資源簡介

知識點一：認識空間幾何體
1．棱柱
(1)棱柱的概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：兩個互相平行的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與底面的公共頂點
(2)棱柱的分類
①按底面多邊形邊數來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按側棱是否與底面垂直：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.
(3)棱柱的性質
側棱都相等，側面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側棱長與高相等且側面、對角面都是矩形．
2．棱錐
(1)棱錐的概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 如圖可記作：棱錐S—ABCD 底面：多邊形面 側面：有公共頂點的各個三角形面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：各側面的公共頂點
(2)棱錐的分類
①按底面多邊形的邊數分：三棱錐、四棱錐……
②底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.
(3)正棱錐的性質
側棱相等，側面是全等的等腰三角形；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構成一個直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射影也構成一個直角三角形；斜高、側棱及底面邊長的一半也構成一個直角三角形；側棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構成一個直角三角形．
3．圓柱
定義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體
圖示及相關概念 軸：旋轉軸叫做圓柱的軸 高：在軸上的邊(或它的長度) 底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面 側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
4．圓錐
定義 以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體
圖示及相關概念 軸：旋轉軸叫做圓錐的軸 高：在軸上的邊(或它的長度) 底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面 側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
5．球
球面及球的定義　 球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球面也可以看成：空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合
圖示及相關概念 球心：形成球面的半圓的圓心 半徑：連接球面上一點和球心的線段 直徑：連接球面上兩點且通過球心的線段 大圓與小圓：球面被經過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經過球心的平面截得的圓稱為球的小圓
知識點二：空間幾何體的三視圖與直觀圖
1．三視圖
(1)空間幾何體的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的．三視圖包括正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖．
(2)三視圖尺寸關系口訣：“長對正，高平齊，寬相等．” 長對正指正視圖和俯視圖長度相等，高平齊指正視圖和側(左)視圖高度要對齊，寬相等指俯視圖和側(左)視圖的寬度要相等．
2．直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：
(1)在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ．
(2)畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所確定的平面表示水平面．
(3)已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．
(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．
(5)畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖．
知識點三：空間幾何體的表面積和體積
1．柱體、錐體的表面積
(1)直棱柱、正棱錐的側面積：S直棱柱側＝Ch， S正棱錐側＝ Ch′(其中C為底面周長，h為高，h′為斜高)．
(2)圓柱、圓錐的側面積：S圓柱側＝2πrl，S圓錐側＝πrl (其中r為底面半徑，l為母線長)．
(3)柱的表面積等于側面積與兩個底面積的和，錐體的表面積等于側面積與一個底面積的和．
2．柱體、錐體的體積
(1)棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh， V棱錐＝Sh (其中S為底面積，h為高)．
(2)圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h， V圓錐＝πr2h (其中r為底面圓的半徑，h為高)．
3．球的表面積與體積
(1)半徑為R的球的表面積S球＝4πR2；(2)半徑為R的球的體積V球＝πR3.
4．球的截面的性質
(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；
(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關系式： .
考點一 柱體的表面積和體積
1．一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面展開圖是一個邊長為的正方形，所以，，所以，所以圓柱的體積為，選：C.
2．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的 倍.
【答案】2
【解析】設圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴大為原來的4倍，則擴大后的體積為，因為高不變，故體積，即底面半徑擴大為原來的2倍，原來側面積為，擴大后的圓柱側面積為，故側面積擴大為原來的2倍.
故答案為：2.
3．以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉一周，所得到的幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，所以幾何體表面積為，故選：D.
4．若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，所以該三棱柱底面棱長為，高為，所以該正三棱柱的體積為： ，故選：C.
5．已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正方形邊長為，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為，，，全面積為，而側面積為，所以全面積與側面積之比這．故選：A．
6．若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】由題知，長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以，所以
所以外接球的表面積，故答案為：．
考點二 錐體的表面積和體積
7． 已知正四棱錐的底面邊長和側棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為，因此，該正四棱錐的體積為，故選：A．
8．若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作圓錐的軸截面如圖，則高AD=4,底面半徑CD=3,圓錐的母線AC=5，所以圓錐的側面積為，故選：C.
9．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側面積是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，由題意知為等腰直角三角形，則，底面圓周長為，故圓錐的側面積為，故選：D.
10．如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=，故選：A.
11．圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________.
【答案】　π
【解析】因為圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，所以圓錐的側面積等于扇形的面積＝＝π，設圓錐的底面圓的半徑為r，因為扇形的弧長為×2＝π，所以2πr＝π，所以r＝，所以底面圓的面積為π，所以圓錐的表面積為π.
12．求底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積．
【答案】
【解析】因為底面的邊長為2，故底面中心到底面邊的距離為，故斜高為，故全面積為.
考點三 球體的表面積和體積
13． 正方體的內切球和外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正方體的棱長為，因為正方體的內切球的直徑即正方體的棱長，所以內切球的半徑，體積，因為正方體的外接球的直徑即正方體的體對角線，所以外接球的半徑，體積，則內切球和外接球的體積之比為，故選：A.
14．若球的表面積膨脹為原來的倍，則膨脹后的球的體積為原來的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】設球的半徑為，則球的表面積為，球的體積為，膨脹后球的表面積為，球的半徑為，膨脹后球的體積為，膨脹后球的體積變成了原來的倍，故選：C.
15．如果兩個球的表面積之比為4∶9，那么這兩個球的體積之比為（　　）
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
【答案】C
【解析】設兩球的半徑分別為，則，∴，所以兩球的體積比為，故選：C.
16．長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
【答案】C
【解析】設長方體的三條棱長分別為a，b，c，由題意得，得，∴長方體的體對角線長為，∴其外接球的半徑為，∴．故選：C.
17．一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為 ．
【答案】
【解析】長方體外接球的直徑為，所以外接球半徑為，所以球的體積為，故答案為：.
18．用一個平面截半徑為3的球，截面面積為，則球心到截面的距離為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根據截面面積為可知：截面圓的半徑，根據球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面可知：球心到截面的距離為故選：C.
考點四 空間幾何體的三視圖、直觀圖
19．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論中正確的個數是（ ）
①平行的線段在直觀圖中仍然平行； ②相等的線段在直觀圖中仍然相等；
③相等的角在直觀圖中仍然相等； ④正方形在直觀圖中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對于①，平行的線段在直觀圖中仍然是平行線段，所以①正確； 對于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等， 如平行于軸的線段，長度不變，平行于軸的線段，變為原來的，所以②錯誤； 對于③，相等的角在直觀圖中不一定相等， 如直角坐標系內兩個相鄰的直角，在斜二測畫法內是和，所以③錯誤； 對于④，正方形在直觀圖中不是正方形，是平行四邊形，所以④錯誤；綜上，正確的命題序號是①，共1個．故選：A．
20．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個（ ）
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
【答案】C
【解析】由斜二測畫法知，長方形的直觀圖應為平行四邊形，且銳角為45°，故②⑤正確.故選：C.
21．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(　 　)
【答案】A
【解析】利用排除法求解．B的側視圖不對，C圖的俯視圖不對，D的正視圖不對，排除B，C，D，A正確，故選：A.
22．如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先作出一個正三角形，然后以所在直線為軸，以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標系，畫對應的軸，使夾角為，畫直觀圖時與軸平行的直線的線段長度保持不變，與軸平行的線段長度變為原來的一半，得到的圖形如圖，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，，故選：A.
23．已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】D
【解析】因為正△ABC的邊長為a，所以其面積S＝a2，又因為直觀圖面積S′與原圖面積之比為，即＝，所以S′＝×a2＝a2．故答案為：D.
24．如圖所示，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm
【答案】A
【解析】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，
所以，周長為，故選：A．知識點一：認識空間幾何體
1．棱柱
(1)棱柱的概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：兩個互相平行的面 側面：其余各面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：側面與底面的公共頂點
(2)棱柱的分類
①按底面多邊形邊數來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按側棱是否與底面垂直：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.
(3)棱柱的性質
側棱都相等，側面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側棱長與高相等且側面、對角面都是矩形．
2．棱錐
(1)棱錐的概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 如圖可記作：棱錐S—ABCD 底面：多邊形面 側面：有公共頂點的各個三角形面 側棱：相鄰側面的公共邊 頂點：各側面的公共頂點
(2)棱錐的分類
①按底面多邊形的邊數分：三棱錐、四棱錐……
②底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.
(3)正棱錐的性質
側棱相等，側面是全等的等腰三角形；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構成一個直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射影也構成一個直角三角形；斜高、側棱及底面邊長的一半也構成一個直角三角形；側棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構成一個直角三角形．
3．圓柱
定義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體
圖示及相關概念 軸：旋轉軸叫做圓柱的軸 高：在軸上的邊(或它的長度) 底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面 側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
4．圓錐
定義 以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉軸，將直角三角形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體
圖示及相關概念 軸：旋轉軸叫做圓錐的軸 高：在軸上的邊(或它的長度) 底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面 側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面 母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊
5．球
球面及球的定義　 球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球面也可以看成：空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合
圖示及相關概念 球心：形成球面的半圓的圓心 半徑：連接球面上一點和球心的線段 直徑：連接球面上兩點且通過球心的線段 大圓與小圓：球面被經過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經過球心的平面截得的圓稱為球的小圓
知識點二：空間幾何體的三視圖與直觀圖
1．三視圖
(1)空間幾何體的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的．三視圖包括正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖．
(2)三視圖尺寸關系口訣：“長對正，高平齊，寬相等．” 長對正指正視圖和俯視圖長度相等，高平齊指正視圖和側(左)視圖高度要對齊，寬相等指俯視圖和側(左)視圖的寬度要相等．
2．直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：
(1)在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ．
(2)畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所確定的平面表示水平面．
(3)已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．
(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．
(5)畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖．
知識點三：空間幾何體的表面積和體積
1．柱體、錐體的表面積
(1)直棱柱、正棱錐的側面積：S直棱柱側＝Ch， S正棱錐側＝ Ch′(其中C為底面周長，h為高，h′為斜高)．
(2)圓柱、圓錐的側面積：S圓柱側＝2πrl，S圓錐側＝πrl (其中r為底面半徑，l為母線長)．
(3)柱的表面積等于側面積與兩個底面積的和，錐體的表面積等于側面積與一個底面積的和．
2．柱體、錐體的體積
(1)棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh， V棱錐＝Sh (其中S為底面積，h為高)．
(2)圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h， V圓錐＝πr2h (其中r為底面圓的半徑，h為高)．
3．球的表面積與體積
(1)半徑為R的球的表面積S球＝4πR2；(2)半徑為R的球的體積V球＝πR3.
4．球的截面的性質
(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；
(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關系式： .
考點一 柱體的表面積和體積
1．一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的 倍.
3．以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉一周，所得到的幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側面積的比是（ ）
A． B． C． D．
6．若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為 .
考點二 錐體的表面積和體積
7． 已知正四棱錐的底面邊長和側棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側面積為（ ）
A． B． C． D．
9．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側面積是（ ）．
A． B．2 C． D．
10．如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（ ）
A． B． C． D．1
11．圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________.
12．求底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積．
考點三 球體的表面積和體積
13． 正方體的內切球和外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
14．若球的表面積膨脹為原來的倍，則膨脹后的球的體積為原來的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
15．如果兩個球的表面積之比為4∶9，那么這兩個球的體積之比為（　　）
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
16．長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
17．一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為 ．
18．用一個平面截半徑為3的球，截面面積為，則球心到截面的距離為（ ）
A．1 B．2 C． D．
考點四 空間幾何體的三視圖、直觀圖
19．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論中正確的個數是（ ）
①平行的線段在直觀圖中仍然平行； ②相等的線段在直觀圖中仍然相等；
③相等的角在直觀圖中仍然相等； ④正方形在直觀圖中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
20．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個（ ）
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
21．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(　 　)
22．如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
24．如圖所示，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm

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