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6.3.5平面向量數量積的坐標表示
題型一 平面向量數量積的坐標表示
例1. （2023·北京北大附中高一期末）已知正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點，點P滿足
，則______；_____.
【分析】先根據圖形建立恰當的平面直角坐標系，然后標出各點坐標，根據條件求出點P的坐標，最后求.
【答案】 10
【解析】如圖，以A為原點，的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，
則，，，.
設，所以，，.
因為，所以，解得，，
所以，所以，所以.
又，所以.
【方法技巧與總結】向量數量積運算的途徑及注意點：
（1）進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質.解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知條件計算.
（2）對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產生建系的想法，并寫出相應點的坐標求解.
【變式訓練1-1】（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）
1．函數的部分圖象如圖所示，則=
A．6 B．14 C．3 D．6
【變式訓練1-2】（2024·河北邯鄲高一期末）
2．已知，，則 .
【變式訓練1-3】（2024·江蘇鹽城高一期末）
3．在中，，，，為的重心，在邊上，且，則 ．
【變式訓練1-4】（2023·湖北黃石高一期末）
4．已知，.
(1)設，求；
(2)求向量在上的投影的數量.
題型二 向量的垂直及應用
例2.（2023·安徽銅陵·高一期中）已知向量，，且，則m的值為（　　）
A.3 B.1 C.1或3 D.4
【答案】A
【解析】因為，，所以.
又因為，所以，所以，
即，解得.故選A.
【方法技巧與總結】設兩個非零向量，，則
，即.
.
注意向量平行與垂直坐標表示的區別，有關向量的垂直問題，通常利用向量的數量積為0來解決，
【變式訓練2-1】（2023·安徽亳州第一中學·高一期末）
5．已知向量，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】（2023·吉林省吉林市·高一期末）
6．已知向量，則與向量垂直的單位向量的坐標為（ ）
A． B．
C．或 D．或
題型三 向量的模
例3.（2023·江西南昌蓮塘一中·高一期中）設，向量，，，且，，則（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵，∴，解得，則.
∵，∴，解得，則.
∴，則.故選B.
【方法技巧與總結】（1）用字母表示的向量的模的運算：利用，將向量模的運算轉化為向量
與向量的數量積的問題；
（2）用坐標表示的向量的模的運算：若，則，則.
【變式訓練3-1】（2023·湖北華中師大附中·高一期中）
7．已知向量，，若與反向共線，則的值為（ ）
A．0 B．48 C． D．
【變式訓練3-2】（2023·北京育英學校·高一統考期中）
8．已知向量，，則 .
【變式訓練3-3】（2023·江蘇淮安·高一統考期中）
9．已知，設向量，.若，則 .
題型四 向量的夾角
例4.（2023·江西南昌蓮塘一中·高一期中）已知向量，，則向量，的夾角為（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路分析】先求向量的坐標，再求向量，夾角的余弦值，最后根據向量夾角的范圍確定角的大小.
【解析】由，得，
故，，.
設向量，的夾角為，則.
又因為，所以.故選B.
【方法技巧與總結】先利用向量的坐標求出向量，的數量積以及，，再由，求出，也可由，直接求出.由三角函數值求角時，應注意角的取值范圍是（為與的夾角）.所以用來判斷時，可將分為五種情況：若，則；若，則；若，則；若且，則為鈍角；若且，則為銳角.
【變式訓練4-1】（2023·江西宜春·高一統考期中）
10．已知向量，且與的夾角為銳角，則實數滿足
A． B．
C．且 D．且
【變式訓練4-2】（2023·安徽宣城·高一統考期中）
11．已知向量且向量，設向量與向量的夾角為，則 ．
【變式訓練4-3】（2023·山東青島·高一統考期中）
12．已知向量，，，且，．
（1）求與；
（2）若，，求向量與的夾角的大小．
易錯點1 忽視向量的夾角的范圍致誤
【典例】（2023·湖北孝感高一期中）已知向量，，，
則與的夾角為（　　）
A. B. C. D.
【錯解】∵，
∴.故選B.
【錯因分析】因為，所以，故的范圍不在內.
【正解】∵，且，，
∴.∴.故選A.
【答案】A
易錯警示 在求向量夾角時，要確保所求的夾角在內，并且一方面要保證方程中三角函數同名，另一方面要保證前后兩角在相同的單調區間上.
1-1（2023·江蘇鹽城·高一期中）
13．角的頂點在坐標原點O，始邊與x軸的非負半軸重合，點P在的終邊上，點，且，則與夾角的余弦值為（　　）
A． B． C．或 D．或
1-2（2023·河南周口·高一期中）
14．已知，．
(1)若與垂直，求k的值；
(2)若為與的夾角，求的值．
易錯點2 判斷圖形的形狀考慮不周出錯
【典例】（2023·江蘇鹽城·高一期中）已知，，，，
判斷由此四點構成的四邊形的形狀.
【錯解】因為，，
所以，所以四邊形ABCD是平行四邊形.
【錯因分析】判斷四邊形的形狀一般按以下步驟進行：（1）是否是平行四邊形；（2）是否是矩形或菱形；
（3）是否是正方形，其中判斷是否為平行四邊形要利用向量相等，判斷是否為矩形或菱形要利用向量垂直.
【正解】因為，，
所以，所以四邊形ABCD是平行四邊形.
因為，
所以，
所以，所以四邊形ABCD是矩形.
易錯警示 在判斷圖形的形狀時，我們要從邊和角兩方面來考慮，從而判斷出一個最準確的形狀，有時容易因為考慮不全面而導致判斷錯誤.
2-1（2023·山東泰安高一期中）
15．已知，，則 時，是直角三角形．
2-2（2023·山西長治·高一校考期中）
16．在四邊形ABCD中，已知，，，.
（1）判斷四邊形ABCD的形狀；
（2）求向量與夾角的余弦值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】首先結合正切函數圖象得到點A與點B的坐標，進而表示出，然后利用向量數量積的坐標運算法則進行解答即可．
【詳解】在中，
令，得，所以點A的坐標為；
令，得，所以點B的坐標為．
∴，
∴，
∴.
故選D．
【點睛】本題考查數量積的運算和正切函數的性質，求解的關鍵是根據正切函數的圖象得到點的坐標，然后根據向量數量積的坐標運算求解，考查轉化能力和計算能力．
2．38
【分析】根據平面向量數量積的坐標運算可求出結果.
【詳解】.
故答案為：38
3．
【分析】根據為的重心，得到，再由和，利用等面積法求得，進而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.
【詳解】解：因為為的重心，
所以，
因為，
所以，則，
因為，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因為，
，
所以，
．
方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，，
由方法一可知，，
所以．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，利用向量的坐標運算，以及數量積的運算公式，準確運算，即可求解；
（2）根據題意，利用向量的數量積的幾何意義，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，，
可得，且，
所以.
（2）解：由向量，，可得，且，
所以向量在上的投影的數量為.
5．B
【分析】首先求出的坐標，再根據向量垂直得到，即可求出參數的值；
【詳解】解：因為，所以
因為，所以，解得
故選：B
6．D
【分析】先寫出與之垂直的一個向量，然后再求得與此垂直向量平行的單位向量即得．
【詳解】易知是與垂直的向量，，
所以與平行的單位向量為或，
故選：D．
7．C
【分析】由向量反向共線求得，再應用向量線性運算及模長的表示求.
【詳解】由題意，得，
又與反向共線，故，此時，
故.
故選：C.
8．
【分析】根據向量的坐標運算，求得，結合模的坐標運算，即可求解.
【詳解】由向量，，所以，
所以.
故答案為：.
9．2
【分析】按向量的坐標運算規則展開即可.
【詳解】因為
所以
所以
所以
解得
故答案為：2.
10．C
【詳解】由題意知，向量，且與的夾角為銳角，
則根據向量的數量積可知，，而,則，
同時不能共線且同向，則，
據此可得且，
本題選擇C選項.
點睛：向量的坐標表示的本質是向量的代數表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題．
11．
【分析】利用向量夾角的坐標表示求即可.
【詳解】由題設，，，則，，
所以.
故答案為：
12．（1），；（2）.
【分析】（1）利用平行、垂直的坐標表示列方程，由此求得，進而求得與.
（2）利用向量夾角公式計算出，進而求得向量與的夾角的大小.
【詳解】（1）由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即.
（2）由（1）得，
，
所以，，，
所以，
所以向量，的夾角為.
13．C
【分析】根據題意，求得，，結合向量的夾角公式，求得，分類討論，即可求解.
【詳解】由點P在的終邊上，且，可設，所以
又由，可得，則，
可得，
當時，；當時，.
故選：C.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示，結合垂直的坐標表示求解作答.
（2）利用向量夾角的坐標表示計算作答.
【詳解】（1）因為，，則，，
依題意，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，則，，
因此，而，
所以.
15．或或
【解析】分角分別為直角時,利用垂直向量的性質求解即可.
【詳解】①當時,
∵,∴．∴,解得．
②當時,
∵,且,
∴,解得．
③當時,∵,∴,
即,∴．
故答案為：或或
【點睛】本題主要考查了向量垂直的應用,屬于中等題型.
16．（1）等腰梯形；（2）
【分析】（1）計算得到，且，得到答案.
（2），，利用夾角公式計算得到答案.
【詳解】（1），，故，
，，故，故四邊形ABCD為等腰梯形.
（2），，故.
【點睛】本題考查了根據向量判斷四邊形形狀，向量夾角，意在考查學生的計算能力和應用能力.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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