資源簡介

6.3.1 平面向量基本定理【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.基底的概念，培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第1題、第7題、第11題、第14題；
2.用基底表示向量，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第5題、第8題、第9題、第13題；
3.平面向量基本定理的應用，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第4題、第6題、第10題、第12題、第15題；
（2023下·河南·高一校聯考期中）
1．設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．與
C．與 D．與
（2023·江西宜春高一期中）
2．在中，點D，E分別是，的中點，記，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣西玉林·高一校考期中）
3．如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網格的格點上，若，則（ ）

A． B．3 C．1 D．
（2023·湖北孝感·高一期中）
4．如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，且，則實數（ ）

A． B．2 C． D．3
（2023·山東德州·高一統考期末）
5．如圖1，蜜蜂蜂房是由嚴格的正六棱柱構成的，它的一端是平整的六邊形開口.六邊形開口可記為圖2中的正六邊形ABCDEF，其中O為正六邊形ABCDEF的中心，設，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校考階段練習）
6．如圖，，點P在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界），且，則實數對可以是（ ）

A． B． C． D．
（2023·河南洛陽·欒川縣高一期中）
7．如果是平面內兩個不共線的向量，那么選項中正確的是（ ）
A．可以表示平面內的所有向量
B．對于平面內任一向量，使的實數對有無窮多個
C．兩向量共線，則有且只有一個實數，使得
D．若存在實數使得，則
（2023下·福建漳州·高一校聯考期中）
8．如圖，在四邊形中，，點滿足，是的中點.設，，則下列等式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·湖南邵陽高一期中）
9．已知的兩條對角線相交于點O，以，為基向量，則 .
（2023·陜西商洛·高一校考期中）
10．在中,為的中點,為線段上一點,若,則的值為 .
（2023·山西師大附中高一期中）
11．已知、不共線，，，要使、能作為平面內的一組基，則實數的取值范圍為 ．
（2023下·山東棗莊·高一滕州市第一中學新校校考期末）
12．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為 .
（2023上·河南焦作·高一期中）
13．如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點F，記，．

(1)試用，表示、；
(2)試用，表示．
（2024上·遼寧丹東·高一統考期末）
14．己知向量以為基底的分解式為，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
（2023下·福建漳州·高一統考期末）
15．如圖，在中，，點是的中點，設，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置關系？用向量方法證明你的結論.
【易錯題目】第10題、第12題
【復盤要點】三點共線定理是2019人教A版必修二6.3.1平面向量基本定理一節中，的例1內容，定理在某些題目中應用起來會起到事半功倍的效果，具體應用如下.
例1.（2023上·北京·高一北京市第十二中學校考期中）在中，，若點D滿足，則 .
【答案】1
【分析】利用向量的幾何關系，結合加減法及已知條件用表示出，即可得結果.
【詳解】如圖
由題設，，而，
所以，又，
則，故.
故答案為：1
易錯警示：三點共線定理：如圖，如果三點共線，點是平面內任意一點，若，則.反之也成立.
這個定理可以用來證明三個點是否在同一條直線上，也可以用來求出直線上的一點到已知兩點的距離.
【復盤訓練】
（2023·甘肅天水高一期中）
16．在中，D為線段BC上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·重慶開州·高一臨江中學月考）
17．如圖，在中，為線段上的一點，，且，則 .
（2023·湖北黃石高一期中）
18．已知的面積為24，點D，E分別在邊BC，AC上，且滿足，，連接AD，BE交于點，則的面積為 ．
（2024上·廣東汕頭·高一統考期末）
19．如圖，正方形中，，是線段上的動點且（），則的最小值為 ．
（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯考期末）
20．如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點滿足，證明：，，三點共線．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】判斷出哪個選項的兩個向量共線即可.
【詳解】對于C，共線，不能作為基底，
對于ABD，兩組向量都不共線，
故選：C.
2．D
【分析】根據題意，由平面向量的線性運算，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可知，，．
兩式相減，得，所以．
故選：D．
3．D
【分析】運用平面向量基本定理，結合圖象即可得到問題答案.
【詳解】根據圖象，

根據平面向量基本定理，可知：，
所以，，
，
故選：D.
4．B
【分析】先將分別用表示，再結合題意即可得解.
【詳解】，
，
所以，
又因為，
所以.
故選：B.
5．B
【分析】根據正六邊形的性質及平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】解：因為，，由正六邊形的性質可知，，
所以，，
所以
.
故選：B
6．D
【分析】根據向量加法的幾何意義，結合已知，即可得出答案.
【詳解】
根據向量加法的幾何意義可知，
當時，由可知，點應落在區域1，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域2，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域3，不符合題意；
當時，由可知，點應落在區域4，符合題意.
又當時，根據向量加法的幾何意義可知，此時點應落在陰影區域之外，所以.
故選：D.
7．AD
【分析】由平面向量基本定理、共線向量定理以及零向量的定義即可求解.
【詳解】由平面向量基本定理可知，AD是正確的．
對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．
對于C，當時，不存在這樣的，故選A，D.
故選：AD.
8．BC
【分析】根據向量線性運算依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，由B知：，D錯誤.
故選：BC.
9．
【分析】根據平行四邊形的性質，結合圖形即可得出答案.
【詳解】
根據平行四邊形的性質可知，.
故答案為：.
10．
【分析】先轉化基底為,再利用三點共線即可求解.
【詳解】如圖:,
又因為三點共線,所以得.
故答案為:.
11．
【分析】依題意可知與不共線，則，根據平面向量基本定理得到不等式組，解得即可.
【詳解】因為、不共線，所以與能作為平面內的一組基，
若、能作為平面內的一組基，則與不共線，
因為，，所以，
即，即，所以，
即實數的取值范圍為.
故答案為：
12．
【分析】解法1：先根據得到，從而可得，再根據三點共線定理，即可得到的值.
解法2：根據圖形和向量的轉化用同一組基底去表示，根據圖形可得：，設，通過向量線性運算可得：，從而根據平面向量基本定理列方程組，解方程組得的值.
【詳解】解法1：因為，所以，
又，
所以
因為點三點共線，
所以，
解得：.
解法2：
因為，設，
所以，
因為，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算、三點共線定理，平面向量基本定理的運用，屬于基礎題.
13．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四邊形法則求出，再利用向量減法法則求出作答.
（2）利用平行線的性質探求出，再利用向量減法法則求解作答.
【詳解】（1）平行四邊形的對角線AC和BD交于點M，
，
.
（2）點E在BC上，且，，則，
于是，即，，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程組求m，n的值；
（2）利用向量共線的條件，計算k的值.
【詳解】（1），
則有，解得.
（2），由，有，
即，則，解得.
15．(1)，
(2)，證明見解析
【分析】（1）根據向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解；
（2）因為，化簡，即可得到結論.
【詳解】（1）解：因為，所以，
因為是的中點，
可得
（2）解：.
因為，
則
以，所以.
16．D
【分析】可畫出圖形，根據即可得出，從而得出，解出向量即可．
【詳解】如圖，
，
，
，
．
故選：D
17．2
【分析】根據圖形，利用平面向量的運算法則即可.
【詳解】由題意，結合圖形，根據平面向量的運算法則，由，
得，即，所以，.
所以.
故答案為：.
18．4
【分析】根據平面向量的線性運算，結合三點共線的結論，即可由比例得面積關系.
【詳解】由，得,
設,所以,
由于三點共線，所以，
所以，
由可得,所以,
由得.
故答案為：4

19．##
【分析】通過設將用的另一個表達式表示，再結合題設條件推得，運用常值代換法和基本不等式即可求得.
【詳解】因是線段上的動點，不妨設,則，又，
則,
又，故得：，解得：.
因，于是由，
當且僅當時等號成立，即時，的最小值為.
故答案為：.
20．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用向量的線性運算和基本定理求解即可.
（2）利用三點共線的判定證明即可.
【詳解】（1）因為，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三點共線.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3.1 平面向量基本定理
題型一 對基底的理解
例1. 如果，是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【解析】選項A中，設，則無解；
選項B中，設，則無解；
選項C中，設，則無解；
選項D中，，所以兩向量是共線向量，故D中向量不能作為基底．
【方法技巧與總結】基底不能是共線向量，判定兩個向量能否構成基底，主要看這兩個向量是否共線．
【變式訓練1-1】（2024·貴州六盤水高一期末）
1．下列說法中正確的是（ ）
A．平面向量的一個基底中，，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，則
C．若單位向量，的夾角為，則在上的投影向量是
D．表示同一平面內所有向量的基底是唯一的
【變式訓練1-2】（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）
2．若，是平面內兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．可以表示平面內的所有向量
B．對于平面中的任一向量，使的實數，有無數多對
C．，，，均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使
D．若存在實數，，使，則
題型二 用基底表示向量
例2．（2023·安徽銅陵·高一期中）已知AD是邊BC上的中線，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則．
【答案】D
【解析】如圖所示，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，連接DE，則．
因為，所以．
【方法技巧與總結】平面向量基本定理的作用以及注意點：
（1）根據平面向量基本定理，平面內的任一向量可用同一個基底表示，進而建立起了向量之間的聯系．
（2）基底的選擇，一般遵循“模已知、夾角已知”的原則．
（3）利用已知向量表示未知向量時，通常借助向量加法、減法、數乘運算的幾何意義，將向量集中在封閉的圖形中，利用三角形法則或者平行四邊形法則快速找到表示法．
【變式訓練2-1】（2023·四川南充·高一統考期末）
3．在中，且角的平分線交于則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】（2023·江西贛州·高一期末）
4．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】（2023·河南開封高一期中）
5．如圖，梯形中，，點M，N分別是，的中點，且，設，，以為基底表示向量.
題型三 對平面向量基本定理的理解與應用
例3．（2023·四川成都·高一期中）在中，，，則的值為（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【思路分析】先找出一個基底，再用這個基底分別把等式兩邊的向量表示出來，然后利用方程（組）求解．
【答案】C
【解析】因為，所以，即點D在BC的延長線上，且C為BD的中點，則，
所以，，則，故選C．
【方法技巧與總結】
（1）對任一向量基底表示的唯一性的理解：
條件一 平面內任一向量和同一平面內兩個不共線向量，
條件二 且
結論
（2）任一向量基底表示的唯一性的應用：
平面向量基本定理指出了平面內任一向量都可以表示為同一平面內兩個不共線向量，的線性組合，即存在實數，，使．
在具體求，時有兩種方法：
①直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．
②利用待定系數法，即利用定理中，的唯一性列方程組求解．
【變式訓練3-1】（2024上·福建廈門外國語學校·高一期中）
6．如圖，在中，令，，D，E分別是BC，AC上的點，且滿足，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練3-2】（2023·河南濮陽·高一統考期中）
7．如圖，在中，點分別在邊上，且均為靠近的四等分點，與交于點，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【變式訓練3-3】（2023·四川瀘州·高一統考期中）
8．如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且，BN與CM相交于點E，設，，試用基底表示向量.
易錯點 基底概念理解不透，判斷出錯
【典例】（2023·江蘇鎮江·高一鎮江市實驗高級中學高一期中）設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】由于是平面內的一個基底，故不共線，根據向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，
，故和共線，不能作為平面的基底，D錯誤，
故選：D
易錯警示
（1）兩個向量能否作為一組基底，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．
（2）一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來. 設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x1＝x2且y1＝y2.
提醒：一個平面的基底不是唯一的，同一個向量用不同的基底表示，其線性表示是不同的．
針對訓練1-1（2023·廣西玉林·高一期中）
9．如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（ ）
A． B．
C． D．
針對訓練1-2（2023·吉林通化·高一期中）
10．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
針對訓練1-3（2023下·山東泰安·高一統考期末）
11．若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
針對訓練1-4（2023下·山東泰安·高一統考期末）
12．已知、不共線，，，要使、能作為平面內的一組基，則實數的取值范圍為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABC
【分析】選項A，由基底的定義判斷；選項B，由判斷；選項C，由在方向上的投影向量的定義判斷；選項D，由基底的定義判斷.
【詳解】選項A，作為基底的兩個向量一定不共線，零向量與任意向量共線，
因此，一定都是非零向量，故A正確；
選項B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正確；
選項C，在方向上的投影向量為，故C正確；
選項D，只要不共線的兩個向量都可以作為基底，所以表示同一平面內所有向量的基底是不唯一的，故D錯誤；
故選：ABC
2．BC
【分析】根據平面向量基本定理結合線性運算分析判斷.
【詳解】由題意可知：，可以看成一組基底向量，
根據平面向量基本定理可知：A，D正確，B不正確；
對于C，當時，則，
此時任意實數均有，故C不正確；
故選：BC．
3．A
【分析】由用平分線定理得，，然后利用向量的加法法則和減法法則計算化簡，
【詳解】因為是角的平分線，　，，
所以，
故選：A．
4．B
【分析】由已知可得出，利用平面向量的線性運算得出，再結合平面的基本定理可得結果.
【詳解】由題意得，
所以，即，
故選：B．
5．，.
【解析】以，為基底， 根據向量的線性運算，結合圖形即可求解.
【詳解】∵，且，
∴.
∵，
∴
.
又∵，且，，
∴
.
【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，基底的概念，屬于中檔題.
6．B
【分析】設，結合平面向量的加減運算，利用平面向量基本定理求解.
【詳解】解：設，
則，
，
，
，
又，
所以，
解得，
所以，
故選：B
7．B
【分析】根據平面向量加法的幾何意義，結合平面共線向量的性質進行求解即可.
【詳解】設，，
因為，
，
所以有，
即，因此，
故選：B
8．
【詳解】試題分析：
根據N，E，B三點共線和C，E，M三點共線分別得到向量關于基底的分解式，根據分解式的唯一性可得系數相等，由此可得向量關于基底的表達式．
試題解析：
由題意得，，
由N，E，B三點共線知存在實數m，滿足.
由C，E，M三點共線知存在實數n，滿足.
所以.
由于為基底，
所以，解得
所以.
點睛：應用平面向量基本定理應注意的問題
（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，平面的基底可以有無窮多組．在解決具體問題時，合理地選擇基底會給解題帶來方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數乘運算．
9．B
【分析】利用基底的定義求解.
【詳解】由題中圖形可知：與，與，與共線，不能作為基底向量，
與與不共線，可作為基底向量．
故選：B.
10．C
【分析】根據兩個向量滿足平面的一組基底，需這兩個向量不共線，由此逐一判斷可得選項．
【詳解】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；
對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；
對于C：設，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；
對于D：設，所以，所以此兩個向量不可以作為基底.
故選：C．
11．C
【分析】根據向量共線定理逐一判斷.
【詳解】對于A，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，A不選；
對于B，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，B不選；
對于C，假設存在實數，使，則，解得，即與共線，選C；
對于D，假設存在實數，使，則，方程組無解，即不存在實數，使，即與不共線，D不選；
故選：C
12．
【分析】依題意可知與不共線，則，根據平面向量基本定理得到不等式組，解得即可.
【詳解】因為、不共線，所以與能作為平面內的一組基，
若、能作為平面內的一組基，則與不共線，
因為，，所以，
即，即，所以，
即實數的取值范圍為.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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