資源簡介

6.3.5平面向量數量積的坐標表示
【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.平面向量數量積的坐標運算，培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，如第1題、第6題、第9題、第13題；
2.向量的夾角與垂直問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第3題、第12題、第15題；
3.向量的模與長度問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第2題、第4題、第11題、第16題；
4.與數量積有關的參數最值與范圍問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第5題、第7題、第8題、第10題、第14題；
一、單選題
（2023·陜西咸陽·高一校考期中）
1．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·廣東佛山高一統考期末）
2．已知向量，，且，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
（2023·湖北黃石高一期末）
3．已知向量，，且與的夾角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·貴州遵義·高一統考期末）
4．已知，，，，若，則的值為（ ）
A． B．或 C． D．或
（2024上·廣東深圳·高一統考期末）
5．已知是邊長為2的正六邊形的一個頂點，則的最小和最大值分別是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·浙江杭州浦江中學校高一聯考期中）
6．設非零向量和的夾角為，定義運算：.已知，，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠縣第一中學校聯考期中）
7．設向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東廣州六中高一校考期末）
8．如圖，在平面四邊形中，，，，，若為線段上的動點，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
（2023下·廣西柳州·高一統考期末）
9．在平面直角坐標系中，已知點，，，則（ ）
A．
B．與的夾角為
C．在方向上的投影向量的坐標為
D．與垂直的單位向量的坐標為或
（2023下·浙江舟山·高一統考期末）
10．已知是邊長為1的正方形邊上的兩個動點，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為
B．的最大值為2
C．的最小值為
D．的最大值為1
三、填空題
（2023·陜西安康·高一期中）
11．已知平面向量，的夾角為，則 ．
（2023·江西宜春高一統考期中）
12．已知向量，，，若，則等于
（2023上·山西呂梁·高一期末）
13．已知 ，，且，則在上的投影向量為 ．
（2023·天津河東·高一期末）
14．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D為BC中點，E為AB中點，M為線段CE上動點，= 4，則| AC | = ；的最小值為 .
四、解答題
（2023下·山西朔州·高一校聯考期末）
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，向量與的夾角為銳角，求的取值范圍.
（2023·浙江麗水·高一統考期末）
16．如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點.
(1)求的余弦值.
(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由.
【易錯題目】第8題、第10題、第14題
【復盤要點】 運用向量數量積求參數的最值與范圍問題，基本思路是利用向量數量積坐標運算建立關于參數的函數關系式，再運用函數或基本不等式可得出其最值或取值范圍．
（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）
典例.在等腰梯形中，∥，，，為的中點，點是邊上一個動點，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，根據平面向量的坐標運算可得，進而可得結果.
【解析】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則，
設，
可得，
則，
可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
易錯提示：應用向量數量積坐標運算求參數的最值或范圍的基本思路：
1. 確定問題中的向量和參數：首先，明確問題中涉及的向量及其坐標表示，以及與參數相關的向量或函數；
2. 建立向量關系：根據問題的條件，找到向量之間的關系（共線、平行）等；
3. 轉化為坐標形式：將向量關系轉化為坐標形式，利用向量的坐標運算規則進行計算；
4. 構建目標函數：根據問題的要求，構建與參數相關的目標函數，通常是一個關于參數的表達式；
5. 求解參數的最值或范圍：根據目標函數，通過函數性質、求解方程、基本不等式等方法，確定參數的最值或范圍.
【復盤訓練】
（2023·湖南永州高一期末）
17．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術.圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運動，則的最小值為（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
（2023上·天津北辰·四十七中學高一期中）
18．如圖，等腰梯形ABCD中，，，點E是線段BD上的動點，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
（2023上·江蘇連云港·高一統考期中）
19．設，，都是單位向量，且與的夾角為60°，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·云南曲靖·高一曲靖一中期中）
20．已知向量，，若非零向量滿足，則取最小值時，的坐標為 .
（2023·山東菏澤三中高一期末）
21．設，向量，，且，則 ；當時，的取值范圍為 ．
（2023·四川攀枝花高一期末）
22．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區人們為了達到裝點環境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據數量積得運算律計算即可.
【詳解】由，
所以，則.
故選：C
2．A
【分析】由求出，從而可求解.
【詳解】由，，所以，
因為，所以，得，
所以，故A正確.
故選：A.
3．B
【分析】先表示出，然后根據求解出的值.
【詳解】因為，，
所以，所以，
解得或（舍去），
故選：B.
4．B
【分析】由向量的運算和三角函數即可得的值.
【詳解】，，
，
，
因為，
所以，，
即，顯然，
所以，，
又，所以或.
故選：B
5．C
【分析】在正六邊形中建立直角坐標系，求得各頂點的坐標，根據數量積的坐標運算計算即可．
【詳解】由題意，在邊長為2的正六邊形中，建立如圖所示坐標系，
則，，，，，，
則，，，
，，，
，，
，，
顯然為最大值，為最小值，
故選：C．
6．C
【分析】先根據，求得，，，
進而可得，進而由可得.
【詳解】由，得：
，，，
故，
因，故
由題意，
故選：C
7．C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【詳解】解：向量在向量上的投影向量為，
則，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為．
故選：C
8．C
【分析】先建系，求出對應點的坐標，然后結合平面向量數量積的坐標運算求解即可．
【詳解】因為，兩邊平方化簡得，即，
如圖所示的平面直角坐標系，

，所以，
所以，又F為線段DE上的動點，
設，則，所以
則，
所以，又
所以當時，取最小值為4.
故選：C.
9．BD
【分析】求出即可判斷A選項，設與的夾角為，求出即可判斷B選項，設與同向的單位向量為，求出，根據在方向上的投影向量的坐標為即可判斷C選項，設與垂直的單位向量為，解即可判斷D選項．
【詳解】因為點，，，
所以，，所以，
所以，故A選項錯誤；
設與的夾角為，所以，
所以與的夾角為，故B選項正確；
設與同向的單位向量為，，
所以在方向上的投影向量的坐標為，故C選項錯誤；
因為，設與垂直的單位向量為，
則，解得或，
所以與垂直的單位向量的坐標為或.
故D選項正確.
故選：BD.
10．AD
【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，利用數量積的坐標形式逐項計算后可得正確的選項.
【詳解】
建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，
設，
其中或時，；或時，；
或時，；或時，.
又，
對于A，，
當且僅當時等號成立，
故的最小值為，故A正確.
對于B，，
因為，，故，
而，故，所以的最大值不可能為2，故B錯誤.
對于C，，
因為，故，
當且僅當時，；
當且僅當時，；
所以的最小值為，的最大值為1，
故C錯誤，D正確.
故選：AD.
【點睛】思路點睛：對于幾何圖形下的數量積的計算問題，如果圖形比較規則，則可以考慮建立平面直角坐標系，讓數量積的計算問題歸結為坐標計算，另外在估計多變量的代數式的最值時，可利用不等式的性質結合等號成立的條件來處理.
11．
【分析】利用向量的坐標表示可得，將平方代入計算即可求出.
【詳解】由得，
由的夾角為，得，
又，所以，
所以．
故答案為：
12．
【分析】確定，再利用向量的夾角公式計算得到答案.
【詳解】，，，
，即，即，解得.
故答案為：.
13．
【分析】根據模得數量積，再由已知可得數量積，根據投影向量的定義求解即可得答案.
【詳解】由題可得：，整理得，則
又 ，，所以，則，
則在上投影向量為.
故答案為：.
14． 4
【分析】根據即可條件可判斷出△ABC為等邊三角形，再根據向量的數量積運算公式展開題中式子即可算出三角形邊長，最后根據三角形邊長建立平面直角坐標系將各點表示出來運用向量的坐標運算即可得出答案.
【詳解】空1：由題可知△ABC為等邊三角形，，
解得，因此；
空2：如圖，設，，，其中，
，，，
當時，，即為的最小值.
故答案為：4；.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）先求出和的坐標，再由，得，從而可求出的值；
（2）由與的夾角為銳角，可得且與不共線，從而可求出的取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以，
，
又，所以，
即，解得；
（2）因為，所以.
因為向量與的夾角為銳角，
所以且與不共線，
所以，解得且，
即的取值范圍是.
16．(1)
(2)存在或者
【分析】（1）建立平面直角坐標系，運用向量法求解夾角即可.
（2）分類討論點的位置，依據條件求解即可.
【詳解】（1）
如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系.
則.
由于就是的夾角.
∴.
∴的余弦值為.
（2）設.
.
∴.由題得.
①當點在上時，設，
；
②當點在上時，設，
∴舍去；
③當點在上時，設，
∴舍去；
④當點在上時，設，
∴.
綜上，存在或者.
17．D
【分析】建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量的數量積和三角函數的性質即可求解.
【詳解】如圖以為坐標原點，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設點，
由題意知，，，則，，
所以，當，即時取最小值，
故選：D.
18．A
【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，將向量坐標化即可求解
【詳解】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，過A且與AB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，，所以．

設，，，（注意判斷的取值范圍，為后續計算做準備）
則，所以，得，
所以，所以，．
所以，
所以當時，取得最小值，為．
故選：A
19．D
【分析】按題意設出向量坐標，展開運算即可.
【詳解】設，，，則
所以
故選：D.
20．
【分析】設，根據已知列出關系式，代入坐標整理得出.表示出，根據二次函數的性質，即可得出最值，求出答案.
【詳解】設，
則由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
當時，取得最小值，
此時，即.
故答案為：.
21．
【分析】根據向量垂直列方程求得，進而求得.利用平方的方法，結合二次函數的性質求得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，即，得，
所以．
由題知，又，
所以當時，取得最小值，最小值為5，
當時，取得最大值，最大值為25，
故的取值范圍為．
故答案為：；
22．
【分析】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標系表示向量，寫出的解析式，再求的取值范圍即可.
【詳解】以原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.
因為正方形的邊長為，所以，
則、，則，
設的中點為，則，，所以，，
因為是半圓上的動點，設點，
則，其中，則，
所以，，
由對稱性可知，當點在第三象限的半圓弧上運動時（包含點、），
，
當點在第一象限的半圓弧上運動時（包含點、），的中點為，半圓的半徑為，
可設點，其中，則，
，則，
同理可知，當點在第四象限內的半圓弧上運動時（包含點、），
.
綜上可知，的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數量積的幾何意義．
具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁 6.3.5平面向量數量積的坐標表示
【第三課】
擴展1 判斷三角形形狀問題
（2023·安徽銅陵·高一統考期中）
例1.已知向量，，．若中A為鈍角，則實數k應滿足的條件是______．
【答案】
【思路分析】中A為鈍角，則．
【解析】因為，，，所以，．
因為A為鈍角，所以，且 ，
所以解得，則實數k應滿足的條件是．
【方法總結】對于判斷三角形形狀的問題，在中，若已知三點，，，則（1），即時，A為銳角；
（2），即時，A為直角；
（3），即時，A為鈍角．
三角形的三個內角均滿足（1）時，該三角形為銳角三角形；三個內角有且只有一個滿足（2）時，該三角形為直角三角形；三個內角有且只有一個滿足（3）時，該三角形為鈍角三角形．
【舉一反三1-1】
（2023下·河北唐山·高一唐山市第十一中學校考期末）
1．已知，，，則的形狀是（ ）．
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【舉一反三1-2】
（2024·遼寧丹東·高一統考期末）
2．已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，則△ABC的形狀為
A．等腰非直角三角形 B．等邊三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
【舉一反三1-3】
（2023·河南洛陽·高一統考期中）
3．已知，，.
（1）若，判斷的形狀，并給出證明；
（2）求實數的值，使得最小；
（3）若存在實數，使得，求、的值.
擴展2 與向量數量積有關的最值或取值范圍
（2023·福建三明一中高一期中）
例2.在直角三角形ABC中，A為直角，，．若AM是BC邊上的高，點P在的邊界上運動，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路分析】以A為坐標原點建立平面直角坐標系，利用三角函數知識求點M的坐標，分別確定
點P橫、縱坐標的范圍，計算，利用一次函數的性質得到結論．
【解析】由，，，可得．
如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，
建立平面直角坐標系，則，．
∵，，，∴，∴，
∴，∴，
∴，，∴．
由題可知，∴當點P在線段BC上運動時，．
當點P在線段AC上運動時，隨點P位置的變化而變化．
設，則，
∴．
同理，當點P在線段AB上時，．
∴的取值范圍是．故選D．
例3. 已知點和，O為坐標原點，則的最小值為（ ）
A． B．5 C．3 D．
【思路分析】先求向量的坐標，再求，利用二次函數的性質求最小值．
【解析】由題意可得，，則．由二次函數的性質可得，當且僅當時，．故選D．
【方法總結】解決與向量數量積有關的最值（范圍）問題，一般是利用數量積的坐標表示轉化為關于某一自變量的函數，根據函數的性質以及滿足題目條件的自變量的范圍，確定函數的值域，從而得到結論．
【舉一反三2-1】
（2023·四川南充一中高一校考期中）
4．正方形ABCD的邊長為2，以AB為直徑的圓M，若點P為圓M上一動點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-2】
（2023·遼寧沈陽市郊聯體高一期中）
5．在等腰梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
【舉一反三2-3】
（2023·湖南武岡第二中學高一期末）
6．在中，，，動點位于直線上，當取得最小值時，的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-4】
（2023·河北邯鄲高一期末）
7．已知是邊長為的正三角形，E為線段BC上一點（含端點），M為線段AC上一點，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-5】
（2023·四川瀘州·高一統考期末）
8．在中，，P為所在平面內一動點，則的最小值為 ．
【舉一反三2-6】
（2023·江蘇無錫市北高級中學高一期中）
9．已知向量，，在同一平面上，且，．
(1)若與與垂直，求k的值；
(2)若（其中，當取最小值時，求與的數量積的大小．
（重慶·高考真題）
10．設向量，則等于（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
11．已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
（北京·統考高考真題）
12．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
（全國·統考高考真題）
13．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
14．正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
（山東·高考真題）
15．已知向量，若與垂直，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（湖南·高考真題）
16．已知向量，若時，；時，，則（ ）
A． B．
C． D．
（全國·統考高考真題）
17．已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
（福建·高考真題）
18．在中，，則k的值是（ ）
A．5 B． C． D．
（湖北·高考真題）
19．已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
20．已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（天津·高考真題）
21．已知向量與向量的夾角是，且，則＝ .
（山東·統考高考真題）
22．已知點，，點在函數圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是 .
（2022·北京·統考高考真題）
23．在中，.為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是 .
（湖北·高考真題）
24．已知向量，若不超過5，則的取值范圍是 .
（天津·統考高考真題）
25．如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為 ，若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
（浙江·統考高考真題）
26．已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【解析】根據向量的坐標表示可得，，，再利用向量數量積的坐標表示即可判斷.
【詳解】根據已知，有，，，
因為，
所以，即．
故為直角三角形．
故選：A
【點睛】本題考查了向量的坐標表示、向量數量積的坐標表示，屬于基礎題.
2．C
【分析】由向量得出向量的坐標，然后利用平面向量的數量積運算法則求出 ，得出值為0，可得兩向量互相垂直，最后分別求出三向量的模，發現互不相等，進而得出三角形ABC為直角非等腰三角形．
【詳解】∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
故選C.
【點睛】此題考查了三角形的形狀判斷，·＝0是解本題的關鍵.
3．（1）為直角三角形；（2）；（3）.
【分析】（1）根據已知點的坐標求出向量的坐標，然后利用向量數量積為0，即可證明；
（2）根據題意可得，再利用向量的模的運算以及二次函數求得最值；
（3）利用向量共線可得方程組，解得即可.
【詳解】（1）當時，為直角三角形.證明如下：
當時，由，，，則，，
此時，即，即，
所以，為直角三角形.
（2）由題意，，，則，
所以，，當且僅當時取等號.
故當時，取得最小值為.
（3）由題意，，，因，
所以，解得.
【點睛】本題考查平面向量的坐標運算及數量積運算，考查了向量共線，訓練了利用配方法求函數的最值，屬于基礎題.
4．B
【分析】以為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，寫出坐標，設，用數量積的坐標表示計算數量積后由正弦函數性質得范圍．
【詳解】以為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，
圓方程為，在圓上，設，
，，
，
，所以．
故選：B．
5．C
【分析】如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，用坐標表示出，即可求出答案
【詳解】解：如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，則由題意可得，設，其，
則，
所以，
所以
，
所以當時，取最小值，
故選：C
6．C
【分析】建立平面直角坐標系，寫出坐標表示，利用二次函數求出最小值時的坐標，最后利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：
則,
設，
因為動點位于直線上，
直線的方程為：，
所以
，
當時，取得最小值，此時，
，
所以，
又因為，
所以，
故選：C.
7．A
【分析】以線段的中點為坐標原點， 所在直線分別為 軸建立平面直角坐標系，設，則，表示出、，根據數量積的坐標表示及二次函數的性質計算可得；
【詳解】解：以線段的中點為坐標原點， 所在直線分別為 軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
設，則，，，，
由得，，，
所以，因為，
所以當時，當時，
所以.
故選：A.
8．
【分析】建立坐標系，利用向量的坐標運算公式將用的坐標表示，利用配方法求得最小值.
【詳解】由題意可建立如圖所示的直角坐標系，易知，設，
則，
故．
當且僅當時取得等號，
∴所求最小值為，
故答案為：.
【點睛】本題考查向量的數量積的坐標運算和配方法求最值，關鍵在于建立坐標系，用的坐標表達所求的向量的數量積，屬中檔題.
9．(1)
(2)
【分析】（1）運用平面向量垂直的充要條件的坐標形式列式即可求解（2）求出的坐標之后代模長公式，通過配方，可以判斷取何值時，最小，然后代數量積的坐標計算公式即可求解
【詳解】（1）
因為與垂直
所以
所以
（2）
所以
當時，取得最小值
此時
所以
10．B
【分析】利用向量數量積運算與線性運算的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
故.
故選：B.
11．D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
12．B
【分析】利用平面向量數量積的運算律，數量積的坐標表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
13．B
【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則，，
所以.
故選：B.
14．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
15．C
【分析】利用向量垂直的坐標表示求出，再計算即可.
【詳解】由題可知，
因為與垂直，所以，解得，
所以，
故選：C
16．C
【分析】根據平面向量平行的充要條件求出的值，再根據平面向量兩垂直的充要條件求出的值即可求解.
【詳解】因為，所以，解得，故，
又因為，所以，解得，故，
故選：.
17．C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
18．A
【分析】先寫出，再利用向量垂直得到，解出即可.
【詳解】，，
，解得，
故選：A.
19．C
【分析】先根據向量的坐標運算求出，再根據向量的模的坐標公式和題意列出關于的不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，因為不超過5，
所以，解得：，
故選：C.
20．AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐標，應用向量數量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
21．
【分析】利用向量數量積的坐標表示及模長公式計算即可.
【詳解】設，由題意可知，
即，所以.
故答案為：
22．或
【分析】由對稱軸方程可設，再由，利用求出即可.
【詳解】由題意函數圖象的對稱軸是，設，
因為，所以，
解得或，所以或.
故答案為：或
23．
【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據數量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數的性質計算可得
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即
故答案為：
24．
【分析】先求出，然后表示出其模，再由題意列不等式可求出的取值范圍
【詳解】解：因為向量，
所以，
因為不超過5，
所以，解得，
故答案為：
25．
【分析】可得，利用平面向量數量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數表達式，利用二次函數的基本性質求得的最小值.
【詳解】，，，
，
解得，
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
,
∵，∴的坐標為,
∵又∵,則，設，則（其中），
，，
，
所以，當時，取得最小值.
故答案為：；.
【點睛】本題考查平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.
26．
【分析】設，由平面向量的知識可得，再結合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當且僅當即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是由平面向量的知識轉化出之間的等量關系，再結合柯西不等式變形即可求得最小值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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