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利用導數研究函數的單調性綜合
例1 已知函數，求函數的單調區間．
【詳解】（1）定義域為，
由，得，
①時，，則在上為增函數；
②時，由，得，由，得，
則在上為增函數，在上為減函數．
綜上，當時，在上為增函數；當時，在上為增函數，在上為減函數．
練習1：已知函數，.討論的單調性；
【詳解】（1），，
當時，，在上單調遞減.
當時，令，解得，
所以在區間上，單調遞增，
在區間上，單調遞減.
練習2：（全國3卷）已知函數.討論的單調性；
【詳解】（1） 的定義域為（0，+），.
若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調遞增.
若a＜0，則當時，時；當x∈時，.
故f（x）在單調遞增，在單調遞減.
例2 已知函數，討論函數的單調性；
【詳解】（1）由題意知：，
所以，
①當時，若，則，若，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
②當時，令得：或，且，
若，則，若，則，若，則，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減；
③當時，恒成立，所以在上單調遞增；
④當時，令得：或，且，
若，則，若，則，若，則，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減.
練習3：已知函數 討論的單調性；
【詳解】（1），
當時，，，單調遞增；，，單調遞減．
當時，當或，，單調遞增；
當，，單調遞減，
當時，，所以在R上單調遞增．
當時，當或，，單調遞增；
，，單調遞減．
例3 （全國I卷）已知函數，討論函數的單調性．
解：的定義域為，.
（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.
（ii）若，令得，或.
當時，；
當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.
作業鞏固
1. 已知函數，，討論的單調性.
【解析】因為，
所以，令，得或，令得，
所以在及上是增函數，在上是減函數.
2．已知函數．討論函數的單調性；
【詳解】（1）由已知，
當時，恒成立，函數在上單調遞增；
當時，若，得，函數單調遞增，
若，得，函數單調遞減；
綜上所述：當，函數在上單調遞增，
當時，函數在單調遞增，在單調遞減；
3. 已知函數．求函數的單調區間；
【詳解】（1）的定義域為，
當時，在恒成立，
當時，令，得，單調遞增；令，得，單調遞減，
綜上所述：當時，的單調遞減區間為；
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
4. （教材104頁）已知函數.討論函數的單調性；
【詳解】（1）因為，所以,
易知，恒成立，
當時，恒成立，所以在上單調遞減，
當時，由，得到，
當時，；當時，，
所以時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
綜上，當時，在上單調遞減，
當時，函數減區間為，增區間為.
5．（2021全國乙卷）已知函數．討論的單調性；
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
導函數的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
6．（2021新高考II卷22題）已知函數．討論的單調性；
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；利用導數研究函數的單調性綜合
例1 已知函數，求函數的單調區間．
練習1：已知函數，.討論的單調性；
練習2：（全國3卷）已知函數.討論的單調性；
例2 已知函數，討論函數的單調性；
練習3：已知函數 討論的單調性；
例3 （全國I卷）已知函數，討論函數的單調性．
作業鞏固
1. 已知函數，，討論的單調性.
2．已知函數．討論函數的單調性；
3. 已知函數．求函數的單調區間；
4. （教材104頁）已知函數.討論函數的單調性；
5．（2021全國乙卷）已知函數．討論的單調性；
6．（2021新高考II卷22題）已知函數．討論的單調性；

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