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第六節 導數與函數的零點
一．三次函數的零點問題
已知三次函數的兩個極值點及其求導后的二次函數的
①若函數有3個零點，則有；
②若函數有2個零點，則有；
③若函數有1個零點，則有或者.
三次函數的圖象一共有4種，注意數形結合
1．函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若函數與函數有3個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍是
5．若函數在內有且只有一個零點，則
6．已知函數其中，若函數在區間內恰有
兩個零點，則實數的取值范圍是
7．設函數．
（1）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍；
（2）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件．
8．已知函數．
（1）討論的單調性； （2）若有三個零點，求的取值范圍．
9．已知函數．
（1）當時，求的極小值； （2）當時，討論方程實根的個數．
10．已知函數．
（1）若，求的單調區間； （2）證明：只有一個零點．
二．判斷與證明零點的個數
（1）判斷零點個數
先求導得到單調區間與極值，然后繪出函數的大致圖象（注意判斷圖象是否穿過軸）
（2）證明零點個數
先求導判斷函數的單調性與極值，再利用函數零點存在定理確定零點的個數
1．函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函數，證明存在唯一的零點．
4．已知，函數，證明在上有唯一零點．
5．已知函數，討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點．
6．設函數，其中．
（1）若，討論的單調性； （2）若，證明恰有兩個零點．
三．根據零點個數求參數的取值范圍
題型一 參變分離求零點
若能轉換成（為參數）的形式，則可用與圖象的交點的個數來求參數的取值范圍.（也可分成一次函數與其他函數，利用切線方程來求解）
1．已知函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數存在兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數與函數有兩個交點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數與函數有兩個交點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．若函數存在零點，則實數的取值范圍是
6．若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍是
7．已知函數，若在只有一個零點，求．
8．已知函數，若有兩個零點，求的取值范圍．
題型二 求導討論單調性求零點
若不能進行參變分離，或者分離比較麻煩時，可先求導后討論函數的單調性，找出極值，再將極值與0進行比較，結合零點存在定理求參數.
1．已知函數．（正面討論做）
（1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求的取值范圍．
2．設函數，其中．
（1）討論的單調性； （2）若沒有零點，求的取值范圍．
3．已知函數．
（1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍．
4．已知函數．
（1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍．
四．隱零點問題
解決隱零點問題的一般步驟
（1）求出導數的隱零點及其所在區間范圍；（一般需二次求導求出導函數的單調性）
（2）通過，得到一個關于的式子，然后求出極值；（一般將指對數換成冪函數）
（3）最后通過的取值范圍（可根據題目要求進行調整），求出的取值范圍.
1．已知函數，證明：．
2．已知函數，證明：．
3．已知函數，
（1）討論的導函數零點的個數； （2）證明：當時，．
4．已知函數，且.
（1）求a； （2）證明：存在唯一的極大值點，且．
五．零點綜合性問題
1．已知函數．
（1）討論的單調性； （2）從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點．
①； ②．
2．已知且，函數．
（1）當時，求的單調區間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．
第六節 導數與函數的零點參考答案
一．三次函數的零點問題
1-3 CBB 4. 5. 6.
7.（1）；（2）略 8.（1）略 （2） 9.略 10.略
二．判斷與證明零點的個數
1-2 CB 4-6略
三．根據零點個數求參數的取值范圍
題型一．1-4 DBCD 5. 6. 7. 8.
題型二．略
四．略
五．略

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