資源簡(jiǎn)介

6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進(jìn)行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識(shí)后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識(shí)的目的.
【目標(biāo)分析】
1.向量坐標(biāo)的表示及運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，如第1題、第2題、第3題、第5題、第9題；
2.向量共線的判定及應(yīng)用，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)素養(yǎng)，如第4題、第6題、第11題；
3.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第7題、第8題、第10題、第12題；
一、填空題
（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）
1．已知向量，，則 .
（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）
2．已知向量，則 ．
（2023下·河南鄭州·高一階段練習(xí)）
3．已知平面上三點(diǎn)，，，則的坐標(biāo)是 .
（人教A版必修二教材練習(xí)）
4．當(dāng) 時(shí)，與共線.
（2023·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）
5．已知，滿足的點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
（2023·全國·高一課時(shí)練）
6．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)m的值等于 ．
（2023·全國·高一課時(shí)練）
7．為平行四邊形的對(duì)角線，，則 ．
（2023·全國·高一課時(shí)練）
8．已知點(diǎn)，()，試求當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，的取值范圍 ．
二、解答題
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
9．已知，，．
（1）求的坐標(biāo)；
（2）求滿足條件的實(shí)數(shù)，．
（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
10．已知點(diǎn)，．
(1)若C是線段AB的中點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若直線AB上的點(diǎn)D滿足，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）
11．已知，，，判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系．
（2019人教A版必修第二冊(cè)課本例題）
12．設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【易錯(cuò)題目】第1題、第2題、第12題
【復(fù)盤要點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)混淆致使出錯(cuò).
【典例】（2023·四川綿陽高一階段練習(xí)）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且，，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．
方法一 ∵A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
∴，．
∵，，
∴，
．
易錯(cuò)點(diǎn)：此處易誤把，的坐標(biāo)當(dāng)作點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的
坐標(biāo)的概念．
設(shè)，，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用方程思想求解．
∴，，
∴ 解得 ，
∴M（0，20），N（9，2）．
方法二 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由，，
可得，
∴，，
∴，
向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)是一致的．
．
∴M（0，20），N（9，2）．
易錯(cuò)警示：點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別 表示形式不同 向量a＝（x，y）中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A（x，y）中間沒有等號(hào)
意義不同 點(diǎn)A（x，y）的坐標(biāo)（x，y）表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝（x，y）的坐標(biāo)（x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)（x，y）或向量（x，y）
聯(lián)系 當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2023·山東泰安·高一期中）
13．已知點(diǎn)，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明·高一專題練習(xí)）
14．已知，，則B點(diǎn)坐標(biāo)是 .
（2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）
15．已知點(diǎn)，向量，則向量 ．
（2024·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）
16．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（－2，5），（1，4），若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
（2023上·山西臨汾·高一山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考期中）
17．已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
（2023·江蘇淮安·高一校考期中）
18．已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)校期中）
19．如圖，平面上，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.
(1)寫出向量，，的坐標(biāo)；
(2)如果四邊形是平行四邊形，求的坐標(biāo).
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，，
可得，
故答案為：
2．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.
【詳解】，，
.
故答案為：.
3．
【分析】按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先算出 ，在按照向量的加法法則計(jì)算.
【詳解】根據(jù)題意，，，， ，，
；
故答案為：.
4．-4
【分析】根據(jù)向量共線（平行）的坐標(biāo)運(yùn)算公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.
【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，
解得.
故答案為：-4
5．
【分析】根據(jù)題意設(shè)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直接代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋瑒t，
且，則，解得，所以
故答案為:
6．
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平行向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋杂校?br/>故答案為：
7．
【分析】畫圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及向量加法法則運(yùn)算即可.
【詳解】
如圖在平行四邊形中，
，
在中，，
所以，
故答案為：.
8．
【分析】設(shè)，由坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，結(jié)合點(diǎn)在第三象限可得的不等式組，解不等式組可得．
【詳解】設(shè)，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，解得，
∵點(diǎn)在第三象限，
∴，解得，
故答案為：.
9．（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求的坐標(biāo).
（2）由已知線性關(guān)系，結(jié)合坐標(biāo)表示得到，解方程組即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，，，
則,,,,，
（2）根據(jù)題意，若，即,,,，
則有，解可得，
故.
10．(1)
(2)
【分析】（1）是線段的中點(diǎn)可得，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】（1）解：設(shè)，又，
則，
是線段的中點(diǎn)，
，即，解得，
（2）（2）設(shè)，又，
，
，
，解得，
.
11．A，B，C三點(diǎn)共線
【分析】求出，根據(jù)平面向量共線定理可判斷，又直線，直線有公共點(diǎn)，即可判斷.
【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點(diǎn)（如圖）．觀察圖形，我們猜想A，B，C三點(diǎn)共線．
下面來證明．
因?yàn)椋?br/>，
又，
所以．
又直線，直線有公共點(diǎn)A，
所以A，B，C三點(diǎn)共線．
另證：，，
因?yàn)椋?br/>所以．
又因?yàn)橹本€，有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線．
【點(diǎn)睛】本題考查共線向量基本定理的應(yīng)用；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．
12．(1).
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）通過分類討論，點(diǎn)P滿足兩種情況或，然后利用向量加法的三角形法則即可求出答案.
【詳解】（1）（1）如圖，由向量的線性運(yùn)算可知,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，或，
若，如圖(1)，那么
，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

同理，如果，如圖(2)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
13．A
【分析】計(jì)算出，進(jìn)而得到.
【詳解】由已知，得到，
因?yàn)椋?br/>故選：A.
14．
【分析】根據(jù)點(diǎn)與向量的關(guān)系即可求解.
【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
.
∴解得,解得
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：
15．
【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋裕?br/>又，所以；
故答案為：
16．（4，3）
【分析】設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)列方程組解決.
【詳解】設(shè)，又 A、B的坐標(biāo)分別為（－2，5），（1，4）
，
所以點(diǎn).
故答案為：（4，3）
17．
【分析】由向量求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，
，得，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，
因此，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為
故答案為：.
18．或
【解析】．由于點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，或者．即可得出．
【詳解】解：，
．
點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，
，或者．
，
或．
或．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算、線段的三等分點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；
（2）根據(jù)向量相等，即可利用坐標(biāo)相等求解.
【詳解】（1）
（2）設(shè)，由可得，所以 ，故
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
[課標(biāo)要求]
1.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
2.掌握兩個(gè)向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示．
3.掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.
4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
5.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線．
[明確任務(wù)]
1.數(shù)量積的定義（數(shù)學(xué)抽象）；
2.數(shù)量積的性質(zhì)（邏輯推理）；
1.平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)表示；
2.單位向量、向量的夾角、向量的線性運(yùn)算、共線向量；.
3.平面向量基本定理.
核心知識(shí)點(diǎn)1 平面向量的坐標(biāo)表示
1.平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.平面向量的坐標(biāo)表示
（1）基底：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．
（2）坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)．
（3）坐標(biāo)表示：a＝（x，y）．
（4）特殊向量的坐標(biāo)：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．
提示：點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別 表示形式不同 向量a＝（x，y）中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A（x，y）中間沒有等號(hào)
意義不同 點(diǎn)A（x，y）的坐標(biāo)（x，y）表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝（x，y）的坐標(biāo)（x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)（x，y）或向量（x，y）
聯(lián)系 當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同
例1.如圖，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).
【解析】由圖可知，，
所以.
同理，
，
，
.
歸納總結(jié)　求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
（1）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．
（2）求一個(gè)向量的坐標(biāo)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．
【舉一反三】
1．如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，若，，則向量的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ．
3．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，，，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若，求的坐標(biāo)．
核心知識(shí)點(diǎn)2 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
數(shù)學(xué)公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2） 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
向量減法 a－b＝（x1－x2，y1－y2） 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
2.已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），那么向量＝（x2－x1，y2－y1），即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．
例2. 在 ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝（2，4），＝（1，3），求的坐標(biāo)．
【解析】∵＝＋，
∴＝－＝（－1，－1），
∴＝－＝（－3，－5）．
歸納總結(jié) 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．
（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
【舉一反三】
4．已知點(diǎn)，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知點(diǎn)A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
核心知識(shí)點(diǎn)3 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
例3. 如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，
求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
因?yàn)椋?br/>，
又，
所以.
即解得，
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
解法2：如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知
，
而
.
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
歸納總結(jié) 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
（1）條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等．
（2）應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo)．
【舉一反三】
6．已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為求點(diǎn)的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．
7．已知點(diǎn)、，，若，試求為何值時(shí)，
(1)點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上；
(2)點(diǎn)在第三象限內(nèi)．
核心知識(shí)點(diǎn)4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示：已知a＝（x，y），則λa＝（λx，λy），即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．
例4.（1）已知，，的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】.
.
（2）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c滿足3a－2b＋c＝0，則c等于 .
【答案】　（－23，－12）
【解析】由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3（5，2）＋2（－4，－3）＝（－23，－12），
∴c＝（－23，－12）．
歸納總結(jié)：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．
（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
（3）向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．
【舉一反三】
8．已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
9．已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
核心知識(shí)點(diǎn)5 向量共線的判定
平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0. 則a，b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. 如果用坐標(biāo)表示，可寫為（x1，y1）＝λ（x2，y2），當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b（b≠0）共線．
例5. 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（　　）
A．a(chǎn)＝（－2，3），b＝（4，6）
B．a(chǎn)＝（2，3），b＝（3，2）
C．a(chǎn)＝（1，－2），b＝（7，14）
D．a(chǎn)＝（－3，2），b＝（6，－4）
【答案】　ABC
【解析】能作為平面內(nèi)的基底，則兩向量a與b 不平行，A選項(xiàng)，（－2）×6－3×4＝－24≠0，
∴a與b不平行；
B選項(xiàng)，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a與b不平行；
C選項(xiàng)，1×14－（－2）×7＝28≠0，∴a與b不平行；
D選項(xiàng)，（－3）×（－4）－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
歸納總結(jié) 向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，特別是利用向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷時(shí)，要注意坐標(biāo)之間的搭配．
【舉一反三】
10．已知，，且，求y．
11．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
12．已知，則的坐標(biāo)是（ ）.
A． B． C． D．
13．已知平面向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
14．下列各組向量中，共線的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
15．已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
16．已知ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
17．下面幾種說法中正確的有（　　）
A．相等向量的坐標(biāo)相同
B．平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)
C．一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量
D．平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)
18．已知平行四邊形OABC，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
19．已知平面上三點(diǎn)，，，則的坐標(biāo)是 .
20．若點(diǎn)A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共線，則a＝ .
21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．
22．已知，若，，求的坐標(biāo)．
23．已知向量，若與共線，求m的值，并判斷與是同向還是反向？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐標(biāo)即可.
【詳解】由題意得，.
故選：A
2．
【分析】根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)，因，則
故得：，即．
故答案為：.
3．(1)；
(2)．
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)給定條件，直接求出向量的坐標(biāo).
（2）由（1）的結(jié)論，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，，
所以向量的坐標(biāo)是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
4．A
【分析】計(jì)算出，進(jìn)而得到.
【詳解】由已知，得到，
因?yàn)椋?br/>故選：A.
5．(0,4)
【分析】由向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)C(x，y)，則.
由，則x＝0，y＝4.則.
故答案為：(0,4)
6．或或
【分析】分平行四邊形為，，三種情況考慮，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出相等向量，計(jì)算即可.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)平行四邊形為時(shí)，有,
因?yàn)椋?br/>所以，解得，即；
當(dāng)平行四邊形為時(shí)，有,
因?yàn)椋?br/>所以，解得，即；
當(dāng)平行四邊形為時(shí)，有,
因?yàn)椋?br/>所以，解得，即，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上可得出關(guān)于的等式，可解得實(shí)數(shù)的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)在第三象限內(nèi)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由已知可得，
又因?yàn)椋瑒t，
所以，，可得，
若點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則，解得.
（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限內(nèi)，則，
所以.
8．D
【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：D.
9．(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得.
【詳解】（1）
（2）
（3）
10．
【解析】根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于的方程，解得.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以．
解得．.
也可以利用求解．
設(shè)，則，
∴∴∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量基本定理；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．
11．與共線；與的方向相同.
【分析】先求與的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量共線定理即可判斷結(jié)果．
【詳解】因?yàn)椋?br/>，因?yàn)椋?br/>所以，所以與共線，
又，所以與的方向相同．
12．B
【分析】分析題意，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】由題意，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題.
13．A
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的數(shù)乘和減法運(yùn)算直接求解即可
【詳解】.
故選：A
14．B
【分析】根據(jù)向量共線的充要條件，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】若兩個(gè)向量共線，則，
其中只有B選項(xiàng)，滿足條件.
故選：B
15．A
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的加減可得.
【詳解】
故選：A
16．D
【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，利用，即可求解.
【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，
所以.
設(shè)D(x，y)，則有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，
即解得，
因此D點(diǎn)坐標(biāo)為(7，－6)．
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示、向量相等應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
17．ABD
【分析】根據(jù)向量的定義和坐標(biāo)的定義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A.相等向量的坐標(biāo)相同，故A正確；
B.根據(jù)向量坐標(biāo)的定義，可知平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)，故B正確；
C.由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個(gè)坐標(biāo)可對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量，故C錯(cuò)誤；
D. 平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)，故D正確.
故選：ABD
18．
【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則由題意得，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
則由題意得，
所以．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查相等向量和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
19．
【分析】按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先算出 ，在按照向量的加法法則計(jì)算.
【詳解】根據(jù)題意，，，， ，，
；
故答案為：.
20．
【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)锳(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，故5a－16＝0，所以a＝.
故答案為：.
21．，，．
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的定義，以及向量的模和三角函數(shù)，即可求解向量的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，，，
則，，
，，
，，
因此，，．
22．
【分析】通過兩個(gè)向量等式求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，即得的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
23．，與方向相反．
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而求，根據(jù)向量共線的判定定理分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則，
，
若與共線，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
由可知與方向相反．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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