資源簡介

課題:§9.2.3 向量的數量積
教學課時安排
1、上課時間：_________________．
2、課時安排：_________________．
3、上課班級___________________．
學科目標要求
1、理解并掌握向量數量積的性質和運算律．
2、理解并掌握向量數量積和投影向量．
3、會求向量的模．
4、會解決向量夾角與垂直問題.
學科素養目標
向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．
本節重點難點
重點：向量的模；
難點：向量夾角與垂直問題．
教學過程賞析
基礎知識積累
1.向量的數量積
(1)定義:
條件 兩個____________向量與,它們的夾角是θ
結論 把數量_____________叫作向量和的數量積(或內積)
記法 記作,即_____________
規定 零向量與任一向量的數量積為_____________
(2)本質:數量積是兩個向量之間的一種運算,其運算結果是一個數量,其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關,符號由夾角的余弦值的符號決定.
(3)應用:①求向量的夾角;②研究向量的垂直問題;③求向量的模.
2.投影與投影向量
(1)變換:
變換 圖示
設是兩個非零向量, 過的起點A和終點B,分別作所 在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到
(2)結論:稱上述變換為向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.
(3)計算:設與方向相同的單位向量為與的夾角為θ,則向量在向量上的
投影向量為__________.
3.向量數量積的性質
(1)條件:設是非零向量,它們的夾角是θ, 是與方向相同的單位向量.
(2)性質:①.
②.
③當與同向時, ;
當與反向時, .
特別地, 或.
④.
4.向量數量積的運算律
(1) .
(2) .
(3) .
【思考】
(1)對于向量,等式一定成立嗎
(2)若,則一定成立嗎
【課前小題演練】
題1．已知,且與的夾角θ＝120°,則＝ ( )
A.－6 B.6
C.－6 D.6
題2.向量與的夾角為,, 在上投影向量的長度為 ( )
A.2 B. C.1 D.
題3.已知,,則＝ ( )
A. B.97 C. D.61
題4.已知等邊△ABC的邊長為2,若＝3,＝,則·＝ ( )
A. B.－
C.2 D.－2
題5.在邊長為a的正六邊形ABCDEF中,若·＝4,則a＝ ( )
A.1 B. C.2 D.2
題6.若單位向量的夾角為,向量 (λ∈R),且,則λ＝ ( )
A. B.－
C. D.－
題7.在等腰梯形ABCD中,＝2,則向量在向量上的投影向量為 ( )
A. B.
C. D.
題8（多選題）.下列說法正確的是　　
A．向量在向量上的投影向量是向量
B．若，則與的夾角的范圍是，
C．
D．，則
題9（多選題）.已知是三個非零向量，則下列命題中，真命題是　　
A．；
B．反向；
C．；
D．．
題10（多選題）.以下說法不正確的是　　
A．零向量與單位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知，均為單位向量，若，則與的夾角為
D．向量與向量是共線向量，則，，，四點在一條直線上
題11.如圖,,,的模均為5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,則···＝_____.
題12.在△ABC中,AB＝2,AC＝,G為△ABC的重心,則·＝_________.
題13.已知||＝5,||＝2,＜,≥60°,＝2 ＋,＝ －2,則以OC,OD為鄰邊的平行四邊形OCED的對角線OE的長為_________.
題14.已知,.
(1)求;
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的長度.
【當堂鞏固訓練】
題15．若存在單位向量，滿足,則k的值為 ( )
A.1 B.－2或1
C.0 D.1或0
題16.在△ABC中,AB＝2,AC＝3,且·＝3,則(λ∈R)取最小值時λ的值為 ( )
A.－ B. C. D.－
題17.已知△ABC的外接圓圓心為O,且2＝＋＝,則向量在向量上的投影向量為 ( )
A. B.
C.－ D.－
題18.如圖的弦圖中,四邊形ABCD是邊長為5的正方形,四邊形EFGH是邊長為1的正方形,四個三角形均為直角三角形,則 ·的值為( )
A.6 B.8 C.10 D.12
題19（多選題）.已知兩個非零單位向量夾角為，下列結論一定成立的是　　
A．或
B．，使
C．
D．在上的投影的數量為
題20（多選題）.已知兩個單位向量，的夾角為，則下列結論正確的是　　
A．在方向上的投影為
B．
C．
D．
題21（多選題）.已知正三角形的邊長為2，設，，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
題22.在△ABC中,O為BC的中點,若AB＝1,AC＝3,∠BAC＝60°,則＝_________.
題23.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示,圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個圓的圓心,則·＝_________.
題24.如圖,平行四邊形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,E為CD的中點,AE與DB交于F.
(1)求證:在方向上的投影為.
(2)求·.
【綜合突破拔高】
題25．已知向量，是單位向量,且,則向量與的夾角是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
題26.已知,且與不共線,則向量與的夾角為 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
題27. 與都是非零向量,則“”是“”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
題28.設向量與滿足,在方向上的投影向量為,若存在實數λ,使得與垂直,則λ＝ ( )
A.2 B.－2 C. D.－
題29(多選題).已知單位向量,的夾角為60°,則在下列向量中,不與垂直的是 ( )
A. B.
C. D.
題30(多選題) .設向量,滿足,且,則以下結論正確的是 ( )
A. B.
C. D.向量,夾角為60°
題31（多選題）.設，，是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有
A． B．與不垂直
C． D．
題32（多選題）. 是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結論中正確的是　　
A．為單位向量 B．為單位向量 C． D．
題33(多選題)．下列命題中，正確的是(　　)
A．
B．λμ＜0，≠時，λ與μ的方向一定相反
C．若(≠0)，則＝
D．若(≠0)，則
題34.已知單位向量,滿足,則與夾角的取值范圍是_________.
題35.已知平面向量,滿足,則的最小值為_________.
題36.設兩個向量,,滿足.
(1)若,求,的夾角;
(2)若,夾角為60°,向量與的夾角為鈍角,求實數t的取值范圍.
編號：005 課題:§9.2.3 向量的數量積
教學課時安排
1、上課時間：_________________．
2、課時安排：_________________．
3、上課班級___________________．
學科目標要求
1、理解并掌握向量數量積的性質和運算律．
2、理解并掌握向量數量積和投影向量．
3、會求向量的模．
4、會解決向量夾角與垂直問題.
學科素養目標
向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．
本節重點難點
重點：向量的模；
難點：向量夾角與垂直問題．
教學過程賞析
基礎知識積累
1．向量的數乘運算
文字 表述 一般地,我們規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫作向量的數乘,記作λa.
規定 長度 |λa|＝|λ||a|
方向 當λ＞0時,λa的方向與a的方向相同;
當λ＜0時,λa的方向與a的方向相反;
當λ＝0時,λa＝0.
方向 λ＞1 把向量a沿著向量a的相同方向放大
0＜λ＜1 把向量a沿著向量a的相同方向縮小
－1＜λ＜0 把向量a沿著向量a的相反方向縮小
λ＜－1 把向量a沿著向量a的相反方向放大
2.向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，則(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的線性運算
(1)定義：向量的加法、減法、數乘統稱為向量的線性運算．
(2)運算結果：向量線性運算的結果仍是向量．
(3)運算律：對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．
4．向量共線定理
(1)條件：a為非零向量；
(2)如果有一個實數λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；
(3)如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b＝λa.
【課前小題演練】
題1．已知,且與的夾角θ＝120°,則＝ ( )
A.－6 B.6
C.－6 D.6
【解析】選A.因為,且與的夾角θ＝120°,所以＝3×4×(－)＝－6.
題2.向量與的夾角為,, 在上投影向量的長度為 ( )
A.2 B. C.1 D.
【解析】選D. 在上投影向量的長度為.
題3.已知,,則＝ ( )
A. B.97 C. D.61
【解析】選C. ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61,所以.
題4.已知等邊△ABC的邊長為2,若＝3,＝,則·＝ ( )
A. B.－
C.2 D.－2
【解析】選D.等邊△ABC的邊長為2,＝3,＝,所以＝(＋ ),
＝＋＝＋＝－,
所以·＝(＋)·(－ )＝(－－· )
＝×(×4－4－×2×2×)＝－2.
題5.在邊長為a的正六邊形ABCDEF中,若·＝4,則a＝ ( )
A.1 B. C.2 D.2
【解析】選C.如圖在正六邊形ABCDEF中,連接對角線AD,BE,CF,則正六邊形ABCDEF由6個全等的等邊三角形構成.所以AD＝2a,∠BAD＝60°,所以·＝a·2a·cos 60°＝4,解得a＝2.
題6.若單位向量的夾角為,向量 (λ∈R),且,則λ＝ ( )
A. B.－
C. D.－
【解析】選B.由題意可得: ＝1×1×cos ＝,
＝1＋2λ×＋λ2＝,
化簡得λ2＋λ＋＝0,解得λ＝－.
題7.在等腰梯形ABCD中,＝2,則向量在向量上的投影向量為 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選C.
由＝2,可知,AB∥DC且AB＝2DC,過點D作DE⊥AB,垂足為E,則AE＝AB,
所以向量在向量上的投影向量為.
題8（多選題）.下列說法正確的是　　
A．向量在向量上的投影向量是向量
B．若，則與的夾角的范圍是，
C．
D．，則
【解答】解：根據投影向量的定義可知正確；
，則，又，，，故正確；
是與共的向量，是與共線的向量，故錯誤；
，則或，，故錯誤；
故選：．
【點評】本題考查向的投影向量的定義，以及向量的數量積，屬基礎題．
題9（多選題）.已知是三個非零向量，則下列命題中，真命題是　　
A．；
B．反向；
C．；
D．．
【解答】解：是三個非零向量，
若
或
，故A正確；
反向
，故B正確；
，故C正確；
若，不一定相等，故不成立，
當時，只能說明，在向量上的投影相等，但不一定成立
故D錯誤；
故選：．
【點評】本題考查的知識點是平面向量數量積的性質及其運算律，熟練掌握平面向量數量積的性質及其運算律，是解答本題的關鍵．
題10（多選題）.以下說法不正確的是　　
A．零向量與單位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知，均為單位向量，若，則與的夾角為
D．向量與向量是共線向量，則，，，四點在一條直線上
【解答】解：．零向量的模為0，單位向量的模為1，該選項錯誤；
．向量有方向和模兩個量，模相等，方向不同的兩向量不相等；
該選項錯誤；
．均為單位向量，且；
；
又；
的夾角為；
該選項正確；
與共線時，，，，可以不在一條直線上；
該選項錯誤．
故選：．
【點評】考查單位向量、零向量的定義，共線向量的定義，向量的定義，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的求法．
題11.如圖,,,的模均為5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,則···＝_____.
【解析】因為,,的模均為5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,所以·＝cos ∠AOB＝5×5×＝,·＝cos ∠AOC＝5×5×(－)＝－,所以···＝(· )·· ＝· ＝×(－)＝－.
答案:－
題12.在△ABC中,AB＝2,AC＝,G為△ABC的重心,則·＝_________.
【解析】如圖,點D是BC的中點,
因為G為△ABC的重心,所以＝＝×(＋)＝(＋),
＝－,
所以·＝(＋)·(－)
＝(－)＝(26－8)＝6.
答案:6
題13.已知||＝5,||＝2,＜,≥60°,＝2 ＋,＝ －2,則以OC,OD為鄰邊的平行四邊形OCED的對角線OE的長為_________.
【解析】因為＝＋,所以||2＝＝＝＝9||2＋||2－6·＝9×25＋4－6×5×2×cos 60°＝199.
所以||＝,即OE＝.
答案:
題14.已知,.
(1)求;
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的長度.
【解析】(1)因為,
所以.
因為,所以＝－6,
所以.
(2)因為＝42－6＝10,
所以向量在向量＋上的投影向量的長度為.
【當堂鞏固訓練】
題15．若存在單位向量，滿足,則k的值為 ( )
A.1 B.－2或1
C.0 D.1或0
【解析】選D. ，是單位向量,則，得,
＝k2＋k(k2－2)＋1＝1,
于是有k(k2＋k－2)＝0,即k(k－1)(k＋2)＝0,顯然k≥0,則k＝0或1,
所以k的值為1或0.
題16.在△ABC中,AB＝2,AC＝3,且·＝3,則(λ∈R)取最小值時λ的值為 ( )
A.－ B. C. D.－
【解析】選B.因為＝＋λ2－2λ·＝4λ2－6λ＋9＝4＋,所以當λ＝時,(λ∈R)取最小值.
題17.已知△ABC的外接圓圓心為O,且2＝＋＝,則向量在向量上的投影向量為 ( )
A. B.
C.－ D.－
【解析】選A.因為＋＝2,O是△ABC外接圓圓心,所以O是BC的中點,∠BAC＝90°.又＝＝,∠CBA＝60°,因此向量在向量上的投影向量為.
題18.如圖的弦圖中,四邊形ABCD是邊長為5的正方形,四邊形EFGH是邊長為1的正方形,四個三角形均為直角三角形,則 ·的值為( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】選D.根據題意四個三角形均為全等的直角三角形,設AE＝FB＝x,則AF＝x＋1,在直角三角形ABF中,AF2＋BF2＝AB2 (x＋1)2＋x2＝52 x＝3,即AE＝FB＝3,
·＝cos ＜,≥＝·|AF|＝3×4＝12.
題19（多選題）.已知兩個非零單位向量夾角為，下列結論一定成立的是　　
A．或
B．，使
C．
D．在上的投影的數量為
【解答】解：對于選項，向量為單位向量，但夾角不確定，即選項錯誤；
對于選項，設，則，則，顯然無解，即選項錯誤；
對于選項，，即，，即選項正確；
對于選項，在上的投影數量為，即選項正確，
故選：．
【點評】本題考查了平面向量數量積運算，重點考查了投影的運算，屬基礎題．
題20（多選題）.已知兩個單位向量，的夾角為，則下列結論正確的是　　
A．在方向上的投影為
B．
C．
D．
【解答】解：因為兩個單位向量，的夾角為，所以在方向上的投影為；故正確；
；故正確；
；故正確；
；故錯誤；
故選：．
【點評】本題考查了單位向量的性質；主要利用了平面向量的數量積公式．
題21（多選題）.已知正三角形的邊長為2，設，，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：正三角形的邊長為2，設，，
取中點，設，
，，
，
故錯誤；
與的夾角為，故錯誤；
．
故正確；
，故正確，
故選：．
【點評】本題考查命題真假的判斷，考查向量垂直、向量的模、向量的數量積的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
題22.在△ABC中,O為BC的中點,若AB＝1,AC＝3,∠BAC＝60°,則＝_________.
【解析】因為O為BC的中點,
所以可得＝(＋),
所以＝＝＝(＋2·＋),
·＝·cos ∠BAC＝,
代入可求出＝,
所以＝.
答案:
題23.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示,圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個圓的圓心,則·＝_________.
【解析】如圖所示,不妨設，且的夾角為60°,
所以＝,＝,
所以·＝＝8＋8＋20×1×1×＝26.
答案:26
題24.如圖,平行四邊形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,E為CD的中點,AE與DB交于F.
(1)求證:在方向上的投影為.
(2)求·.
【解析】(1)平行四邊形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,
過D作DB'⊥AB,垂足為B'(圖略),則AB'＝AD·cos＝2,所以B'與B重合,
所以DB＝＝2,AB⊥BD,
因為E為CD的中點,AE與DB交于F,所以在方向上的投影為.
(2)＝,＝＋,
所以＝＋.
·＝(＋)· ＝＋· ＝×22＋×4×2×＝4.
【綜合突破拔高】
題25．已知向量，是單位向量,且,則向量與的夾角是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】選B.設向量,的夾角為θ,0°≤θ≤180°,因為,為單位向量,所以,
因為,所以＝2a·b－b2＝2cos θ－1＝0,
所以cos θ＝.因為0°≤θ≤180°,所以θ＝60°.
題26.已知,且與不共線,則向量與的夾角為 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】選B.因為,
所以＝0,
所以,所以所求夾角為90°.
題27. 與都是非零向量,則“”是“”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】選C.因為與都是非零向量,所以,
故“”是“的充要條件.
題28.設向量與滿足,在方向上的投影向量為,若存在實數λ,使得與垂直,則λ＝ ( )
A.2 B.－2 C. D.－
【解析】選B.因為在方向上的投影向量為,
所以,所以＝－2,
因為與垂直,所以＝0,
即＝4＋2λ＝0,解得λ＝－2.
題29(多選題).已知單位向量,的夾角為60°,則在下列向量中,不與垂直的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選ABC.由已知可得: °＝1×1×＝.
對于選項A,因為＝＋2×1＝≠0,所以A符合題意;
對于選項B,因為＝2×＋1＝2≠0,所以B符合題意;
對于選項C,因為＝－2×1＝－≠0,所以C符合題意;
對于選項D,因為＝2×－1＝0,所以D不符合題意.
題30(多選題) .設向量,滿足,且,則以下結論正確的是 ( )
A. B.
C. D.向量,夾角為60°
【解析】選AC. ,又因為,所以,所以,所以A正確,D不正確; ,故,所以B不正確,同理C正確.
題31（多選題）.設，，是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有
A． B．與不垂直
C． D．
【解答】解：選項，由平面向量數量積的結合律，可知正確；
選項，，
與垂直，即錯誤；
選項，與不共線，
若，則顯然成立；
若，由平面向量的減法法則可作出如下圖形：
由三角形兩邊之差小于第三邊，可得．故正確；
選項，，即正確．
故選：．
【點評】本題考查平面向量的運算，熟練掌握平面向量的線性、數量積及混合運算法則是解題的關鍵，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
題32（多選題）. 是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結論中正確的是　　
A．為單位向量 B．為單位向量 C． D．
【解答】解：是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，
則，又，，即為單位向量，故正確；
，
，，故錯誤；
向量，的夾角即為與的夾角，也就是的補角，其大小為，故錯誤；
，故正確．
故選：．
【點評】本題考查了向量的數量積運用，注意三角形的內角與向量的夾角的關系，是中檔題．
題33(多選題)．下列命題中，正確的是(　　)
A．
B．λμ＜0，≠時，λ與μ的方向一定相反
C．若(≠0)，則＝
D．若(≠0)，則
【解析】選BD.A錯誤，；B正確，λμ＜0知λ，μ符號相反；根據向量數乘的概念及其幾何意義可知，C錯誤，D正確．
題34.已知單位向量,滿足,則與夾角的取值范圍是_________.
【解析】設單位向量,的夾角為θ,則θ∈[0,π],
將兩邊同時平方得,
化簡得2＋2cos θ＞1,即cos θ＞－,又θ∈[0,π],所以θ∈[0,).
答案: [0,)
題35.已知平面向量,滿足,則的最小值為_________.
【解析】因為平面向量,滿足,又＜a,b＞∈[0,π],
所以∈[－1,1],
則,由∈[－1,1],則b∈[0,4],故∈[0,2],
則的最小值為0.
答案:0
題36.設兩個向量,,滿足.
(1)若,求,的夾角;
(2)若,夾角為60°,向量與的夾角為鈍角,求實數t的取值范圍.
【解析】(1)因為,所以,
即,又,所以,
所以＝＝－,又∈[0,π],
所以向量,的夾角是.
(2)因為向量與的夾角為鈍角,所以,
且向量與不反向共線,
即,
又,夾角為60°,所以＝2×1×＝1,
所以2t2＋15t＋7＜0,解得－7＜t＜－,
又向量與不反向共線,
所以2(λ＜0),解得t≠－,
所以t的取值范圍是{t|－7＜t＜－且t≠－}.

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