資源簡介

6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐標表示【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.向量坐標的表示及運算，培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第1題、第2題、第7題、第9題；
2.向量共線的判定及應用，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第3題、第8題、第10題、第12題、第13題、第15題；
3.平面向量坐標運算的應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第5題、第6題、第11題、第14題；
（2023下·陜西渭南·高一統考期中）
1．已知平面向量，則向量（ ）
A． B． C． D．
（2023下·浙江嘉興·高一校聯考期中）
2．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南洛陽·高一洛陽市三中期中）
3．已知向量，則“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023下·湖南益陽·高一統考期末）
4．若向量，則向量的坐標為 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·河北保定高一期中）
5．已知點，若第四象限的點P滿足，則實數λ的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·山東菏澤·高一統考期中）
6．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點，，則（ ）

A． B． C． D．
（2023·四川南充高一期中）
7．已知，則下列說法不正確的是（ ）
A．點的坐標是
B．點的坐標是
C．當是原點時，點的坐標是
D．當是原點時，點的坐標是
（2024上·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）
8．下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
（2023·江西宜春高一期中）
9．已知點，且，則點的坐標是 ．
（2023下·山東濟寧·高一統考期末）
10．已知向量，寫出一個與向量方向相反的向量 .(用數字作答)
（2023上·黑龍江佳木斯高一期中）
11．已知點，若點是線段中點，則點的坐標為 .
（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學校期中）
12．如果三點共線，則的值為 .
（2024上·廣東湛江·高一期中）
13．已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
（2023下·山東東營·高一統考期中）
14．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點.設向量，
(1)用，表示
(2)建立適當的坐標系，使得點C的坐標為，求點M的坐標.
（2023下·吉林長春·高一校考期中）
15．已知是平面內兩個不共線的非零向量，，，且三點共線.
(1)求實數的值；
(2)已知，，，若四點按順時針順序構成平行四邊形，求的坐標和點的坐標.
【易錯題目】第3題、第12題、第15題
【復盤要點】運用向量坐標運算判定向量共線（平行）應用廣泛，如判定平行、證明三點共線、判定幾何圖形的形狀等，需要掌握兩向量平行的坐標表達，并靈活應用.
例1.（2023上·山東菏澤三中高一期中）已知A，B，C三點的坐標分別為（－1，0），（3，－1），（1，2），，，求證：．
設，．
由題意知，，，
∴，，
∴，
．
∴，
∴．
∵，∴．
易錯警示：向量共線的判定應充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷，特別提示；如果用坐標表示，可寫為（x1，y1）＝λ（x2，y2），當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b（b≠0）共線．
【復盤訓練】
（2024上·北京海淀·高一統考期末）
16．已知點P與共線，則點P的坐標可以為（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯考期末）
17．已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·廣東東莞·高一校聯考期中）
18．若三點共線，則m的值為（ ）
A．－2 B．－13 C．2 D．13
（2023上·江蘇南通·高一統考期中）
19．設為實數，若向量，，且與共線，則 .
（2023下·廣東清遠·高一校聯考期中）
20．如圖所示，已知的頂點，，．

(1)求頂點D的坐標；
(2)已知點，判斷A，M，C三點的位置關系，并做出證明．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】由向量的坐標線性運算即可求解.
【詳解】由題意，所以，所以.
故選：D.
2．C
【分析】根據向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為向量，
所以.
故選：C
3．A
【分析】利用向量共線的坐標表示，結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】向量，，解得，
所以“ ”是 “”的充分不必要條件.
故選：A
4．D
【分析】根據及向量線性運算的坐標表示計算可得.
【詳解】因為，，
所以.
故選：D
5．C
【分析】根據向量的坐標運算即可列式子求解.
【詳解】方法一：設，則，,
又,
所以
所以即,
因為點P在第四象限，所以
解得
故所求實數λ的取值范圍是
方法二：,
所以
因為點P在第四象限，所以
解得
故選：C
6．B
【分析】構建以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標系，設，標注相關點的坐標，進而可得坐標，結合，應用向量線性運算的坐標表示列方程求出即可.
【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標系，設，又為的中點，

∴，則，
由，得：，
∴，解得，則
故選：B.
7．ABC
【分析】根據向量的概念，以及向量的坐標表示，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意，向量與終點、始點的坐標差有關，
所以點的坐標不一定是，故A錯誤；
同理點的坐標不一定是，故B錯誤；
當是原點時，點的坐標是，故C錯誤；
當是原點時，點的坐標是，故D正確.
故選：ABC
8．ACD
【分析】分別判斷四個選項中的兩個向量是否共線得到答案.
【詳解】對于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個向量不能作為基底；
對于B，因為，，所以，所以兩個向量不共線，可以作為基底；
對于C，因為，，所以，可知兩個向量共線，故不可以作為基底；
對于D，由，，得：，可知兩個向量共線，故不能作為基底；
故選：ACD
9．
【分析】利用平面向量的線性運算處理即可.
【詳解】如圖，連接，

設為坐標原點，建立平面直角坐標系，，
整理得．
故答案為：
10．（答案不唯一）
【分析】由相反向量的概念分析求解即可得解.
【詳解】由相反向量的定義可知，向量的相反向量只要滿足()即可，
當時，.
故答案為：（答案不唯一）.
11．
【分析】根據題意，得到，結合向量的坐標運算與表示，即可求解.
【詳解】由題意知，點，且，
因為點是線段中點，可得，
所以點的坐標為.
故答案為：.
12．3
【分析】由得出的值.
【詳解】因為三點共線，所以存在使得.
即，解得.
故答案為：3
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算，求得點的坐標，利用中點坐標公式，可得答案；
（2）由點的坐標表示出向量的坐標，利用共線向量的坐標公式建立方程，可得答案.
【詳解】（1）設，，，
，
，，
，同理可得，
設BD的中點，
則，，
.
（2），，
三點共線，，
，解得.
14．(1)
(2)
【分析】(1)根據平行四邊形的性質以及平面向量的線性運算法則.
(2) 以A為坐標原點，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標系，滿足題意,可求出各點的坐標.
【詳解】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點O
所以，
因為M為BO中點，
（2）如圖，以A為坐標原點，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標系，由，，，可求得點C的坐標為，
所以，，，
根據中點坐標公式，可求得點M的坐標為
15．(1)
(2)；
【分析】（1）由、可構造方程組求得；
（2）根據可求得；設，由可構造方程求得點坐標.
【詳解】（1）三點共線，，即，
，解得：.
（2）；
四邊形為平行四邊形，，
設，則，，，即.
16．B
【分析】三點共線轉化為向量共線，利用共線條件逐個判斷即可.
【詳解】設，則，
由三點共線，則，所以，
則.
選項A，，不滿足，故A錯誤；
選項B，，滿足，故B正確；
選項C，，不滿足，故C錯誤；
選項D，，不滿足，故D錯誤.
故選：B.
17．B
【分析】根據向量平行的坐標表示求解即可.
【詳解】因為，，
且，
所以，即，解得.
故選：B
18．CD
【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.
【詳解】由題意可知，
因為三點共線，則共線，
不妨設，
則或13.
故選：CD
19．##
【分析】根據共線向量的坐標公式，可得答案.
【詳解】，，與共線，
則，則.
故答案為：.
20．(1)；
(2)A，M，C三點共線；詳見解析.
【分析】（1）由平行四邊形可得，然后根據向量的坐標運算即得；
（2）根據坐標關系可得，進而即得.
【詳解】（1）由平行四邊形可得：，又，，，，
所以，
∴D的坐標為；
（2）A，M，C三點共線；
因為，，，
所以，又有公共點，
所以A，M，C三點共線.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐標表示
題型一 平面向量的正交分解及坐標表示
例1. 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求點B，D的坐標和，的坐標．
【解】由題意知，點B，D分別是與x軸正半軸成30°，120°的終邊與單位圓的交點．
設，．
由三角函數的定義，得，，，，
∴，．∴，．
【方法技巧與總結】在向量的坐標表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點與終點的坐標，同時注意區分點的坐標與向量的坐標寫法的不同．
【變式訓練1-1】（2024·廣西北海高一期末）
1．如果將繞原點O逆時針方向旋轉120°得到，則的坐標是
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）
2．在直角坐標系xOy中，向量的方向如圖所示，且，分別計算出它們的坐標.
題型二 平面向量的坐標運算
例2．（2023·安徽銅陵·高一期中）已知，，．設，，，且，．求：
（1）；
（2）滿足的實數m，n的值；
（3）點M，N的坐標及向量的坐標．
【解析】由已知得，，．
（1）．
（2），
∴解得
∴實數m的值為-1，n的值為-1．
（3）設O為坐標原點．∵，
∴，∴．
又∵，∴，
∴．∴．
【方法技巧與總結】（1）向量的坐標運算主要是利用平面向量的加法、減法、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，要注意三角形法則及平行四邊形法則的應用．
（2）若是給出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．
【變式訓練2-1】（2023·黑龍江雞西第四中學·高一期末）
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，則等于（ ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
【變式訓練2-2】（2023·江西贛州·高一期末）
4．已知是平行四邊形的一條對角線，為坐標原點，，，若點滿足，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】（2023·北京房山區高一期中）
5．已知向量，，規定，之間的一種運算.若向量，運算，則向量 .
【變式訓練2-4】（2023·湖北黃石高一期中）
6．已知向量，的坐標分別是，，求，，，的坐標．
題型三 平面向量共線的判定與應用
例3．（2023·四川成都·高一期中）已知向量，．若，
則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】方法一：由題意得，
，．
∵，∴，解得．
方法二：假設，不共線，則由可得，
∴方程組顯然無解，
∴與不共線，這與矛盾，∴假設不成立，
∴，共線，∴，解得．
【答案】A
【方法技巧與總結】向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．
若，，則的充要條件為，不能表示成，
因為，有可能等于0．同時，的充要條件也不能錯記為，等．
【變式訓練3-1】（2023·遼寧建平縣實驗中學·高一期中）
7．已知向量與向量平行，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式訓練3-2】（2023·安徽宣城·高一統考期中）
8．已知向量，若向量與共線，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式訓練3-3】（2023·江蘇淮安·高一統考期中）
9．已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】（2023·遼寧沈陽·高一統考期中）
10．已知向量，，．
(1)求滿足的實數m，n的值；
(2)若，求實數k的值．
易錯點 忽視各類四邊形的特點而漏解
【典例】（2023·江蘇鹽城·高一期中）已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，，，求第四個頂點的坐標．
【錯解】設，，，，如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．
∵，，
∴，∴解得∴點D的坐標為．
【錯因分析】（1）該解錯因是思維定式，認為平行四邊形只是如圖所示中的這一種情形，由此在解題中丟掉了另外兩種情形．
（2）若平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別為，，，求點D的坐標，就只有一種情況，本題題目中給出了平行四邊形的三個頂點，并沒有規定順序，就可能有，，三種情形，如正解中的圖所示．
【正解】如圖所示，設，，，．
①若平行四邊形為，則．∵，，
∴由，得解得∴．
②若平行四邊形為，則．∵，．
∴解得∴．
③若平行四邊形為，則．∵，，
∴解得∴．
綜上所述，平行四邊形第四個頂點的坐標為或或．
易錯警示 已知平面圖形的部分頂點坐標求其他未知頂點的坐標時，應注意題中是否給定了頂點順序，考慮頂點位置的不同情況，避免漏解．
1-1（2023·山東泰安高一期中）
11．設向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量為（ ）
A． B． C． D．
1-2（2023·陜西安康高一期中）
12．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標為 ．
1-3（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）
13．已知點，且．試問：
(1)t為何值時，點P在坐標軸上
(2)四點O、A、B、P能否成為平行四邊形 若能，求出相應的t值，若不能，請說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】先求出直線OA的傾斜角，再求直線OB的傾斜角，即得點B的坐標和的坐標.
【詳解】設直線OA的傾斜角為
因為，|OA|=|OB|,所以點B的坐標為.
故答案為D
【點睛】本題主要考查向量的坐標，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.
2． ＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2)
【分析】按照向量模長以及與軸非負半軸的夾角依次計算即可.
【詳解】設，
則，，
，
，
因此 ＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2).
3．D
【分析】利用平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】；
故選：D.
4．C
【解析】首先根據向量減法法則求出的坐標，設，則，根據得到方程組，解得即可；
【詳解】解：依題意可得，所以，
設則，由
所以，解得，
所以點的坐標為
故選：C
【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題.
5．
【分析】設，利用向量運算的新定義，即可求解.
【詳解】設，，
，所以，
解得：，
所以.
故答案為：
6．，，，
【分析】根據平面向量的坐標運算求解.
【詳解】由題意可知：，，可得：
，
，
，
．
7．A
【分析】根據向量平行可得，可得，利用誘導公式即得.
【詳解】∵向量與向量平行，
∴，即，
∴.
故選：A.
8．D
【分析】利用已知條件判斷與不共線，則與可以作為一組基底，再根據與共線，通過向量共線列出方程求解即可．
【詳解】解：因為，所以，
與不共線，則與可以作為平面內的一組基底，
因為與共線，又，，
所以，即，
故選：D.
9．D
【分析】求出向量的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可得出關于的等式，求解即可.
【詳解】由已知，因為，則，解得.
故選：D.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示，結合向量相等求解即得.
（2）利用向量線性運算的坐標表示，結合向量共線的坐標表示求解即得.
【詳解】（1）由，得，則有，解得，
所以.
（2）依題意，，，
由，得，解得，
所以.
11．D
【分析】根據向量線性運算的坐標表示，結合題意求解即可.
【詳解】由題可知：，
即.
故選：D.
12．(2，4)
【分析】先設出的坐標，根據題意可知，把和用坐標表示出來，利用向量相等即坐標相等建立等量關系即可求解.
【詳解】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴,
設點D的坐標為(x，y)，
則，，
∴，
∴，解得，
∴點D的坐標為(2，4).
故答案為：(2，4).
【點睛】本題考查向量的相關知識點，由題得出是解決本題的關鍵，是一道基礎題.
13．(1)或
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）根據平面向量坐標運算求解，再根據坐標軸的性質列式求解即可；
（2）分四邊形OABP，四邊形，四邊形為平行四邊形三種情況討論，再根據坐標運算判斷解的情況即可.
【詳解】（1）由，
得，
則，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，解得，
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，解得，
綜上，當或時，點P在坐標軸上；
（2）若四邊形為平行四邊形，則，
∴，
∵該方程組無解，
∴四邊形OABP不能成為平行四邊形，
若四邊形為平行四邊形，則，
，
所以，該方程組無解，
所以四邊形不是平行四邊形，
若四邊形為平行四邊形，則，
∴，
∵該方程組無解，
∴四邊形OPAB不能成為平行四邊形，
綜上所述，四點O、A、B、P不能成為平行四邊形.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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