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第五節 導數與函數的最值
知識清單
1．函數最值的定義
（1）函數在定義域內某點處的函數值記為．
若不小于函數定義域內各點處的函數值，即恒有，則稱為函數在定義域內的最大值點，為函數在定義域內的最大值；
若不大于函數定義域內各點處的函數值，即恒有，則稱為函數在定義域內的最小值點，為函數在定義域內的最小值．
（2）一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
2．求函數最值的步驟
一般地，求函數在區間上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求函數在區間內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
3．常見的不等式模型
（1）恒成立，恒成立
（2）有解，有解
（3）恒成立恒成立
（4）有解有解
雙變量問題（為函數的定義域）
（5），都有恒成立
（6），使得成立（先考慮任意）
（7），使得成立（先考慮任意）
（8），使得成立
（9），使得成立兩個函數值域有交集
（10），使得成立的值域是的值域的子集
題型訓練
題型一 求下列函數的最值
1． 2．
3． 4．
題型二 根據函數的最值求參數
5．已知函數，若對于區間上最大值為，最小值為，則（　　）
A．20 B．18 C．3 D．0
6．已知函數在區間的最大值為3，則的值（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
7．已知在上有最大值3，則此函數在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．以上都不對
8．函數，當時，恒成立，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
9．已知直線與函數的圖象分別交于點，則當線段達到最小值時的值為（ ）
A．1 B． C． D．
10．設函數在上的最大值為2，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
題型三 不等式恒成立求參數—參變分離法
11．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（　 ）
A． B． C． D．
12．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
13．已知函數，，如果對于任意的，
都有 恒成立，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
14．已知，若存在，使得成立，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
15．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為
16．已知，當時，恒成立，則實數的取值范圍為
17．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為
18．已知，當時，恒成立，則實數的取值范圍為
19．已知函數．若恒成立，求的取值范圍．
20．已知函數．當時，，求的取值范圍．
題型四 不等式恒成立求參數—單調性法
21．已知函數，若，求的取值范圍．
22．已知函數，當時，，求的取值范圍．
23．已知函數，當時，，求的取值范圍．
24．設函數，當時，，求的取值范圍．
題型五 不含參不等式的證明
25．已知函數，證明：．
26．已知函數，證明：當時， ．
27．已知函數，證明：當時，．
28．已知函數，證明：．
29．已知函數，證明：．
30．已知函數，證明：．
題型六 含參不等式的證明
對于含參的不等式，有以下兩種常見思路
（1）根據參數范圍討論函數的單調性，然后找出函數的極值最值，從而證明不等式．
（2）若能分離參數，先分離出參數，再根據參數的取值范圍去證明不等式．
31．已知函數，證明：當時，．
32．已知函數，證明：當時，．
33．已知函數，證明：當時，．
34．已知函數，證明：當時，．
題型七 雙變量不等式的證明
（1）可以對不等式的形式進行等價變換，然后構造新函數進行證明
（2）利用兩個變量的等量關系或者換元法轉換為一個變量的不等式，然后再進行證明
35．已知，證明：．
36．已知函數，證明：當時，．
37．已知函數，證明：當時，．
38．已知函數，若存在兩個極值點，證明：．
第五節 導數與函數的最值參考答案
題型一 求下列函數的最值
1．最大值6，最小值 2．最大值，最小值1
3．最大值，最小值 4．最大值，最小值1
題型二 根據函數的最值求參數
5- 10 A，B，A，C，D，A
題型三 不等式恒成立求參數—參變分離法
11-14 D，A，C，C
15． 16． 17． 18．
19． 20．
題型四 不等式恒成立求參數—單調性法
21． 22． 23． 24．
題型五-題型七 略

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