資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第四章 三角形與四邊形
第二節(jié) 三角形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 三角形三邊關(guān)系 ☆☆☆ 在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識考察.
考點(diǎn)2 三角形的內(nèi)角與外角 ☆☆
考點(diǎn)3三角形的中線、高線、角平分線 ☆☆☆
考點(diǎn)4 三角形的面積問題 ☆☆
考點(diǎn)5 三角形的中位線 ☆☆
1．三角形的概念與分類
（1）概念：由三條線段首尾順次相接所圍成的平面圖形
（2）三角形的分類：
按邊的大小分：
按角的大小分：
2.三角形的邊角關(guān)系
(1)邊與邊：三角形任何兩邊的和 第三邊；任何兩邊的差小于第三邊．
(2)角與角：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 ，外角和等于 ；三角形的一個(gè)外角等于 ．
3．三角形中的重要線段
名稱 定義 性質(zhì)
角平分線 在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段 (1)AD是△ABC的角平分線 ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分線時(shí)可利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，證明線段相等，或構(gòu)造全等三角形
中線 連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與該頂點(diǎn)的對邊中點(diǎn)的線段 (1)AE是△ABC的中線 BE＝CE＝BC； (2)三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形； (3)中線位于一般三角形中，可利用倍長中線法解題
高線 從三角形的頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段 (1)AF是△ABC的高線 ∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通過作三角形的高線求三角形的面積或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解題
中位線 連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)的線段 (1)DE是△ABC的中位線 DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形的中位線，利用中位線的性質(zhì)來解題
■考點(diǎn)一　三角形三邊關(guān)系
◇典例1：（2022 金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金東區(qū)二模）若長度分別為a，2，3的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．8
2．（2023 微山縣二模）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊，且a，b滿足．則c的取值范圍是（　　）
A．c＞1 B．c＜2 C．1＜c≤2 D．1＜c＜3
■考點(diǎn)二 三角形的內(nèi)角與外角
◇典例2：（2023 通州區(qū)一模）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（　　）
A．75° B．60° C．105° D．120°
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 漳州模擬）如圖，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，則∠C的度數(shù)是（　　）
A．68° B．40° C．38° D．30°
2．（2020 富陽區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上一點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'落在邊BC上，若∠A＝50°，則∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　．
3．（2021 西湖區(qū)校級二模）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（　　）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2 C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
■考點(diǎn)三 三角形的中線、高線、角平分線
◇典例3：（2023 梁山縣二模）如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 拱墅區(qū)校級三模）若AM、AN分別是△ABC的高線和中線，AG是△ABC的角平分線，則（　　）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
2．（2022 陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 　　．
■考點(diǎn)四　 三角形的面積問題
◇典例4：（2023 德興市一模）如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別為BD、CE的中點(diǎn)，若△AEF的面積為3cm2，則△ABC的面積是 　　cm2．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 鄞州區(qū)校級模擬）如圖，AC，AD分別為△ABE的中線和高，AC＝AE，已知AD＝5，DE＝2，則△ABD面積為（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2023 梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點(diǎn)，則△ADE的面積等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
■考點(diǎn)五　 三角形的中位線
◇典例5：（2023 鹿城區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)F．若AD＝7，DE＝5，則BF的長為（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長為 　　cm．
2．（2022 寧波模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若，則DF的長為（　　）
A． B．1 C． D．2
1．（2022 杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（　　）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
2．（2023 臨平區(qū)校級二模）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
3．（2023 上城區(qū)二模）如圖，∠BCD為△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝（　　）
A．60° B．82° C．78° D．80°
4．（2023 金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
5．（2020 紹興）長度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2021 下城區(qū)校級四模）若△ABC的一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角，則（　　）
A．必有一個(gè)內(nèi)角等于30° B．必有一個(gè)內(nèi)角等于45°
C．必有一個(gè)內(nèi)角等于60° D．必有一個(gè)內(nèi)角等于90°
7．（2023 東陽市三模）在△ABC中，BC與BC邊上的中線長分別為8cm，4cm，則△ABC的面積不可能為（　　）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
8．（2022 麗水）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則四邊形BDEF的周長是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
9．（2023 臨平區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，AD．設(shè)∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（　　）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
10．（2021 浙江）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　　）
A． B． C． D．4
11．（2023 桐鄉(xiāng)市一模）若一個(gè)三角形的三邊長分別為3，4，x，且x是正整數(shù)，則x的值可以是 　　（寫出一個(gè)即可）．
12．（2023 柯城區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝　　°．
13．（2022 臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長為10，則CD的長為 　　．
14．（2023 臨海市一模）如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，則DE的長為 　　．
15．（2023 海曙區(qū)模擬）如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為 　　．
16．（2023 臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長AE，BF交于點(diǎn)G，AG長為c．
（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 　　；
（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 　　．
17．（2021 富陽區(qū)二模）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出海倫公式S＝（其中p＝），我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出了秦九韶公式S＝，若一個(gè)三角形的三邊長分別為2，2，3，請你選擇自己喜歡的公式計(jì)算這個(gè)三角形的面積．
18．（2023 永嘉縣校級二模）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點(diǎn)E，在邊AE上取點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠1＝∠D．
（1）求證：DF∥BC；
（2）當(dāng)∠A＝40°，∠DFE＝36°時(shí)，求∠2的度數(shù)．
19．（2023 湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長．
20．（2022 濱江區(qū)二模）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于F，且∠AFD＝∠B．
（1）求證：AE⊥BC．
（2）若∠AFD＝45°，∠BAC＝75°，，求△ABC的面積．
1．（2022 衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023 路北區(qū)二模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 金東區(qū)一模）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．（2021 諸暨市模擬）在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．
小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3．”
小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”
對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為（　　）
A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確
C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確
5．（2021 衢州）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2023 政和縣模擬）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝∠C C． D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．（2021 河北）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
證法1：如圖， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．
證法2：如圖， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器測量所得） 又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．
下列說法正確的是（　　）
A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理
8．（2023 灌云縣校級模擬）如圖，AD，BE分別為△ABC的中線和高線，△ABD的面積為5，AC＝4，則BE的長為（　　）
A．5 B．3 C．4 D．6
9．（2023 隴縣一模）在四邊形ABCD中，連接AC與BD，若AC⊥BD，且AC＝4，BD＝6，則四邊形ABCD的面積是（　　）
A．24 B．18 C．15 D．12
10．（2023 縉云縣二模）如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，且AF⊥BF，若AB＝12，BC＝20，則線段EF的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2023 任丘市三模）有四根長度分別為2，4，5，x（x為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾順次相接都能圍成一個(gè)三角形，則圍成的三角形的周長（　　）
A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14
12．（2023 西安一模）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，連接OA、OB、OC，若∠BAO＝35°，∠ACO＝15°，則∠BOC＝（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
13．（2023 長陽縣一模）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
14．（2021 新昌縣模擬）如圖，在△ABC中，若E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∠B＝50°，則∠BEF＝　　度．
15．（2022 寶應(yīng)縣一模）如果三角形的兩邊長分別是3和5，那么它的第三邊x的取值范圍是　　．
16．（2022 拱墅區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，則DE的長為 　　．
17．（2022 臺(tái)山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為22，AB比AC長3，則△ACD的周長為 　　．
18．（2023 大豐區(qū)校級模擬）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a、b滿足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝0，c為奇數(shù)，則c的取值為 　　．
19．（2023 徐匯區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD，若E是AD的中點(diǎn)，則＝　　．
20．（2023 宿城區(qū)一模）銳角△ABC中，∠A＝30°，AB＝1，則△ABC面積S的取值范圍是 　　．
21．（2023 鹿城區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD交EF于點(diǎn)G，已知AE＝EG．
（1）求證：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度數(shù)．
22．（2023 杭州二模）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，若AE＝AD，DF＝2．
（1）求證：DE為∠ADF的角平分線；
（2）求BD的長．
23．（2023 諸暨市模擬）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交直線CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．
①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，則∠EGC＝　50　°；
②若∠A＝90°，求∠EGC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
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第四章 三角形與四邊形
第二節(jié) 三角形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 三角形三邊關(guān)系 ☆☆☆ 在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識考察.
考點(diǎn)2 三角形的內(nèi)角與外角 ☆☆
考點(diǎn)3三角形的中線、高線、角平分線 ☆☆☆
考點(diǎn)4 三角形的面積問題 ☆☆
考點(diǎn)5 三角形的中位線 ☆☆
1．三角形的概念與分類
（1）概念：由三條線段首尾順次相接所圍成的平面圖形
（2）三角形的分類：
按邊的大小分：
按角的大小分：
2.三角形的邊角關(guān)系
(1)邊與邊：三角形任何兩邊的和大于第三邊；任何兩邊的差小于第三邊．
(2)角與角：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，外角和等于360°；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
3．三角形中的重要線段
名稱 定義 性質(zhì)
角平分線 在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段 (1)AD是△ABC的角平分線 ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分線時(shí)可利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，證明線段相等，或構(gòu)造全等三角形
中線 連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與該頂點(diǎn)的對邊中點(diǎn)的線段 (1)AE是△ABC的中線 BE＝CE＝BC； (2)三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形； (3)中線位于一般三角形中，可利用倍長中線法解題
高線 從三角形的頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段 (1)AF是△ABC的高線 ∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通過作三角形的高線求三角形的面積或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解題
中位線 連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)的線段 (1)DE是△ABC的中位線 DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形的中位線，利用中位線的性質(zhì)來解題
■考點(diǎn)一　三角形三邊關(guān)系
◇典例1：（2022 金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，可得第三邊x的長度范圍即可得出答案．
【解析】解：∵三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，
∴第三邊x的長度范圍為：3cm＜x＜13cm，
∴第三邊的長度可能是：6cm．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．注意已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金東區(qū)二模）若長度分別為a，2，3的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．8
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出a的范圍，判斷即可．
【解析】解：由三角形的三邊關(guān)系可知：3﹣2＜a＜3+2，
∴1＜a＜5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 微山縣二模）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊，且a，b滿足．則c的取值范圍是（　　）
A．c＞1 B．c＜2 C．1＜c≤2 D．1＜c＜3
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可．
【解析】解：由題意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
∵2﹣1＝1，1+2＝3，
∴1＜c＜3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角形三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形三邊關(guān)系．
■考點(diǎn)二 三角形的內(nèi)角與外角
◇典例2：（2023 通州區(qū)一模）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（　　）
A．75° B．60° C．105° D．120°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 漳州模擬）如圖，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，則∠C的度數(shù)是（　　）
A．68° B．40° C．38° D．30°
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由∠CBD是△ABC的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠CBD＝∠A+∠C，再代入各角的度數(shù)，即可求出∠C的度數(shù)．
【解析】解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠A+∠C，即68°＝38°+∠C，
∴∠C＝68°﹣38°＝30°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
2．（2020 富陽區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上一點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'落在邊BC上，若∠A＝50°，則∠1+∠2+∠3+∠4＝　230°　．
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根據(jù)∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案為：230°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2021 西湖區(qū)校級二模）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（　　）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2 C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】此題求的是∠A、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系，首先畫出折疊前的三角形，設(shè)為△BCF，可根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，首先表示出∠DEF的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到所求的結(jié)論．
【解析】解：如圖，設(shè)翻折前A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為F；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性質(zhì)知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻折變換、三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三 三角形的中線、高線、角平分線
◇典例3：（2023 梁山縣二模）如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】C
【點(diǎn)撥】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．依此即可求解．
【解析】解：∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，無法確定AE＝BE．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)是熟悉它們的定義和性質(zhì)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 拱墅區(qū)校級三模）若AM、AN分別是△ABC的高線和中線，AG是△ABC的角平分線，則（　　）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短解答即可．
【解析】解：∵線段AM，AN分別是△ABC的BC邊上的高線和中線，AG是△ABC的角平分線，
根據(jù)垂線段最短可知：AM≤AN，AM≤AG，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、高線和中線，根據(jù)垂線段最短判斷高線小于等于中線和角平分線是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 　9　．
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】9．
【點(diǎn)撥】由AD是△ABC的中線，得BD＝CD，又△ACD的周長為8，AC＝3，可得BD+AD＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解析】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周長為8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中線的概念和周長的求法．
■考點(diǎn)四　 三角形的面積問題
◇典例4：（2023 德興市一模）如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別為BD、CE的中點(diǎn)，若△AEF的面積為3cm2，則△ABC的面積是 　12　cm2．
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】12．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可．
【解析】解：∵F是CE的中點(diǎn)，，
∴，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面積＝12cm2．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 鄞州區(qū)校級模擬）如圖，AC，AD分別為△ABE的中線和高，AC＝AE，已知AD＝5，DE＝2，則△ABD面積為（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由等腰三角形的性質(zhì)可求出CE的長，進(jìn)而可求出△ACE的面積，再根據(jù)等底同高的三角形面積相等即可求出△ABD的面積，繼而可求出△ABD的面積．
【解析】解：∵AC＝AE，AD⊥CE，
∴CD＝DE＝2，
∴CE＝4，
∵AD＝5，
∴△ACE的面積＝×4×5＝10，
∵AC是△ABE的中線，
∴BC＝CE，
∴S△ABD＝S△ACE＝10，
∴△ABD的面積＝10+×2×5＝15．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線，高的概念和性質(zhì)，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2023 梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點(diǎn)，則△ADE的面積等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形面積公式，兩三角形同高，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊比，進(jìn)而求得答案．
【解析】解：∵在△ABD和△ACD中，邊BD與CD上的高相同，BD＝2CD，
∴根據(jù)三角形的面積公式，S△ABD＝S△ABC＝×30＝20．
同理，∵在△ADE和△BDE中，邊AE與BE上的高相同，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，根據(jù)三角形的面積公式，S△ADE＝S△ABD＝×20＝10．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題比較容易，主要考查三角形面積公式的運(yùn)用．
■考點(diǎn)五　 三角形的中位線
◇典例5：（2023 鹿城區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)F．若AD＝7，DE＝5，則BF的長為（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由三角形中位線定理知：AB＝2DE＝10．結(jié)合已知條件可以推知AF＝AD＝7，所以由圖形得到BF＝AB﹣AD．
【解析】解：∵以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，根據(jù)已知條件“以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)F”得到AF＝AD＝7是解題的突破口．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長為 　8　cm．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】8．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，
∴CD是△AOB的中位線，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 寧波模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若，則DF的長為（　　）
A． B．1 C． D．2
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理求出EF＝BE＝2，計(jì)算即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，
∴∠ABF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝BE＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
1．（2022 杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（　　）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解析】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；
C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
2．（2023 臨平區(qū)校級二模）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中線的定義即可判斷．
【解析】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．
3．（2023 上城區(qū)二模）如圖，∠BCD為△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝（　　）
A．60° B．82° C．78° D．80°
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【解析】解：∵∠A＝64°，∠BCD＝142°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝78°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
4．（2023 金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】C
【點(diǎn)撥】首先設(shè)第三條線段長為x cm，再利用三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，然后可得答案．
【解析】解：設(shè)第三條線段長為x cm，由題意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm適合，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．
5．（2020 紹興）長度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用三角形的三邊關(guān)系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過比較得到結(jié)論．
【解析】解：①長度分別為5、3、4，能構(gòu)成三角形，且最長邊為5；
②長度分別為2、6、4，不能構(gòu)成三角形；
③長度分別為2、7、3，不能構(gòu)成三角形；
④長度分別為6、3、3，不能構(gòu)成三角形；
綜上所述，得到三角形的最長邊長為5．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，利用了三角形中三邊的關(guān)系求解．注意分類討論，不重不漏．
6．（2021 下城區(qū)校級四模）若△ABC的一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角，則（　　）
A．必有一個(gè)內(nèi)角等于30° B．必有一個(gè)內(nèi)角等于45°
C．必有一個(gè)內(nèi)角等于60° D．必有一個(gè)內(nèi)角等于90°
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的概念計(jì)算即可．
【解析】解：∵三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角，
∴△ABC的一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角時(shí)，這個(gè)外角等于它的鄰補(bǔ)角，
∴這個(gè)三角形必有一個(gè)內(nèi)角等于90°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 東陽市三模）在△ABC中，BC與BC邊上的中線長分別為8cm，4cm，則△ABC的面積不可能為（　　）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
【考點(diǎn)】三角形的面積；垂線段最短．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，畫出圖形，作出輔助線，由垂線段最短即可解答．
【解析】
解：如圖，根據(jù)題意，AN為BC邊上的中線，過A作AM⊥BC于M，
由垂線段最短知，AM≤AN＝4cm，
∴
＝
＝4AM≤16cm2．
∴△ABC的面積不可能為32cm2．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合方法解答．
8．（2022 麗水）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則四邊形BDEF的周長是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【解析】解：∵D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE＝BF＝AB＝3，
∵E、F分別為AC、AB中點(diǎn)，
∴EF＝BD＝BC＝4，
∴四邊形BDEF的周長為：2×（3+4）＝14，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2023 臨平區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，AD．設(shè)∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（　　）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，用β的代數(shù)式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代數(shù)式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°，即可表示出∠B的度數(shù)．
【解析】解：由題意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握和運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)．
10．（2021 浙江）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　　）
A． B． C． D．4
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；等腰直角三角形．
【答案】A
【點(diǎn)撥】法一：分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，由中位線定理及勾股定理可分別表示出線段AG和FG的長，建立等式可求出結(jié)論．
法二：連接DF，AF，EF，利用中位線定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得△DFG是直角三角形，然后再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)求勾股定理求解．
【解析】解：如圖，分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，
∴四邊形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵點(diǎn)G和點(diǎn)F分別是線段DE和BC的中點(diǎn)，
∴GM和FN分別是△ADE和△ABC的中位線，
∴GM＝＝1，AM＝AE，
FN＝AC＝，AN＝AB＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，
∴PN＝1，F(xiàn)P＝，
設(shè)AE＝m，
∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，
∵AG＝GF，
∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，
解得m＝3，即AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造中位線是解題過程中常見思路．
11．（2023 桐鄉(xiāng)市一模）若一個(gè)三角形的三邊長分別為3，4，x，且x是正整數(shù)，則x的值可以是 　6（答案不唯一）　（寫出一個(gè)即可）．
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】6（答案不唯一）．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得x的取值范圍．
【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：4﹣3＜x＜4+3，
即：1＜x＜7，
而x是正整數(shù)，
則x的值可以是6，
故答案為：6（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍：大于已知兩邊的差，而小于兩邊的和．
12．（2023 柯城區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝　100　°．
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行線的性質(zhì)．
【答案】100．
【點(diǎn)撥】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．
【解析】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵DE∥AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案為：100．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180°和兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
13．（2022 臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長為10，則CD的長為 　10　．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】10．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線定理求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求出CD．
【解析】解：∵E，F(xiàn)分別為BC，CA的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF＝AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，AB＝20，
∴CD＝AB＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形的中位線定理，求得AB的長是解本題的關(guān)鍵．
14．（2023 臨海市一模）如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，則DE的長為 　2　．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】2．
【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)即可求出DE的長．
【解析】解：∵AB＝AC＝4，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝AB＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，正確應(yīng)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023 海曙區(qū)模擬）如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為 　　．
【考點(diǎn)】三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】．
【點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的長，再在Rt△CEB中求出BC的長，利用已知條件證得△DBC∽△CBA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出AB的長，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠CED＝90°，
∵∠CDB＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：，
∵∠DCB＝∠A，
又∵∠DBC＝∠CBA，
∴△DBC∽△CBA，
∴，
即，
解得：BA＝14，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積的計(jì)算方法，解直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023 臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長AE，BF交于點(diǎn)G，AG長為c．
（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 　5a+5b＝7c　；
（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 　a2+b2＝c2　．
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】（1）5a+5b＝7c；
（2）a2+b2＝c2．
【點(diǎn)撥】（1）由△ADE和△CBF是等邊三角形，可得△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根據(jù)四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；
（2）由S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即c2＝a2+b2，從而可得a2+b2＝c2．
【解析】解：（1）∵△ADE和△CBF是等邊三角形，
∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，
∴△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，
∴四邊形EHFG是平行四邊形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，
∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，
∵四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，
∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），
整理得：5a+5b＝7c，
故答案為：5a+5b＝7c；
（2）∵S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，
∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，
∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等邊三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
故答案為：a2+b2＝c2．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含a，b，c的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度．
17．（2021 富陽區(qū)二模）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出海倫公式S＝（其中p＝），我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出了秦九韶公式S＝，若一個(gè)三角形的三邊長分別為2，2，3，請你選擇自己喜歡的公式計(jì)算這個(gè)三角形的面積．
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】．
【點(diǎn)撥】直接利用三角形面積公式，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．
【解析】解：方法一：
∵一個(gè)三角形的三邊長分別為2，2，3，
∴S＝2
＝2
＝
＝．
方法二：
∵一個(gè)三角形的三邊長分別為2，2，3，
∴p＝＝，
∴S＝
＝
＝
＝．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形面積求法，正確運(yùn)用已知公式是解題關(guān)鍵．
18．（2023 永嘉縣校級二模）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點(diǎn)E，在邊AE上取點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠1＝∠D．
（1）求證：DF∥BC；
（2）當(dāng)∠A＝40°，∠DFE＝36°時(shí)，求∠2的度數(shù)．
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行線的判定與性質(zhì)．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）88°．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)CD平分∠ACB得到∠DCB＝∠1，再由∠1＝∠D等量代換推出∠DCB＝∠D，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．”即可得證；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，由CD平分∠ACB推出∠1的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠2的度數(shù)．
【解析】（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
又∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC．
（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠ACB＝52°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和等于180°和平行線的判定和性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．
19．（2023 湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
【答案】BD＝5，DE＝．
【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AB＝13，
【解析】解∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E為AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2022 濱江區(qū)二模）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于F，且∠AFD＝∠B．
（1）求證：AE⊥BC．
（2）若∠AFD＝45°，∠BAC＝75°，，求△ABC的面積．
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的面積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)CD⊥AB，可得∠B+∠BCD＝90°，根據(jù)對頂角相等可得∠B＝∠CFE，進(jìn)一步即可得證；
（2）先判定△ABE是等腰直角三角形，可得AE＝BE＝6，再解直角三角形可得CE的長，再求△ABC的面積即可．
【解析】（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
又∵∠AFD＝∠B，
∴∠B＝∠CFE，
∴∠CFE+∠BCD＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴AE⊥BC；
（2）解：∵∠AFD＝45°，
∴∠B＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵，
∴AE＝BE＝6，
∵∠BAC＝75°，
∴∠EAC＝30°，
∴EC＝AE tan30°＝，
∴BC＝6+，
∴△ABC的面積＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1．（2022 衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊直接列式計(jì)算即可．
【解析】解：∵線段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 路北區(qū)二模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】B
【點(diǎn)撥】直接利用高線的概念得出答案．
【解析】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
3．（2022 金東區(qū)一模）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解題即可．
【解析】解：如圖，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．
4．（2021 諸暨市模擬）在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．
小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3．”
小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”
對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為（　　）
A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確
C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】A
【點(diǎn)撥】要判斷是否存在這樣的三角形，可以利用反證法，從各自的已知條件入手進(jìn)行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的說明不存在這樣的三角形，不出現(xiàn)矛盾的說明存在這樣的三角形．
【解析】解：假設(shè)存在這樣的三角形，它的三條高的比是1：2：3，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為6：3：2，這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在；
假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中中線的2倍不小于其它兩邊和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在．
故兩人都不正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高；反證法是一種很重要的方法，在解決一些特殊問題時(shí)非常有用，注意學(xué)習(xí)掌握．
5．（2021 衢州）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線定理、線段中點(diǎn)的概念分別求出AD、DE、EF、AF，根據(jù)四邊形的周長公式計(jì)算即可．
【解析】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，
∴四邊形ADEF的周長＝AD+DE+EF+AF＝9，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
6．（2023 政和縣模擬）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝∠C C． D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和以及直角三角形的定義可進(jìn)行求解．
【解析】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得，不是直角三角形，故符合題意；
B、由∠A+∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，是直角三角形，
故不符合題意；
C、由及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，是直角三角形，
故不符合題意；
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，是直角三角形，
故不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．
7．（2021 河北）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
證法1：如圖， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．
證法2：如圖， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器測量所得） 又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．
下列說法正確的是（　　）
A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【答案】B
【點(diǎn)撥】依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，
∴A的說法不正確，不符合題意；
∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，
∴B的說法正確，符合題意；
∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，
∴C的說法不正確，不符合題意；
∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測量次數(shù)的多少無關(guān)，
∴D的說法不正確，不符合題意；
綜上，B的說法正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，定理的證明的一般步驟．依據(jù)定理的證明的一般步驟分析解答是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 灌云縣校級模擬）如圖，AD，BE分別為△ABC的中線和高線，△ABD的面積為5，AC＝4，則BE的長為（　　）
A．5 B．3 C．4 D．6
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】A
【點(diǎn)撥】首先利用中線的性質(zhì)可以求出△ABC的面積，然后利用三角形的面積公式即可求解．
【解析】解：∵AD為△ABC的中線，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵△ABD的面積為5，
∴S△ABC＝2S△ABD＝10，
∵BE為△ABC的高線，AC＝4，
∴S△ABC＝×AC×BE＝×4×BE＝10，
∴BE＝5．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的面積，同時(shí)也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性．
9．（2023 隴縣一模）在四邊形ABCD中，連接AC與BD，若AC⊥BD，且AC＝4，BD＝6，則四邊形ABCD的面積是（　　）
A．24 B．18 C．15 D．12
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的面積公式求出四邊形ABCD的面積＝BD AC，再代入求出答案即可．
【解析】解：設(shè)AC交BD于O，
∵AC⊥BD，AC＝4，BD＝6，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD
＝BD AO+BD CO
＝BD （AO+CO）
＝BD AC
＝
＝12．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，能求出對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積＝BD AC是解此題的關(guān)鍵．
10．（2023 縉云縣二模）如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，且AF⊥BF，若AB＝12，BC＝20，則線段EF的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】C
【點(diǎn)撥】先由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求出DF長，再證明DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算DE＝10，即可由EF＝DE﹣DF求解．
【解析】解：∵AF⊥BF，
∴△BFA是直角三角形，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴DF＝AB＝×12＝6，
∵D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝×20＝10，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣6＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
11．（2023 任丘市三模）有四根長度分別為2，4，5，x（x為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾順次相接都能圍成一個(gè)三角形，則圍成的三角形的周長（　　）
A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】D
【點(diǎn)撥】首先寫出所有的組合情況，再進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析即可得到答案．
【解析】解：根據(jù)題意可得：2、4、x，4、5、x，2、4、5，2、5、x都能組成三角形，
∴4﹣2＜x＜4+2，5﹣4＜x＜5+4，5﹣2＜x＜5+2，
即2＜x＜6，1＜x＜9，3＜x＜7，
∴3＜x＜6，
∵x為正整數(shù)，
∴x取4或5，
要組成的三角形的周長最小，即x＝4時(shí)，三邊為2，4，4，其最小周長為2+4+4＝10，
要組成的三角形周長最大，即x＝5時(shí)，三邊為4，5，5，其最大周長為4+5+5＝14，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，利用分類討論的思想，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2023 西安一模）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，連接OA、OB、OC，若∠BAO＝35°，∠ACO＝15°，則∠BOC＝（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵點(diǎn)O到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝15°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∠OAC＝∠OCA＝30°，
在△ABC中，∠OCB+∠OBC＝180°﹣15°×2﹣35°×2＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．
13．（2023 長陽縣一模）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解析】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正確；
∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③錯(cuò)誤；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．
14．（2021 新昌縣模擬）如圖，在△ABC中，若E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∠B＝50°，則∠BEF＝　130　度．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】130．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，
∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
15．（2022 寶應(yīng)縣一模）如果三角形的兩邊長分別是3和5，那么它的第三邊x的取值范圍是　2＜x＜8　．
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．
【答案】2＜x＜8
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．
【解析】解：由題意得：5﹣3＜x＜5+3，
即：2＜x＜8，
故答案為：2＜x＜8．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
16．（2022 拱墅區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，則DE的長為 　3　．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】3．
【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)即可求出DE的長．
【解析】解：∵AB＝AC＝4，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝AB＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，正確應(yīng)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022 臺(tái)山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為22，AB比AC長3，則△ACD的周長為 　19　．
【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．
【答案】19．
【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD＝DC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．
【解析】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝DC，
∵AB比AC長3，
∴AB＝AC+3，
∵△ABD的周長為22，
∴AB+AD+BD＝22，
∴AC+3+AD+DC＝22，
∴AC+AD+DC＝19，
∴△ACD的周長＝AC+AD+DC＝19，
故答案為：19．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．
18．（2023 大豐區(qū)校級模擬）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a、b滿足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝0，c為奇數(shù)，則c的取值為 　5或7　．
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【答案】5或7．
【點(diǎn)撥】先求出a，b，再結(jié)合三角形成立的條件，即可求解．
【解析】解：a，b滿足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝|3﹣b|+（a﹣6）2＝0，
則a＝6，b＝3，
∵a，b，c是△ABC的三邊長，
則a﹣b＜c＜a+b，即3＜c＜9，
∵c為奇數(shù)，
∴c＝5或7．
故答案為：5或7．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊的關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確理解三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
19．（2023 徐匯區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD，若E是AD的中點(diǎn)，則＝　6　．
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】6．
【點(diǎn)撥】設(shè)△ECD的面積為S，根據(jù)三角形面積公式，利用E是AD的中點(diǎn)得到S△ACD＝2S，再利用BD＝2CD得到S△ABD＝4S，所以S△ABC＝6S，從而得到的值．
【解析】解：設(shè)△ECD的面積為S，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴S△ACD＝2S△ECD＝2S，
∵BD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△ACD＝2×2S＝4S，
∴S△ABC＝2S+4S＝6S，
∴＝＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S＝×底×高，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是關(guān)鍵．
20．（2023 宿城區(qū)一模）銳角△ABC中，∠A＝30°，AB＝1，則△ABC面積S的取值范圍是 　＜s＜　．
【考點(diǎn)】三角形的面積．
【答案】＜s＜．
【點(diǎn)撥】由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．
【解析】解：若∠B＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝1，
∴BC＝，
∴S△ABC＝BA BC＝×1×1＝，
若∠C＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝1，
∴AC＝×1＝，BC＝，
∴S△ABC＝AC BC＝××1×＝，
∵△ABC是銳角三角形，
∴△ABC面積S的取值范圍是＜s＜．
故答案為：＜s＜．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023 鹿城區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD交EF于點(diǎn)G，已知AE＝EG．
（1）求證：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度數(shù)．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理．
【答案】（1）證明見解析；
（2）84°．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形中位線定理得出EF∥AB，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠C即可．
【解析】（1）證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，
∴∠EGA＝∠DAB，
∵AE＝EG，
∴∠EGA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD；
（2）解：∵EF∥AB，∠B＝32°，
∴∠DFG＝32°，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠EGA＝∠DGF＝32°，
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA＝32°，
∴∠C＝∠GDF﹣∠EAG＝116°﹣32°＝84°．
【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中位線定理得出EF∥AB解答．
22．（2023 杭州二模）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，若AE＝AD，DF＝2．
（1）求證：DE為∠ADF的角平分線；
（2）求BD的長．
【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】見解析
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝∠ADE，根據(jù)三角形中位線定理得到DF∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AED＝∠FDE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形中位線定理得到AE＝2DF＝4，求得AD＝4，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，
∴DF是△ACE的中位線，
∴DF∥AE，
∴∠AED＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE為∠ADF的角平分線；
（2）解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴BD＝AC＝AD＝4．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長．
23．（2023 諸暨市模擬）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交直線CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．
①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，則∠EGC＝　50　°；
②若∠A＝90°，求∠EGC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行線的性質(zhì)．
【答案】（1）①50°；②45°；
（2）∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，根據(jù)角平分線的定義，得∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠EGC＝∠DFE+∠FEG＝∠ACB+∠B．①將∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC＝∠ACB+∠B，即可求解；②∠EGC＝∠ACB+∠B＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，將∠A＝90°代入即可求解；
（2）點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，根據(jù)角平分線的定義，得∠HEF＝∠BEF＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，∠BCF＝∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣（∠ACB+∠B）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+∠A＝∠A；②當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長線上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，根據(jù)角平分線的定義，得∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠BEF＝∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
【解析】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，
∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，
∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B，
∵∠EGC是△EFG的外角，
∴∠EGC＝∠DFE+∠FEG＝∠ACB+∠B．
①將∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC＝∠ACB+∠B，
得∠EGC＝×40°+×60°＝50°．
故答案為：50°；
②∠EGC＝∠ACB+∠B＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
將∠A＝90°代入，得∠EGC＝90°﹣×90°＝45°；
（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DB上時(shí)，
∵EF∥BC，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，
∵CD平分∠ACB，EH平分∠BEF，
∴∠HEF＝∠BEF＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，∠BCF＝∠ACB，
∵∠HEF是△EFG的外角，
∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣（∠ACB+∠B）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+∠A＝∠A；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長線上時(shí)，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，
∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，
∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠BEF＝∠ABC，
∴∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
綜上所述，點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，利用角平分線定義，平行線的性質(zhì)結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，理清∠EGC與∠ABC和∠ACB之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
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