資源簡介

6.3.1 平面向量基本定理
【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的．
【目標分析】
1．用基底表示向量，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第8題、第8題、第9題、第10題、第11題、第12題；
2．運用平面向量基本定理求參數，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第2題、第4題、第5題、第13題、第14題、第15題、第16題；
3．運用平面向量基本定理解決幾何問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第6題、第6題、第7題；
一、單選題
（2023·廣東湛江高一期中）
1．如圖，ABC中，，，，用，表示，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考期中）
2．如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·甘肅張掖高一期中）
3．已知平行四邊形，若點是邊的中點，，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期末）
4．我國古代數學家趙爽在《周髀算經》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為邊長得到的正方形由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成．類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，則，則（ ）．

A． B． C． D．
（2023·山東德州·德州市第一中學校高一期中）
5．已知，點在線段上（不包括端點），向量，的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南洛陽·高一河南省偃師高級中學校期中）
6．在中，點是的中點，點分的比為與相交于，設，則向量（ ）
A． B． C． D．
（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）
7．在中，點是的中點，點在邊上，且與交于點，若，則長是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
（2023下·江蘇南京·高一校聯考期末）
8．在中，點是上一點，點滿足，與的交點為．有下列四個命題：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一個是假命題，則該命題為（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多選題
（2023下·山西大同·高一校考期中）
9．下列命題中是假命題的為（ ）
A．已知向量，則，可以作為某一平面內所有向量的一個基底
B．若，共線，則
C．已知是平面的一個基底，若，則也是該平面的一個基底
D．若，，三點共線，則
（2023下·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中期末）
10．設點是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點是邊BC的中點
B．若，則點是邊BC的三等分點
C．若，則點是邊的重心
D．若，且，則的面積是面積的
三、填空題
（2023·安徽銅陵高一期末）
11．在中，，M為BC的中點，則_______．（用表示）
（2023·福建莆田·高一統考期中）
12．已知非零向量，其中是一組不共線的向量．能使得與的方向相反的一組實數的值為 ， ．
（2023上·河北邯鄲高一期末）
13．在中，為的三等分點（靠近點），為的中點，若，則 ．

（2024上·天津和平·高一統考期末）
14．已知正實數，稱為的算術平均數，為的幾何平均數，為的希羅平均數．為的邊上異于的動點，點滿足且，則正數的希羅平均數的最大值是 ．
四、解答題
（2023下·江西吉安·高一統考期末）
15．在中，，，若D是AB的中點，則；若D是AB的一個三等分點，則；若D是AB的一個四等分點，則．

(1)如圖①，若，用，表示，你能得出什么結論？并加以證明．
(2)如圖②，若，，AM與BN交于O，過O點的直線l與CA，CB分別交于點P，Q．
①利用（1）的結論，用，表示；
②設，，求證：為定值．
（2024上·遼寧葫蘆島·高一統考期末）
16．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設，求的取值范圍．
【易錯題目】第5題、第14題、第16題
【復盤要點】平面向量基本定理與向量共線定理的綜合問題，基本思路是利用向量共線定理和平面向量基本定理建立方程組，再利用方程思想找出未知數之間的關系，運用函數或基本不等式可得出其最值或取值范圍．
典例（2023·湖北宜昌高一期末）在中，為的中點，，過點任作一條直線，分別交線段、于、兩點，設，，若用、表示，則 ；若，，則的最小值是 ．
【答案】 ；
【分析】求出關于、的表達式，再由已知條件可得出，可得出關于、的表達式，求出、關于、的表達式，根據可得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值．
【解析】如下圖所示：
因為為的中點，則，
因為，則，
因為，，則，
，
因為、、三點共線，則，
所以，存在實數使得，即，
所以，，消去可得，即，
所以，，
因為過點任作一條直線，分別交線段、于、兩點，且，
則，， 由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立．
因此，的最小值是． 故答案為：．
易錯提示：利用平面向量基本定理解決參數最值問題的基本思路如下：
1． 構建向量關系：根據問題的條件，建立向量之間的關系，通常是將所求參數表示為向量的線性組合．
2． 利用基本定理：利用平面向量基本定理，將向量的線性組合轉化為實數的線性組合，即用參數表示向量．
3． 確定目標函數：根據問題的要求，確定與參數有關的目標函數，通常是將目標函數表示為參數的函數．
4． 求最值：通過分析目標函數的特點，利用函數性質、不等式等，求出目標函數的最值．
5． 得出結論：根據求得的最值，得出關于參數的結論．
【復盤訓練】
（2023上·四川內江·四川省內江市第二中學高一期中）
17．在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，則的最小值為 .
（2023·天津紅橋·統考高一期末）
18．如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則 ，若，，則的最小值為 .
（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一校考期中）
19．如圖，在直角梯形ABCD中，，動點P在BC上，且滿足（m，n均為正實數）.

(1)求m與n之間的關系式；
(2)求的最小值.
（2023下·湖南邵陽·高一統考期末）
20．如圖，已知四邊形為平行四邊形，點在延長線上，點在線段上，且，設.

(1)用向量，表示；
(2)若線段上存在一動點，且，求的最大值.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．D
【分析】根據三角形法則得，然后將即可得出答案.
【詳解】,
故選：D.
2．A
【分析】確定，得到，根據計算得到答案.
【詳解】，故，則，
又是上一點，所以，解得.
故選：A.
3．C
【分析】畫出圖形根據向量定比分點設出，構造方程組可解得，可得結果.
【詳解】如下圖所示：
設，則.
設，
則，
.
因為，
所以，解得，
所以，即.
故選：C.
4．A
【分析】利用向量的數乘、加減法運算可整理得到，化簡整理可得的值，從而求得結果.
【詳解】由知：，；
，
，，則，，
.
故選：A.
【點睛】思路點睛；本題考查平面向量基本定理的應用，解題的基本思路是能夠利用向量的加減法和數乘運算，利用基底表示出所求向量或構造出關于所求向量的方程，從而求得參數的值.
5．C
【分析】由平面向量共線定理的推論得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，點在線段上（不包括端點），
故存在，使得，即，即，
因為向量，所以，
可得，
，，由基本不等式得
，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C．
6．C
【分析】由三點共線性質以及平面向量基本定理解方程組即可得解.
【詳解】
由題意三點共線，所以存在，使得，
同理三點共線，所以存在，使得，
由平面向量基本定理可得，解得，
所以.
故選：C.
7．D
【分析】設，，利用平面向量的數乘運算與基本定理得到，從而得解.
【詳解】設，，
則，，
因為，，和，，分別共線，
所以存在實數，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，即，
故選：D.

8．D
【分析】首先由甲命題為真命題開始，由點是的中點，結合平面向量基本定理的推論，結合三點共線的向量表示，即可判斷.
【詳解】若甲為真命題，，則點為的中點，
由可得，，
因為三點共線，故可得，
即，
由三點共線，可得，
所以，得，即，
所以，故乙為真命題；故，可知命題丙為真命題；
由共線，故可設，
即,
因為三點共線，故可設，
所以，得，
即，故命題丁為假命題.
綜上，甲乙丙為真命題，丁為假命題.
故選：D
9．AB
【分析】A中，共線向量有可能有零向量，所以不能作為基底，判斷A的真假；B中，共線向量不一定相等，判斷B的真假；C中，由向量的基底的定義及向量的基本性質，可得，不共線，判斷C的真假；D中，由三點共線的性質可判斷D的真假．
【詳解】A中，若或中至少一個為零向量時，，就不能作為基底，所以A不正確；
B中，若，共線，而，的方向不一定相同，且模長也不一定相等，所以B不正確；
C中，因為是平面的一個基底，則與不共線，而，所以，不共線，所以可以作為該平面的基底，所以C正確；
D中，由題得得，，即，
即，即，所以D正確；
故選：AB．
10．ACD
【分析】根據向量的平行四邊形法則，可判定A正確；由，得到，可判定B錯誤；取的中點，化簡得到，可判定C正確；由，且，得到，設，得到三點共線，且，進而可判定D正確.
【詳解】對于A中，根據向量的平行四邊形法則，若，
則點M是邊BC的中點，所以A正確；
對于B中，由，則，即，
則為的中點，所以B錯誤；
對于C中，如圖所示，由，可得，
取的中點，可得，則點為的重心，所以C正確；

對于D中，由，且，
所以且，
設，可得，且，所以三點共線，
因為，所以為的一個三等分點（靠近），如圖所示，
所以，即則的面積是面積的，所以D正確.
故選：ACD.

11．
【詳解】解：，，所以。
12． -1(不唯一) 1
【分析】設，則有，列出方程組求解即可.
【詳解】解：設，
則有，
即，
所以，所以，解得，
取.
故答案為：-1(不唯一)，1
13．
【分析】根據平面向量的線性運算求得，由此求得正確答案.
【詳解】
，
所以.
故答案為：
14．
【分析】設，以為基底可表示出，從而用表示出；根據算數平均數、幾何平均數和希羅平均數的定義，結合二次函數最值的求法可求得結果.
【詳解】設，
，
，解得：，，，，
，，.
故答案為：.
15．(1)，證明見解析
(2)①，②證明見解析
【分析】（1）根據平面向量線性運算法則計算可得；
（2）①依題意可得，，由、、三點共線，設，結合（1）的結論用，表示出，由、、三點共線，設，同理表示出，根據平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可；
②依題意可得，，結合①的結論及共線定理即可得證.
【詳解】（1）猜想：，
證明：因為，所以
.
（2）①若，，則，，
因為、、三點共線，設，
則，
因為、、三點共線，設，
則，
因為與不共線，所以，解得，
所以.
②因為，，
所以，，
所以，
因為、、三點共線，所以，則（定值）.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的線性運算法則計算；
（2）由題意得，由共起點的三向量終點共線的充要條件求出，即可得出答案；
（3）由題意，可設，代入中并整理可得，又，根據平面向量基本定理得出方程組，然后結合二次函數的性質可得結論．
【詳解】（1）由向量的線性運算法則，可得，①
，②
因為M為線段中點，則，
聯立①②得：，
整理得：．
（2）由AM與BD交于點N，得，
由共起點的三向量終點共線的充要條件知，，解得：．
所以，即．
（3）由題意，可設，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因為，所以，．
在單調遞增，
則當時，，當時，，
所以，的取值范圍為．
17．
【分析】由是的重心，得到，再由三點共線，得到，結合題意，得出方程組求得，結合基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】如圖所示，設邊上的中點為，因為是的重心，可得，
根據向量的線性運算法則，可得，
又因為三點共線，可得，即，
可得，
因為，可得，
所以，整理得，即，其中，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
18．
【分析】根據向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結合已知用表示，結合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】在中，，，則，
故
，
故；
又，而，，
所以，則，
又三點共線，所以，結合已知可知，
故，
當且僅當，結合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：；
【點睛】結論點睛：若，則三點共線.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共線表示出向量，進而求出，的關系式，
（2）利用基本不等式即可求解．
【詳解】（1）因為點在線段上運動，則，
有
所以．
得,即
（2）
．
當且僅當，即時等號成立．
所以的最小值為．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的運算法則，結合，即可求解；
（2）由三點共線，得到，化簡得到，根據，求得，令，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）因為四邊形為平行四邊形，可得，且，
由向量的運算法則，可得．
（2）由，
因為點在線段上，即點三點共線，
所以存在唯一的實數 ，其中，使得,
所以，
又因為，所以，
令，
可得函數對稱軸為直線，故，
即的最大值為

答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.1 平面向量基本定理
【第三課】
擴展1 利用平面向量基本定理求參數
例1（2023·安徽省蕪湖市·高一統考期中）如圖，O是△ABC的重心，D是邊BC上一點，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延長AO，與BC交于點E，如圖所示．
又O是△ABC的重心，則E為BC的中點，則，
又D是BC上一點，且，則D是EC的中點，則有，
則，
又，則，，故．
【方法總結】平面向量基本定理與向量共線定理的綜合應用問題，關鍵是利用向量共線定理和平面向量基本定理建立方程組，再利用方程思想找出未知數之間的關系，結合二次函數的圖象及其性質可得出其最值或取值范圍．
【舉一反三1-1】（2023·江蘇蘇州高一期中）
1．已知中，P為線段上的點，且，則的最大值為（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
【舉一反三1-2】（2023·湖北省沙市中學期·高一校考期中）
2．如圖，已知點在由射線、線段，線段的延長線所圍成的平面區域內（包括邊界），且與平行，若，當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三1-3】（2023·山東省淄博市·高一校聯考期中）
3．如圖，經過的重心G的直線與分別交于點，，設，，則的值為 ．
【舉一反三1-4】（2023·安徽省皖中名校高一期中）
4．如圖，在中，點在邊上，且．過點的直線分別交射線、射線于不同的兩點，，若，．
(1)求的值；
(2)若恒成立，求實數的最小整數值．
擴展2 運用平面向量基本定理解決幾何問題
例2（2023·福建三明一中高一期中）用向量法證明三角形的三條中線交于一點．
【解析】如圖，設，，D，E，F分別為三角形ABC三邊的中點，
則，，．
設AD與BE相交于點G1，且，，
則，．
因為，
所以解得
即．
再設AD與CF相交于點G2，
同理可得，
故點G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一點，故三角形的三條中線交于一點．
【方法總結】利用向量方法證明三線共點的一般思路：設三條直線，，中，與 的交點為G，再證明過點G，此時往往要用到向量共線定理，或再設與的交點為，在圖形中選擇兩個簡單不共線的向量作為基底，證明，再根據表示與的有向線段同起點，則，重合．
【舉一反三2-1】（2023·江蘇鹽城·高一統考期末）
5．如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是 .
【舉一反三2-2】（2023·廣西玉林高一期中）
6．如圖，在長方形ABCD中，E為邊DC的中點，F為邊BC上一點，且．設．
（1）試用基底，表示；
（2）若G為長方形ABCD內部一點，且．求證：E，G，F三點共線．
【舉一反三2-3】（2023·山西師大附中高一期中）
7．如圖，在中，M是的中點，點N在上，且，與相交于點P，求與．
（全國·統考高考真題）
8．在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
（全國·高考真題）
9．在中，是邊上一點.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（廣東·高考真題）
10．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，，則
A． B． C． D．
（2024·云南楚雄·云南省楚雄一模）
11．已知，，是直線上不同的三點，點在外，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
（2024·四川成都·校聯考一模）
12．已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
（北京·高考真題）
13．在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝ ，y＝ .
（2024·安徽滁州一模）
14．設向量是平面內一個基底，且，則向量可以用另一個基底表示，即 .
（湖南·高考真題）
15．如圖,OM∥AB,點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動,且，則x的取值范圍是 ；當時，y的取值范圍是 .
（2023·湖南長沙·周南中學校考三模）
16．如圖，在中，點是邊上一點且，是邊的中點，直線和直線交于點，若是的平分線，則 .

試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．A
【分析】根據三點共線的關系得出，利用均值不等式即可求出結果.
【詳解】
設，
所以，
又因為，所以，即，
所以，當且僅當，即時，等號成立，因此，故的最大值為3.
故選：A.
2．D
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以與的反向延長線為兩鄰邊，當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，得到的取值范圍.
【詳解】∵，，
由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，
該四邊形應是以與的反向延長線為兩鄰邊，
當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，
，
∴的取值范圍為.
故選：D.
3．3
【分析】設，求出，，再根據P，G，Q三點共線得到，化簡即得解.
【詳解】解：設，由題意知，
，
由P，G，Q三點共線，得存在實數使得，
即，
從而消去，得．
故答案為：3
4．(1)3
(2)2
【分析】（1）利用向量的線性表示及向量共線的推論即得；
（2）利用基本不等式可得，進而即得.
【詳解】（1）連接．
因為，，，
所以
．
因為，，共線，
所以，．
（2）顯然，所以等價于，
即．
因為，當且僅當，
即，時，取到最小值．
于是，
∴．
故實數的最小整數值是2．
5．.
【分析】由題意將原問題轉化為基底的數量積，然后利用幾何性質可得比值.
【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【點睛】本題考查在三角形中平面向量的數量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.采取幾何法，利用數形結合和方程思想解題.
6．（1）,；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據題意，由平面向量的線性運算法則即可用基底，表示；
（2）由,得出，即可證明結論.
【詳解】（1）由題可知：＝，
（2），
共線，
且有一公共點，
∴E，G，F三點共線．
7．，
【解析】設，，則，根據A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數使得，．根據．解出即可。
【詳解】解：設，
則，
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實數使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，屬于基礎題。
8．B
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
9．A
【分析】利用向量的加法的法則，以及其幾何意義，把化為，和已知的條件作對比，求出值．
【詳解】解：，
，，
故選：A．
10．B
【分析】利用平面幾何知識求解
【詳解】如圖，可知
=，選B.
【點睛】本題考查向量的運算及其幾何意義，同時要注意利用平面幾何知識的應用，
11．A
【分析】利用平面向量基本定理解題即可.
【詳解】由已知得，
故，
易知，，是直線上不同的三點，故，，三點共線，
必有，解得，
故選：A
12．C
【分析】設，設，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.
【詳解】
設，則，，
設，，
則，，
因為，
所以，解得，
所以，即.
故選：C.
13．
【詳解】特殊化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.

考點：本題考點為平面向量有關知識與計算，利用向量相等解題.
14．
【分析】設，將代入，利用向量基本定理，得出的關系式，求解，即可得出結論.
【詳解】設，因為，
所以，因為不共線，
所以，解得，，
故答案為：.
15．
【分析】由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以的反向延長線為相鄰兩邊，得到x的取值范圍，當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，得到y的取值范圍.
【詳解】解：如圖，,點在射線，線段及的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以的反向延長線為相鄰兩邊，
故x的取值范圍是；
當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，,
故y的取值范圍是：.
【點睛】本題考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四邊形法則，屬基礎題.
16．
【分析】分析可知與共線，可知存在，使得，然后依據、、三點共線以及、、三點共線可得出關于的表達式，結合平面向量的基本定理可求得的值.
【詳解】記，，以、為鄰邊作平行四邊形，
因為，則平行四邊形為菱形，所以，平分，
且，
因為平分，則、共線，
則存在，使得，

因為、、三點共線，則、共線，則存在，
使得，即，可得，
因為為的中點，所以，，
因為、、三點共線，則、共線，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因為、不共線，則，解得，
故，
又因為，所以，，故.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
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