資源簡介

6.3.1 平面向量基本定理【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.基底的概念，培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第2題、第7題、第13題；
2.用基底表示向量，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第3題、第4題、第12題、第14題；
3.平面向量基本定理的應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第5題、第6題、第8題、第16題；
一、填空題
（2023·全國高一課時練習）
1．設，是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①與；②與；③與；④與．其中不能作為平面內所有向量的一組基底的是 ．（寫出所有滿足條件的序號）
（2024下·全國·高一專題練習）
2．在中，點為邊的中點，記，則 ．
（2023下·河南洛陽·高一校聯考階段練習）
3．在中，，若，則 .
（2024·廣東中山·高一校考階段練習）
4．已知向量是一個基底，實數x，y滿足，則 .
（2023·全國高一課時練習）
5．已知矩形ABCD中，對角線交于點O，若，則 .
（2023·高一課時練習）
6．設向量，若用表示，則 .
（2023下·高一課時練習）
7．如圖所示，向量，，的終點A，B，C在一條直線上，且．已知，，則 ．（用，表示）

（2023·全國·高一專題練習）
8．設，，分別為的三邊，，的中點，若，則 ．
（2024·全國·高一課時練習）
9．在四邊形中，，單位向量與平行，是的中點，，若在 中選兩個作為基本向量，來表示向量，則 .
（2023下·湖南岳陽·高一課時練）
10．在平行四邊形中，如圖，，依次是對角線上的兩個三等分點，設試用與表示和，則= ，= ．

二、解答題
（2023·全國高一課時練習）
11．如圖，在基底下，分解下列向量：，，，．

（2023·全國高一課時練習）
12．在平行四邊形中，.
（1）用，表示；
（2）若，，且，求.
（2024·江蘇泰州·高一?？茧A段練習）
13．設,是不平行的向量，且，．
(1)證明：,是平面向量的一個基底；
(2)用,的線性組合表示．
（2023下·遼寧大連·高一課時練）
14．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若.
（1）求的值
（2）若，，試用基底表示
【易錯題目】第1題、第2題、第12題
【復盤要點】對向量夾角概念理解不清，使運算出錯.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．③
【分析】根據基底的定義判斷即可.
【詳解】解：③中，可知兩向量共線，不能作為一組基底，選③；
其它選項中的兩個向量都不滿足，都能做基底，不選．
故答案為：③．
2．
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】由點為邊的中點，得，
所以.
故答案為：
3．##1.5
【分析】根據共線向量關系即可得到，則得到值.
【詳解】因為在中,，則，
所以，即.
故答案為：.
4．3
【分析】利用平面的基底不共線得到關于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因是一個基底，故與不共線，
由平面向量基本定理得，解得，
則.
故答案為：3.
5．
【分析】利用向量的線性運算可得的表達形式.
【詳解】
因為是矩形，所以，
所以.
故答案為：
6．
【分析】根據平面向量基本定理進行求解即可.
【詳解】設，則有，
得，所以，
故答案為：
7．
【分析】利用向量的加法和減法，化簡可得結論.
【詳解】，．
，
又，，
，．
故答案為：
8．1
【分析】根據平面向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】如圖所示：

，，分別為的三邊，，的中點，
，
故.
故答案為：1
9．
【分析】根據向量的線性運算即可得解.
【詳解】；
故答案為：
10．
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【詳解】，
．
故答案為: ;.
11．，，，
【分析】根據向量的線性運算即可結合圖形求解.
【詳解】，，，

12．（1）；（2）.
【分析】（1）由平行四邊形的性質和向量的加減法法求解；
（2）由數量積的運算律和定義求解
【詳解】解：（1）因為在平行四邊形中，，
所以.
（2）因為，
所以
.
13．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據平面向量共線定理解決即可；（2）根據平面向量基本定理解決即可.
【詳解】（1）證明：若,平行，則，即，
所以．
因為,不平行，所以，
因為該方程組無解，
所以，平行不成立，
所以，不平行，
所以，是平面向量的一個基底．
（2）設，
又因為，
由向量基本定理，得，解得
所以．
14．（1）；（2）.
【分析】（1）根據圖形可得，根據對應系數即可得解；
（2）根據幾何關系確定點位置，作平行交于點，引入點，再確定點位置，利用即可得解.
【詳解】（1）∵，
∴
（2）
∵由題意可得，
∴，再由，則，
∴.
作平行交于點，
∴，
∴.
∵.
∴.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.1 平面向量基本定理
[課標要求]
1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.
2.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量.
3.會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．
[明確任務]
1.平面向量基本定理的意義（數學抽象）；
2.推導平面向量基本定理(邏輯推理)；
3.用基底表示其它向量(數學運算)
1.平面向量共線定理；
2.平面向量線性運算（加法、減法、數乘）；.
核心知識點1 平面向量基本定理的理解
1、定義：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使
2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
3、對平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底給定時，分解形式唯一．是被唯一確定的數值．
（3）是同一平面內所有向量的一組基底，則當與共線時，；當與共線時，；當時，．
（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．
例1　設{e1，e2}是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
【答案】ACD
【解析】選項B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底．
歸納總結　考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，
那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示．
【舉一反三】
1．下面說法中，正確的是　(　　)
①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；
②一個平面內有無數多對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；
③零向量不可作為基底中的向量；
④對于平面內的任一向量和一組基底，，使=λ+μ成立的實數對一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
2．下列說法中正確的是（ ）
A．平面向量的一個基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，則.
C．若單位向量 的夾角為，則在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面內所有向量的基底是唯一的.
3．已知向量是一個基底，實數x，y滿足，則 .
核心知識點2 用基底表示向量
例2. 如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分別是DC，AB的中點，設＝a，＝b，試用{a，b}為基底表示，.
【解析】 因為DC∥AB，AB＝2DC，E，F分別是DC，AB的中點，
所以＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
變式：本例中，若設BC的中點為G，則＝________.
【答案】　a＋b
【解析】　＝＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
所以＝＋＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
歸納總結 平面向量基本定理的作用以及注意點
(1)根據平面向量基本定理可知，同一平面內的任何一個基底都可以表示該平面內的任意向量．用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．
(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．
【舉一反三】
4．在中，，，若點滿足，以為基底，則（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在正方形ABCD中，設，，，則以為基底時，可表示為 ，以為基底時，可表示為 ．
6．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F分別為CD，AD的中點

(1)以，為基底，分別表示向量，；
(2)以，為基底，表示向量.
核心知識點3 平面向量基本定理的應用
例3.如圖所示，在中，點是的中點，且，與相交于點，設，，則等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，，
由，，三點共線可知，存在實數，滿足.
由，，三點共線可知，存在實數，滿足，
所以.
因為，為基底，所以，解得，
所以，故選：A
歸納總結 若直接利用基底表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據待定系數法確定系數，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．
【舉一反三】
7．已知分別為的邊上的中線，設，,則＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
8．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則 .

9．如圖所示，設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
10．下列三種說法：①一個平面內只有一組不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②一個平面內有無數組不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
其中，說法正確的為（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
11．在△ABC中，，，若點D滿足，以作為基底，則等于（ ）
A． B．
C． D．
12．已知非零向量不共線，且，若，則滿足的關系是（ ）
A． B．
C． D．
13．若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如圖，在△MAB中，C是邊AB上的一點，且AC＝5CB，設則 .(用，表示)
15．設、分別是的邊，上的點，，. 若（為實數），則的值是
16．如圖，在中，M是的中點，點N在上，且，與相交于點P，求與．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．B
【分析】根據向量基底的概念可判斷①②，根據零向量的概念可判斷③，由平面向量基本定理判斷④.
【詳解】因為不共線的任意兩個向量均可作為平面的一組基底，故②③正確，①不正確；
由平面向量基本定理知④正確．
綜上可得②③④正確．
故選：B．
2．ABC
【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可
【詳解】選項A：作為基底的兩個向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；
選項B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；
選項C：在方向上的投影向量為：，故C正確；
選項D：平面內任何兩個不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯誤
故選：ABC
3．3
【分析】利用平面的基底不共線得到關于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因是一個基底，故與不共線，
由平面向量基本定理得，解得，
則.
故答案為：3.
4．D
【分析】利用平面向量基本定理求解即可
【詳解】因為，，，
所以，
所以，
故選：D
5．
【分析】直接利用向量的加法運算可得答案.
【詳解】以為基底時，；
以為基底時，.
故答案為：；.
6．(1),
(2)
【分析】（1）因為為DC中點，F為AD中點，圖形結合向量加法可得;
（2）應用，后利用表示，即可得答案.
【詳解】（1）因為為DC中點，則，
F為AD中點，則；
（2）注意到，
又為DC中點，則，
F為AD中點，則，
則，
，
則.
7．B
【分析】根據向量的線性運算即可聯立方程求解.
【詳解】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
8．
【分析】設，根據題意得到，得到，進而得到，即可求解.
【詳解】設，
因為和分別是邊和的中點，可得,
又因為，所以，
因為，所以，所以.
故答案為：.
9．AC
【分析】分析兩個向量是否共線，不共線的兩個向量可以作為基底.
【詳解】B中與共線，D中與共線，A、C中兩向量不共線，
故選：AC.
10．B
【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判斷即可.
【詳解】平面內只要不共線的向量均可作為表示該平面內所有向量的基底，有無數組，①錯誤，②正確；
由平面向量基本定理可得，平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的，③正確.
故選：B.
11．A
【分析】結合圖形，將和分別用與線性表示，代入方程解之即得.
【詳解】
如圖，因，則，即，解得：.
故選：A.
12．A
【分析】根據條件分解向量后，對比兩組系數消去
【詳解】由得，即，又，故，消去后得．
故選A
13．ABC
【分析】根據平面向量共線定理逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于D，明顯不存在實數使，則不共線，可以作為平面向量的基底.
故選：ABC.
14．
【分析】利用向量的加減法運算求解即可
【詳解】
故答案為：
15．
【詳解】依題意，，
∴，∴，，故.
【考點定位】平面向量的加法、減法法則.分析、計算能力.中等題.
16．，
【解析】設，，則，根據A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數使得，．根據．解出即可。
【詳解】解：設，
則，
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實數使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，屬于基礎題。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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