資源簡介

6.3.5平面向量數量積的坐標表示【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.平面向量數量積的坐標運算，培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第1題、第5題、第12題；
2.向量的夾角與垂直問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第3題、第6題、第8題、第13題；
3.向量的模與長度問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第7題、第11題；
4.平面向量數量積的綜合運用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第9題、第10題、第14題、第15題、第16題；
一、填空題
（2023·全國高一課時練習）
1．若，則 ， .
（2023·上海黃浦·高一課時練）
2．已知向量，則向量與夾角的余弦值為 ．
（2023·全國高一課時練習）
3．已知平面向量，且.寫出滿足條件的一個非零向量 .
（2023·全國高一課時練習）
4．已知向量，，那么 .
（2023·北京海淀·高一課時練習）
5．已知向量，且，那么實數等于
（2023上·遼寧高一課時練習）
6．已知，，，若，則 .
（2023·陜西榆林·高一課時練習）
7．已知向量，滿足，，則 ．
（2023·廣東中山·高一課時練習）
8．已知向量，，，若，，則
（2023·黑龍江牡丹江·高一課時練習）
9．已知向量的夾角為，則 .
（2023·廣東佛山·高一課時練習）
10．已知邊長為2的正方形，是棱上的一動點，則 ．
二、解答題
（2023·全國高一課時練習）
11．已知向量與的夾角為60°，＝1，．
(1)求及；
(2)求.
（2023·山東高一課時練習）
12．在如圖的方格紙（每個小方格邊長為1）上有A，B，C三點，已知向量以A為始點．
(1)試以B為始點畫出向量，使，且，并求向量的坐標；
(2)在（1）的條件下，求．
（2023·吉林長春·高一課時練習）
13．在平面直角坐標系中，已知點，，
(1)若三點共線，求實數的值；
(2)若，求實數的值.
（2023·全國高一課時練習）
14．已知點A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）當m＝﹣3時，求向量與夾角的余弦值；
（2）若A，B，C三點構成以A為直角頂點的直角三角形，求m的值．
（2023·浙江·高一課時練習）
15．已知平行四邊形中，，點是線段的中點．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
（2023·全國高一課時練習）
16．已知平面直角坐標系中，向量.
(1)若，且，求向量的坐標；
(2)若與的夾角為__________，求實數的取值范圍.
請在如下兩個條件中任選一個，將問題補充完整，并求解（如果兩個條件都選則按第1個的答題情況給分）：①銳角；②鈍角.
【易錯題目】第14題、第16題
【復盤要點】忽視向量的夾角的范圍致誤
【典例】
（2019人教A版課本練習）
已知向量， ．當k為何值時，與的夾角是鈍角？
【答案】且
【分析】由條件可得且不共線，然后可建立不等式求解.
【解析】因為與的夾角是鈍角，
所以且不共線，即
所以且.
易錯警示：在求向量夾角時，要確保所求的夾角在內，利用三角函數值cos θ求θ的值時，應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝，判斷θ的值時，要注意cos θ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cos θ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.
【復盤訓練】
（2023·山東泰安·高一期中）
17．已知向量，若與的夾角的余弦值為，則實數的值為（ ）
A． B． C．3 D．
（2023上·北京·高一清華附中校考期中）
18．已知向量，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黃石高一期中）
19．已知向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 ．
（2023上·山東·濟南市歷城二中高一期末）
20．已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
（2023下·廣西南寧·高一南寧三中校考期中）
21．已知向量，向量．
(1)若，求與的夾角；
(2)若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 0 3
【分析】利用平面向量線性運算法則和數量積運算法則計算即可.
【詳解】，故，
故答案為：0，3
2．##0.5
【分析】根據給定條件，利用向量夾角的坐標表示，列式計算即得.
【詳解】向量，所以向量與夾角的余弦值.
故答案為：
3．（答案不唯一，形如）
【分析】設出的坐標，再利用向量垂直的坐標表示即可作答.
【詳解】設，而向量，且，因此，即，又，則令，
所以，取，得.
故答案為：
4．5
【分析】先求出的坐標，再求出其模
【詳解】因為向量，，
所以，
所以，
故答案為：5
5．
【分析】根據向量數量積的坐標運算即可求出.
【詳解】，解得，
故答案為：.
6．
【分析】根據向量的線性運算，結合向量的垂直關系，列方程可得解.
【詳解】由，，得，
又，則，解得，
故答案為：.
7．
【分析】求出，進而用模長公式進行求解.
【詳解】由已知可得，
所以．
故答案為：
8．0
【分析】根據平面向量垂直和平行的坐標表示列方程組求解可得.
【詳解】因為，，
所以，解得，
所以.
故答案為：0.
9．1
【分析】用向量的模長和夾角計算即可.
【詳解】由，得.
由，得，
整理，得，
解得或（舍去）.
故答案為：.
10．4
【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標求解數量積.
【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，
則，，
則.

故答案為：4
11．(1)2，1；
(2).
【分析】（1）利用模長坐標公式求，再由數量積的定義求；
（2）應用向量數量積的運算律求即可.
【詳解】（1）由題設，則
（2）由 ，
所以.
12．(1)作圖見解析；
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐標運算即可解決；
（2）利用平面向量的數量積運算結合分類討論即可解決.
【詳解】（1）向量滿足，且，則如圖，這兩個向量均滿足題意，證明如下：
向量，，則，得，
因為，解得，所以；
（2）若，，，所以．
若，，．所以．
13．(1)或
(2)
【分析】（1）根據點的坐標得到向量，根據三點共線則向量與向量共線得到方程組，解方程組得到m的值；
（2）根據兩直線垂直得到向量的數量積為0，從而得到關于m的方程，解方程得到m的值.
【詳解】（1）由題意得，
則由三點共線得存在實數，使得，
即，
解得或.
（2）由得，
即，
解得.
14．（1） ；（2）．
【分析】（1）求出向量，的坐標，運用向量的夾角公式，計算即可得到；
（2）運用向量垂直的條件，即為數量積為0，計算即可得到m．
【詳解】解：（1）點A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4），
則，，，
則向量與夾角的余弦值為；
（2）A，B，C三點構成以A為直角頂點的直角三角形，
則有⊥，由于，，
則，解得．
15．（I）4；（II）.
【分析】（I）建立坐標系，利用坐標求解數量積，或者利用數量積的定義求解；
（II）求出向量的坐標，結合向量垂直的坐標表示可求的值，或者位置關系求解.
【詳解】法1：（I）
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則
，
，
；
（II）
，
．
法2：
（I）；
（II），∴，
∵，，
∴與重合，
∴．
16．(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）設出向量的坐標，利用向量平行和模長建立方程組，求解方程組可得答案；
（2）先表示出與的坐標，選擇夾角為銳角可以利用數量積大于零求解，選擇夾角為鈍角可以利用數量積小于零求解.
【詳解】（1）設，由題意得.
，解得.
，解得，
向量的坐標為或.
（2）.
當與共線時，，解得.
若選①銳角，則，
解得；
與的夾角為銳角時，實數的取值范圍為；
若選②鈍角，則，
解得，
與的夾角為鈍角時，實數的取值范圍是.
17．A
【分析】根據平面向量夾角的坐標公式計算即可.
【詳解】依題意，，解得.
故選：A.
18．C
【分析】由已知先求出，然后利用求解即可.
【詳解】因為，
所以，
則，
故選：C.
19．
【分析】利用數量積小于0且兩向量不共線反向列式求解.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不平行，所以且，解得且．
故答案為：
20．
【分析】先利用題意算出，再利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.
【詳解】因為，，所以，
因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，
所以且，
解得且，所以的取值范圍為，
故答案為：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根據得到與的夾角；
（2）根據與的夾角為鈍角得到且不反向共線，然后求即可.
【詳解】（1）當時，，，與的夾角為.
（2）因為與的夾角為鈍角，所以，解得，
當與反向共線，即時，，解得，
綜上，實數的取值范圍為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.5平面向量數量積的坐標表示
[課標要求]
1.掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算.
2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題．
[明確任務]
1.用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系（數學抽象）；
2.證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題（邏輯推理）；
3.利用平面向量數量積解決有關長度、角度的問題（數學運算）；
4.用坐標表示平面向量數量積的有關運算，揭示幾何圖形與代數運算之間的內在聯系（直觀想象）；
1.平面向量加、減、數乘的坐標表示；
2.平面向量數量積定義及其運算；.
3.兩點間距離公式，三角函數；.
核心知識點1 數量積的坐標運算
設非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ，則a·b＝x1x2＋y1y2.
例1. 已知．求．
【答案】，
【分析】根據向量的運算法則以及向量坐標的運算求解即可.
【解析】，
，
，
歸納總結　進行數量積運算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關系
（1）|a|2＝a·a.
（2）（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2.
（3）（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【舉一反三】
1．已知，則等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
2．已知，，，若，則x等于（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，，則 .
核心知識點2 平面向量的模
（1）若a＝（x，y），則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
（2）若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
則a＝（x2－x1，y2－y1），|a|＝.
例2. （1）設平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，則|3a＋b|等于（　　）
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，
解得y＝－4，從而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝.
（2）已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），則|2a－b|的最大值為________．
【答案】　2＋
【解析】　2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），
|2a－b|＝＝，
當cos θ＝－1時，|2a－b|取最大值2＋.
歸納總結 求向量a＝（x，y）的模的常見思路及方法
（1）求模問題一般轉化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿忘記開方．
（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
【舉一反三】
4．已知向量，，，則等于（　　）
A． B． C．5 D．25
5．設向量，且，則 ， .
核心知識點3 平面向量的夾角、垂直問題
（1）cos θ＝＝.
（2）a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例3.已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．
（1）求a與b夾角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求實數λ的值．
【解析】（1）因為a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
設a與b的夾角為θ，所以cos θ＝＝＝.
（2）因為a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝.
例4. 若點，，，則是什么形狀？證明你的猜想.
【解析】如圖，在平面直角坐標系中畫出點A，B，C，我們發現是直角三角形.
證明如下：
因為，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
歸納總結 解決向量夾角問題的方法及注意事項
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
（2）注意事項：利用三角函數值cos θ求θ的值時，應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝
判斷θ的值時，要注意cos θ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cos θ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.
【舉一反三】
6．已知向量. 若向量的夾角為，則實數
A． B． C．0 D．
7．已知向量，若向量與垂直，則 .
8．若向量，，，則等于（　　）
A．3 B．
C． D．
9．已知，則與夾角的余弦值為（　　）
A． B．
C． D．
10．已知向量，若與垂直，則等于（　　）
A．1 B．
C．2 D．4
11．若平面向量與的夾角是180°，且，則等于（　　）
A． B．
C． D．
12．已知點，．向量，則 ，＝ .
13．已知向量若，則 .
14．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E在邊CD上，且＝2，則的值是 .
15．已知向量是同一平面內的三個向量，其中．
(1)若，且，求向量的坐標；
(2)若是單位向量，且，求與的夾角.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據題意，利用向量的數量積的坐標運算公式，準確計算即可求解.
【詳解】由向量，可得，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】運用向量的坐標運算規則進行求解.
【詳解】解：由題意可得，，
所以，，
所以，解得x＝4.
故選：C.
3．
【分析】建系，根據平面向量的坐標運算求解.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，則，
因為，則，可得，
所以.
故答案為：.
4．C
【分析】對進行平方，結合已知條件進行求解.
【詳解】因為，故，
又，所以，
即，
即，解得.
故選：C.
5．
【分析】由，化簡得到，列出方程求得，再由向量模的坐標運算公式，即可求解.
【詳解】由向量且，
可得，所以，
則，解得，所以，
所以，則.
故答案為：；.
6．B
【分析】運用向量的數量積表示出向量點乘結果，然后求出的值
【詳解】，
根據題意可得：
即
兩邊平方化簡可得
故選
【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積，屬于基礎題．
7．
【分析】根據題意，結合向量的坐標運算，以及向量垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，可得
因為與垂直，可得，解得.
故答案為：.
8．A
【分析】根據向量數量積的坐標運算規則進行求解.
【詳解】因為，
故.
故選：A.
9．A
【分析】根據題意，結合數量積的運算公式和向量夾角公式，準確計算，即可求解.
【詳解】由向量，
可得，且，
所以.
故選：A.
10．C
【分析】根據兩向量垂直的充要條件列出關于的方程，求解即得.
【詳解】由與垂直可得：，
得：，故.
故選：C.
11．A
【分析】根據題意，可設，結合，列出方程，求得的值，即可求解.
【詳解】因為平面向量與的夾角是180°，所以且方向相反，
可設，其中，
又因為，可得，
因為，所以，所以.
故選：A.
12． 7
【分析】先求解出，根據數量積運算規則求出；求出坐標，根據模的運算規則得出結果.
【詳解】因為，，所以，又，
所以，
，
故.
故答案為：7；
13．
【分析】根據向量坐標的加減運算，利用垂直數量積為0的性質即可得解.
【詳解】由題意得，
因為，
所以，解得．
故答案為：.
14．
【分析】由于向量的數量積可以進行坐標運算，所以將幾何問題轉化為代數問題，建立以A為原點，
AB所在直線為x軸的平面直角坐標系，分別寫出A、B、E的坐標，再通過向量的坐標運算
即可求出向量的數量積.
【詳解】解析　以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵點E在邊CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴.
15．(1)或
(2)
【分析】（1）設，由，且，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.
【詳解】（1）解：設，因為，且，
可得，解得或，
所以或.
（2）解：因為，且為單位向量，可得，，
又因為，可得，所以，
則，
因為，所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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