線的性質和各角之間的關系即可求解．
【解析】解：如圖，標注三角形的三個頂點A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵圖案是由一張等寬的紙條折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵紙條的長邊平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案為：140°．
【點睛】本題比較簡單，主要考查了平行線的性質的運用．
15．（2021 長興縣模擬）比較大小：38°15′　＞　38.15°（選填“＞”“＜”“＝”）．
【考點】度分秒的換算．
【答案】＞
【點撥】將38.15°化為38°9′，再進行比較即可得出答案．
【解析】解：∵0.15°＝0.15×60′＝9′，
∴38.15°＝38°9′，
∴38°15′＞38°9′，即38°15′＞38.15°，
故答案為：＞．
【點睛】本題考查度、分、秒換算，掌握度、分、秒的換算方法是得出正確的前提．
16．（2023 金東區二模）如圖，AD∥BC，點E是BA延長線上一點，∠E＝∠DCE．
（1）求證：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度數．
【考點】平行線的性質．
【答案】（1）見解答過程；
（2）86°．
【點撥】（1）先利用平行線的性質可得∠B＝∠EAD，再利用已知和平行線的判定可得EB∥CD，然后再利用平行線的性質可得∠D＝∠EAD，即可解答；
（2）根據已知可得∠DCE＝47°，再利用角平分線的定義可得∠BCE＝∠DCE＝47°，然后利用三角形內角和定理，進行計算即可解答．
【解析】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠E＝∠DCE，
∴EB∥CD，
∴∠D＝∠EAD，
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠E＝47°，∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠DCE＝47°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝47°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝86°．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質和三角形內角和定理是解題的關鍵．
17．（2023 樂清市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠1與∠2互補．
（1）求證：EF∥BD．
（2）若∠A＝65°，∠AEF＝80°，求∠CBD的度數．
【考點】平行線的判定與性質；多邊形內角與外角．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）35°．
【點撥】（1）由AB∥CD可得∠DBF＝∠1，結合∠1與∠2互補得∠2+∠DBF＝180°，據此即可得證；
（2）由三角形外角的性質可得∠2，再根據EF∥BD可求∠DBF，再根據平分線定義可得答案．
【解析】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠DBF＝∠1，
∵∠1與∠2互補，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠DBF＝180°，
∴EF∥BD；
（2）解：∵∠A＝65°，∠AEF＝80°，
∴∠2＝145°，
∵EF∥BD，
∴∠DBF＝180°﹣145°＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBF＝35°．
【點睛】本題主要考查多邊形的內角與外角、平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質、三角形的外角的性質及角平分線的性質．
18．（2023 鹿城區二模）如圖，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分別于點D、E，已知∠1＝∠2．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）當AC＝BC時，請判斷DE與BE的大小關系，并說明理由．
【考點】平行線的性質．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）DE＝BE，理由見解答過程．
【點撥】（1）根據平行線的性質和角平分線的定義解答即可；
（2）根據AC＝BC和等腰三角形的性質、平行線的性質，可以得到DE與BE的關系．
【解析】（1）證明：∵DE∥AB，
∴∠2＝∠BAE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BAE，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：DE＝BE，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AD＝BE，
∵∠1＝∠2，
∴AD＝DE，
∴DE＝BE．
【點睛】本題考查平行線的性質、等腰三角形的性質、角平分線的定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
1．（2023 臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【考點】角的概念．
【答案】C
【點撥】本題根據∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解析】解：根據∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了學生量角器的使用方法，結合∠ABC的位置進行思考是解題關鍵．
2．（2022 陜西）若∠A＝48°，則∠A的補角的度數為（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【考點】余角和補角．
【答案】C
【點撥】兩角相加為180°，則兩角互補．
【解析】解：180°﹣48°＝132°．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了補角的定義，正確把握定義是解題關鍵．
3．（2023 蓮池區二模）下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（　　）
A．B． C． D．
【考點】垂線段最短．
【答案】A
【點撥】由垂線段的性質：垂線段最短，即可判斷．
【解析】解：A、測量跳遠成績，可以用“垂線段最短”來解釋，故A符合題意；
B、C、可以用“兩點確定一條直線”來解釋，不可以用“垂線段最短”來解釋，故B、C 不符合題意；
D、可以用“兩點之間線段最短”來解釋，不可以用“垂線段最短”來解釋，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查垂線段的性質，關鍵是掌握垂線段最短．
4．（2021 杭州）如圖，設點P是直線l外一點，PQ⊥l，垂足為點Q，點T是直線l上的一個動點，連結PT，則（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【考點】垂線段最短．
【答案】C
【點撥】根據垂線的性質“垂線段最短”即可得到結論．
【解析】解：∵PQ⊥l，點T是直線l上的一個動點，連結PT，
∴PT≥PQ，
故選：C．
【點睛】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線的性質是解題的關鍵．
5．（2023 海淀區校級模擬）如圖，已知∠AOC＝90°，∠COB＝60°，OD平分∠AOB，則∠COD的度數是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．15°
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【答案】D
【點撥】先求出∠AOB＝60°+90°＝150°，再根據角平分線的定義求得∠BOD＝75°，把對應數值代入∠COD＝∠BOD﹣∠COB即可求解．
【解析】解：∵∠AOB＝60°+90°＝150°，
又∵OD平分∠AOB，，
∴∠BOD＝∠AOB＝×150°＝75°，，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠COB＝75°﹣60°＝15°．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和角的運算．找到等量關系∠COD＝∠BOD﹣∠COB是解題的關鍵．
6．（2023 銅仁市模擬）已知A、B、C為直線l上的三點，線段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C兩點間的距離是（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．以上說法都不對
【考點】兩點間的距離．
【答案】C
【點撥】分類討論：點C在線段AB上和點C在射線AB上兩種情況．
【解析】解：分兩種情況：
①點C在線段AB上，則AC＝AB﹣BC＝9﹣1＝8（cm）；
②點C在線段AB的延長線上，AC＝AB+BC＝9+1＝10（ cm）．
故選：C．
【點睛】本題考查了兩點間的距離．需要分類討論，以防漏解．
7．（2023 長興縣二模）如圖，點A、D在射線AE上，直線AB∥CD，∠CDE＝140°，那么∠A的度數為（　　）
A．140° B．60° C．50° D．40°
【考點】平行線的性質．
【答案】D
【點撥】延長CD，先根據補角的定義得出∠EFD的度數，再由平行線的性質即可得出結論．
【解析】解：延長CD，
∵∠CDE＝140°，
∴∠EDF＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EDF＝40°．
故選：D．
【點睛】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．
8．（2022 貴陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，則點B到AC的距離是（　　）
A．線段AB的長度 B．線段BC的長度 C．線段BD的長度 D．線段DE的長度
【考點】點到直線的距離．
【答案】C
【點撥】根據點到直線的距離的定義求解即可．
【解析】解：點到直線的距離是垂線段的長度．
因為求的是點B到AC的距離，
所以應該是點B向AC作垂線段，即線段BD的長度為其距離．
故選：C．
【點睛】本題考查了點到直線的距離的定義，數學學習中對概念的掌握要到位．熟練掌握點到直線或線段的距離的定義，學會用定義解決相關問題．
9．（2021 金華）某同學的作業如下框，其中※處填的依據是（　　）
如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4． 請完成下面的說理過程． 解：已知∠1＝∠2， 根據（內錯角相等，兩直線平行），得l1∥l2． 再根據（※），得∠3＝∠4．
A．兩直線平行，內錯角相等 B．內錯角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內角互補
【考點】平行線的判定與性質．
【答案】C
【點撥】先證l1∥l2，再由平行線的性質即可得出結論．
【解析】解：已知∠1＝∠2，根據內錯角相等，兩直線平行，得l1∥l2，
再根據兩直線平行，同位角相等，得∠3＝∠4．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
10．（2023 余杭區二模）如圖，直線a∥b，點B在直線a上，AB⊥BC，若∠1＝40°，則∠2的度數為（　　）
A．40° B．50° C．80° D．140°
【考點】平行線的性質；垂線．
【答案】B
【點撥】根據平角的定義得出∠3，進而利用平行線的性質解答即可．
【解析】解：∵AB⊥BC，
∴∠CBA＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠CBA﹣∠1＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故選：B．
【點睛】此題考查平行線的性質，關鍵是根據兩直線平行，同位角相等解答．
11．（2022 蘭溪市模擬）小明從A處出發沿北偏東50°方向行走至B處，又從B處沿南偏東70°方向行走至C處，則∠ABC等于（　　）
A．20° B．100° C．120° D．160°
【考點】方向角．
【答案】C
【點撥】根據題意畫出圖形，再求出50°與70°的和，進行計算即可解答．
【解析】解：如圖：
∴∠ABC＝50°+70°＝120°，
故選：C．
【點睛】本題考查了方向角，根據題目的已知條件畫出圖形進行分析是解題的關鍵．
12．（2022 拱墅區模擬）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，過點A作AD⊥CD于點D，若AB＝，CD＝，則AC的長可能是（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【考點】垂線段最短．
【答案】C
【點撥】根據垂線段最短即可得出結果．
【解析】解：在三角形ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＜AB，
∵AB＝，
∴AC2＜5，
∵AD⊥CD，
在Rt△ADC中，AC＞CD，
∵CD＝，
∴AC2＞3，
∵32＝9＞5，2.52＝6.25＞5，1.52＝2.25＜3，22＝4，3＜4＜5，
∴AC的長可能是2．
故選：C．
【點睛】本題考查垂線段最短，熟記垂線段最短是解題的關鍵．
13．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（　　）
A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定
【考點】兩點間的距離；整式的加減．
【答案】A
【點撥】用假設法分別計算各選項中的a值，再根據a＞0判斷即可．
【解析】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三點互不重合
∴a＞0，
若點A在B、C之間，
則AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情況存在，
若點B在A、C之間，
則BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情況不存在，
若點C在A、B之間，
則BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此時無解，
故C情況不存在，
∵互不重合的A、B、C三點在同一直線上，
故選：A．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離及整式的加減，分類討論和反證法的應用是解題的關鍵．
14．（2023 豐潤區模擬）如圖，直線l上有三點A，B，C，AB＝5，BC＝10，點P，Q分別從點A，B同時出發，向點C移動，點P的速度是m個單位長/秒，點Q的速度是n個單位長/秒，2m＜3n，那么（　　）
A．點P先到 B．點Q先到
C．點P，Q同時到 D．無法確定哪點先到
【考點】兩點間的距離．
【答案】B
【點撥】根據題意可得，P點從點A到點C所用時間為t1＝，Q點從點B到點C所用時間為t2＝，應用分式比較大小﹣作差法可得t1﹣t2＝＝＝，由2m＜3n，可得3n﹣2m＞0，即可得出答案．
【解析】解：根據題意可得，
P點從點A到點C所用時間為t1＝，
Q點從點B到點C所用時間為t2＝，
t1﹣t2＝＝＝，
∵2m＜3n，
∴3n﹣2m＞0，
∴t1﹣t2＞0，
∴Q點先到達．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了兩點間的距離及分式比較大小，熟練掌握兩點間的距離及分式比較大小的方法進行求解是解決本題的關鍵．
15．（2022 錢塘區二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝　118.345°　．
【考點】度分秒的換算．
【答案】118.345°．
【點撥】根據度分秒的進制進行計算即可解答．
【解析】解：∵1′＝60″，
∴42″＝0.7′，
∴20′+0.7′＝20.7′，
∵1°＝60′，
∴20.7′＝0.345°，
∴118°20'42''＝118.345°，
故答案為：118.345°．
【點睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．
16．（2022 桂林）如圖，直線l1，l2相交于點O，∠1＝70°，則∠2＝　70　°．
【考點】對頂角、鄰補角．
【答案】70．
【點撥】根據對頂角的性質解答即可．
【解析】解：∵∠1和∠2是一對頂角，
∴∠2＝∠1＝70°．
故答案為：70．
【點睛】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解答本題的關鍵．
17．（2023 樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為 　20°　．
【考點】角平分線的定義．
【答案】20°．
【點撥】根據鄰補角定義求得∠BOC的度數，再根據角平分線定義即可求得答案．
【解析】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分線，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故答案為：20°．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義，此為幾何中基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
18．（2023 杭州）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點F在線段BC的延長線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝　90°　．
【考點】平行線的性質；三角形的外角性質．
【答案】90°．
【點撥】由平行線的性質得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性質得到∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝28°，
∵∠ACF＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
故答案為：90°．
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，關鍵是由平行線的性質求出∠B的度數，由三角形外角的性質即可求出∠A的度數．
19．（2022 叢臺區校級三模）如圖，直線a，b，c在同一平面內，直線a，c交于點O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的銳角為 　25°　；
（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉 　65　°時，可使直線a⊥b．
【考點】對頂角、鄰補角．
【答案】（1）25°；
（2）65．
【點撥】（1）根據三角形的內角和定理求出∠3即可；
（2）過點O作直線b的垂線，根據三角形的內角和定理求出∠4即可．
【解析】解：（1）如圖，直線a、直線b相交的銳角為∠3，
∵∠1＝∠2+∠3，∠1＝75°，∠2＝50°，
∴∠3＝∠1﹣∠2
＝75°﹣50°
＝25°，
即直線a、直線b相交的銳角為25°，
故答案為：25°；
（2）如圖，過點O作OA⊥b，垂足為A，
∠4＝90°﹣∠3
＝90°﹣25°
＝65°，
即直線a繞著點O逆時針旋轉65°，
故答案為：65．
【點睛】本題考查對頂角、鄰補角，理解對頂角相等、掌握鄰補角的定義是正確解答的前提．
20．（2023 柯城區校級一模）已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝100，線段BC的中點為Q，BC＝60，則線段PQ的長為　20或80．　．
【考點】兩點間的距離．
【答案】20或80
【點撥】本題中由于點A、B、C的相對位置關系不明確，可分為點C在AB的延長線上和點C在AB上兩種情況求解；
先依據中點的定義求得PB、BQ的長，然后再依據Q、PB、BQ之間的和差關系求解即可．
【解析】解：①當點C在AB的延長線上時，如圖1所示
∵P是AB的中點，Q是BC的中點，
∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30，
∴PQ＝PB+QB＝50+30＝80．
②當點C在AB上時，如圖2所示：
∵點P是線段AB的中點，點Q是線段BC的中點
∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30．
∴PQ＝PB﹣QB＝50﹣30＝20．
綜上所述：PQ的長為20或80．
故答案為：20或80．
【點睛】本題考查的是線段的中點、線段的和差計算，對題目進行分類討論是解題的關鍵；
21．（2021 饒平縣校級模擬）如圖，已知直線AB和CD相交于點O，∠COE為直角，OF平分∠AOE，∠COF＝28°．求∠BOE的度數．
【考點】對頂角、鄰補角；角平分線的定義．
【答案】56°．
【點撥】首先計算出∠EOF的度數，進而可得∠AOF的度數，再利用平角定義可得∠BOE的度數．
【解析】解：∵∠COE為直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝62°，
∴∠EOB＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
【點睛】此題主要考查了鄰補角，關鍵是理清圖中角之間的關系．
22．（2023 新城區一模）如圖，B，F，E，C在同一條直線上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度數．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求證：AB∥CD．
【考點】平行線的判定．
【答案】（1）125°；
（2）證明過程見解答．
【點撥】（1）根據等量關系和三角形外角的性質可求∠BFD的度數．
（2）根據平角的定義和等量關系可得∠AEB＝∠CFD，再根據三角形內角和定理和平行線的判定即可求解．
【解析】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）證明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質，關鍵是熟悉內錯角相等，兩直線平行的知識點．
23．（2021 溫州三模）如圖，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．
（1）請說明BD∥FG的理由．
（2）若D是AC的中點，F是BC的中點，已知AB＝4，BC＝3，求FG的長度．
【考點】平行線的判定與性質．
【答案】（1）BD∥FG的理由詳見解答；
（2）．
【點撥】（1）由AB⊥BC，DE⊥AB可得到DE∥BC，根據平行線的性質得到∠1＝∠DBC結合∠1＝∠2可得結論；
（2）利用勾股定理先求出AC的長，再根據斜邊與其中線的關系求出BD的長，最后利用中位線定理求出FG．
【解析】解：（1）BD∥FG的理由如下：
∵AB⊥BC，DE⊥AB，
∴DE∥BC．
∴∠1＝∠DBC．
∵∠1＝∠2，
∴∠DBC＝∠2．
∴BD∥FG．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5．
∵D是AC的中點，
∴BD＝AC＝．
∵F是BC的中點，BD∥FG，
∴FG是△CBD的中位線．
∴FG＝BD＝．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質、中位線的性質等知識點，綜合性較強，學會分析，綜合利用各個知識點是解決本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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