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七年級數學下冊 預習篇
7.1.2 平面直角坐標系
1.有序數對：把有順序的兩個數與組成的數對叫作有序數對，記作。
2.注意事項：兩個數的順序不能隨意交換。
3.平面直角坐標系：在平面內兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐標系。水平的數軸稱為軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為軸或縱軸，取向上為正方向。
4.兩個數軸的單位長度可以一致也可以不一致，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
5.點的坐標：過平面內任意一點P分別向軸和軸作垂線，垂足在軸和軸上對應的數分別叫作點P的橫坐標和縱坐標，有序數對叫作點P的坐標，記作。
6.表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開；點中，表示點到軸的距離，表示點到軸的距離。
7.坐標平面內任意一點，都有唯一的一對有序數對和它對應，對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，即坐標平面內的點與有序數對是一一對應的。
8.坐標平面
象限：建立了平面直角坐標系后，坐標平面就被兩條坐標軸分成4個部分，分別叫作第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
9.點的坐標的特征
（1）四個象限內點坐標的特征：四個象限的點的坐標符號分別是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
（2）數軸上點坐標的特征：x軸上的點的縱坐標為0，可表示為（a,0）；y軸上的點的橫坐標為0，可表示為(0,b)。注意：x軸，y軸上的點不在任何一個象限內，對于坐標平面內任意一個點，不在這四個象限內，就在坐標軸上。坐標軸上的點不屬于任何一個象限，這一點要特別注意。
（3）象限的角平分線上點坐標的特征：第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為(a，a)；
第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數，可表示為(a，-a)．注：若點P(a，b)在第一、三象限的角平分線上，則a＝b；若點P(a，b)在第二、四象限的角平分線上，則a＝－b。
（4）對稱點坐標的特征：P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標為 (a,-b)；P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為 (-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為 (-a,-b)．
（5）平行于坐標軸的直線上的點：平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同。
（6）各個象限內和坐標軸上點的坐標符號規律：第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0；第二象限(－，＋)a＜0，b＞0；第三象限(－，－)a＜0，b＜0；第四象限(＋，－)a＞0，b＜0；x軸上正半軸(＋，0)，負半軸(－，0)；y軸上正半軸(0，＋)，負半軸(0，－)；原點(0,0)。
選擇題
1.平面直角坐標系中，下列在第二象限的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了第二象限點坐標的特征．熟練掌握第二象限點坐標為是解題的關鍵．
根據第二象限點坐標為進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，是第二象限的點，
故選：D．
2.已知點，兩點關于軸對稱，則點的坐標是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了關于軸對稱點的坐標， 根據關于軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變可得答案．
【詳解】解：點關于軸對稱的點的坐標是，
∴，
∴為
故選：D．
3.已知，點在軸上，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查坐標軸上點的坐標特點，根據軸上的點的橫坐標為0，可得，求解得到m的值，從而得到點P的坐標．
【詳解】∵點在軸上，
∴，
解得，
∴，
∴點P的坐標為．
故選：A．
4.在平面直角坐標系中，點一定在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本題主要考查了各象限內點的坐標的符號特征，明確各象限內點的坐標的符號是解答本題的關鍵，判斷出點的橫縱坐標的符號即可求解．
【詳解】解：∵，
∴點在第二象限，
故選：B．
5.如圖，直角坐標平面內，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點，……，按這樣的運動規律，動點P第2023次運動到點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查點的坐標規律的探究；關鍵是探究點的運動規律，又要注意動點的坐標的象限符號．
觀察圖形可知：每4次運動為一個循環，并且每一個循環向右運動4個單位，用可判斷出第2023次運動時，點P在第幾個循環第幾次運動中，進一步即可計算出坐標．
【詳解】解：動點P的運動規律可以看作運動四次為一個循環，每個循環向右運動4個單位，
，
第2023次運動時，點P在第506次循環的第3次運動上，
橫坐標為：，縱坐標為：，
∴此時．
故選：B
6.在平面直角坐標系中，點在軸上，則A點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了x軸上點的坐標特點，根據在x軸上的點縱坐標為0得到，由此求出a的值，進而求出的值即可得到答案．
【詳解】解：∵點在軸上，
∴，
∴，
∴，
∴A點的坐標是，
故選：D．
7.如圖，正方形的頂點A，B的坐標分別為，，若正方形第1次沿x軸翻折，第2次沿y軸翻折，第3次沿x軸翻折，第4次沿y軸翻折，第5次沿x軸翻折，…則第次翻折后點C對應點的坐標為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平面直角坐標系內的軸對稱變換和圖形規律探究，解答時先找到，再根據題意進行軸對稱變換，找到變換的周期規律即可．
【詳解】解：∵A，B的坐標分別為，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴第1次翻折后點C對應點的坐標為，第2次翻折后點C對應點的坐標為，第3次翻折后點C對應點的坐標為，第4次翻折后點C對應點的坐標為，
而，
∴經過第次翻折后點C對應點的坐標為，
故選：A．
8.如圖，，，，，，…按此規律，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】經觀察分析所有點，除外，其它所有點按一定的規律分布在四個象限，且每個象限的點滿足：角標循環次數余數，余數0，1，2，3確定相應的象限，由此確定點在第一象限；第一象限的點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為…觀察易得到點的橫縱坐標．
【詳解】解：由題可知第一象限的點：，……角標除以4余數為2；
第二象限的點：……角標除以4余數為3；
第三象限的點：……角標除以4余數為0；
第四象限的點：……角標除以4余數為1；
由上規律可知：，
∴點在第一象限．
觀察圖形，得：點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，……，
∴第一象限點的橫縱坐標數字隱含規律：點的橫縱坐標（n為角標）
∴點的坐標為．
故選：C．
填空題
1.如圖，點A，B，C都在方格紙的格點上，若點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標是 ．

【答案】
【分析】此題主要考查了點的坐標，正確得出原點位置是解題的關鍵．
直接利用已知點坐標確定平面直角坐標系，進而得出答案．
【詳解】解：點A的坐標為，點B的坐標為，
由點的坐標建立平面直角坐標系如下：

則點C的坐標是．
故答案為：
2.如圖所示的是一只蝴蝶標本，已知表示蝴蝶兩“翅膀尾部 兩點的坐標分別為，，則表示蝴蝶“翅膀頂端” 點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查點的坐標，先根據點A、B坐標畫出平面直角坐標系，進而可得點C的坐標．
【詳解】解：由兩點的坐標分別為，，可得如圖所示的平面直角坐標系，
則點C坐標為，
故答案為：．
3.在平面直角坐標系 中，對于點，如果點的縱坐標滿足：當時，；當時，．那么稱點為點的“關聯點”．如果點的關聯點坐標為，則點的坐標為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了點的坐標，根據“關聯點”的定義，可得答案，理解“關聯點”的定義是解答本題的關鍵．
【詳解】解：點的關聯點坐標為，
或，即或，
解得：或，
點的坐標為或，
故答案為：或．
4.對于平面直角坐標系中的點和圖形，給出如下定義：若在圖形上存在點 ，使得，為正數，則稱點為圖形的倍等距點．
已知點， ．
（1）在點 中，線段的倍等距點是 ；
（2）線段的所有倍等距點形成圖形的面積是 ．
【答案】 點和點； 見解析．
【分析】（）先設為線段上一點，再根據圖可知的取值范圍，由題意得，可求出的取值范圍，即可求出滿足條件的點；
（）由（）知，線段的所有倍等距點形成圖形，再根據圖形求得面積，
此題考查了新定義，解題的關鍵是讀懂“等距點”的定義，根據概念解決問題．
【詳解】（）設為線段上一點，
則由圖可知，
的取值范圍是，
∵ ，，，
∴，，，
設線段的倍等距點為，
則，
∴，
∴點，為線段的倍等距點，
故答案為：點和點；
（）由（）可知，
∴線段的所有倍等距點形成圖形，如圖，
由圖可知，該圖形是環形，
∴等距點形成圖形的面積為，
故答案為：．
5.如圖，有一系列有規律的點，它們分別是以O為頂點，邊長為正整數的正方形的頂點，，依此規律，點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了規律型-點的坐標：通過特殊到一般解決此類問題，利用前面正方形的邊長與字母A的腳標數之間的聯系尋找規律．
根據已知條件得出坐標之間每三個增加一次，找出第20個所在位置即可得出答案．
【詳解】解：
數據每隔三個增加一次，得6余2，
故第20個數據坐標一定有7，且正好是3個數據中中間那一個，
依此規律，點的坐標為，
故答案為：．
解答題
1.已知平面直角坐標系中有一點．
(1)當點到軸的距離為時，求點的坐標；
(2)當點到兩坐標軸的距離相等時，求點的坐標．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本題考查了點的坐標，解題的關鍵是明確題意，求出的值．
根據題意可知的絕對值等于，從而可以得到的值，進而得到的坐標；
根據題意得出，解答即可．
【詳解】（1），
或，
解得：或，
點的坐標是或；
（2），
或，
解得：或，
點的坐標是：或
2.對于實數a，b定義兩種新運算“※”和“*”： （其中k為常數，且），若對于平面直角坐標系中的點，有點的坐標與之對應，則稱點P的“k衍生點”為點．例如：的“2衍生點”為，即．
(1)點的“3衍生點”的坐標為__________；
(2)若點P的“5衍生點”P的坐標為，求點P的坐標；
(3)若點P的“k衍生點”為點，且直線平行于y軸，線段的長度為線段長度的6倍，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】本題主要考查坐標與圖形的性質，熟練掌握新定義并列出相關的方程和方程組是解題的關鍵．
（1）直接利用新定義進而分析得出答案；
（2）直接利用新定義結合二元一次方程組的解法得出答案；
（3）先由平行于y軸得出點P的坐標為，繼而得出點的坐標為，線段的長度為線段長度的6倍，解之可得．
【詳解】（1）解：點的“3衍生點”的坐標為，
即，
故答案為：；
（2）解：設
依題意，得方程組
．
解得．
∴點；
（3）解：設，則的坐標為．
∵平行于y軸
∴
即，
又∵，
∴．
∴點P的坐標為，點的坐標為，
∴線段的長度為．
∴線段的長為．
根據題意，有，
∴．
∴．
∴k的值為和。
3.如圖在直角梯形中，，，，．
(1)求點、、的坐標；
(2)求的面積．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（）由點作軸于，可得四邊形是正方形，是等腰直角三角形，則，可容易得解；
（）可根據直角三角形的面積計算公式直接計算；
此題考查了簡單的坐標與圖形的知識，解題的關鍵是運用坐標系確定幾何圖形的頂點坐標，會結合坐標圖形讀出相關信息，求出幾何圖形的面積．
【詳解】（1）∵四邊形是直角梯形，，
∴，，
∵，
∴點在軸上且、有相同的縱坐標，，，
∴點的坐標為，點的坐標為，
如圖，過點作于點，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵點在軸上，，點的坐標為，
∴，點的坐標為，
∵，，
∴，
∵點的坐標為，，
∴點的坐標為；
（2）由（）可知，
∵，，
∴的面積．
4.已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到．
(1)平移后的的一個頂點的坐標為______；
(2)點是軸上的動點，當線段最短時，點的坐標是______；依據為______；
(3)求出的面積；
(4)在線段上有一點，經上述兩次平移后到，則的坐標為______；它到軸的距離為______，到軸的距離為______.（用含，的式子表示）
【答案】(1)
(2)，垂線段最短
(3)
(4)，，
【分析】本題考查作圖—平移變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質．
（1）根據坐標中點的平移特征即可求解；
（2）根據垂線段最短，作出圖形，可得結論；
（3）利用四邊形面積減去三個三角形的面積求解即可；
（4）根據坐標中點的平移特征即可求解．
【詳解】（1）根據坐標中點的平移特點得的坐標為
故答案為：；
（2）如圖，點即為所求，點的坐標為，依據為垂線段最短，
故答案為：，垂線段最短；
（3）的面積為：；
（4）向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到，
，它到軸的距離為，到軸的距離為，
故答案為：，，．
5.在平面直角坐標系中，有三點．
(1)當點在軸上時，點的坐標為________．
(2)當點在軸上時，點的坐標為________．
(3)當軸時，兩點間的距離為________．
(4)當軸于點，且時，點的坐標為________．
【答案】(1)
(2)
(3)4
(4)或
【分析】本題考查了點的坐標：
（1）在軸上的點的縱坐標為0，據此即可作答．
（2）在軸上的點的橫坐標為0，據此即可作答．
（3）平行于軸的線上的兩個點的縱坐標相等，據此即可作答．
（4）垂直于軸的線上的兩個點的橫坐標相等，據此即可作答．
【詳解】（1）解：∵點在軸上時，且，
∴，
∴點的坐標為；
（2）解：∵點在軸上，且，
∴
∴點的坐標為；
（3）解：∵軸，且
∴
解得
∴
∴兩點間的距離為4；
（4）解：∵軸于點，且，
∴，
∴點的坐標為或
6.在平面直角坐標系中，對于P，Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．下圖中的P，Q兩點即為“等距點”．
(1)已知點A的坐標為，
①在點，，中，為點A的“等距點”的是　?。?br/>②若點B的坐標為，且A，B兩點為“等距點”，則點B的坐標為　??；
(2)若兩點為“等距點”，求k的值．
【答案】(1)①E、F；②
(2)1或2
【分析】本題主要考查了坐標與圖形性質，此題屬于閱讀理解類型題目，首先讀懂“等距點”的定義，而后根據概念解決問題，難度較大，需要有扎實的基礎，培養了閱讀理解、遷移運用的能力．
（1）①找到x、y軸距離最大為3的點即可；
②先分析出直線上的點到x、y軸距離中有3的點，再根據“等距點”概念進行解答即可；
（2）先分析出直線上的點到x、y軸距離中有4的點，再根據“等距點”概念進行解答即可．
【詳解】（1）①點到x、y軸的距離中最大值為3，
與A點是“等距點”的點是E、F．
②當點B坐標中到x、y軸距離其中至少有一個為3的點有，
這些點中與A符合“等距點”的是．
故答案為①E、F；②；
（2）兩點為“等距點”，
①若時，則或
解得（舍去）或．
②若時，則
解得或（舍去）．
根據“等距點”的定義知，或符合題意．
即k的值是1或2．
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七年級數學下冊 預習篇
7.1.2 平面直角坐標系
1.有序數對：把有順序的兩個數與組成的數對叫作有序數對，記作。
2.注意事項：兩個數的順序不能隨意交換。
3.平面直角坐標系：在平面內兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐標系。水平的數軸稱為軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為軸或縱軸，取向上為正方向。
4.兩個數軸的單位長度可以一致也可以不一致，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
5.點的坐標：過平面內任意一點P分別向軸和軸作垂線，垂足在軸和軸上對應的數分別叫作點P的橫坐標和縱坐標，有序數對叫作點P的坐標，記作。
6.表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開；點中，表示點到軸的距離，表示點到軸的距離。
7.坐標平面內任意一點，都有唯一的一對有序數對和它對應，對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，即坐標平面內的點與有序數對是一一對應的。
8.坐標平面
象限：建立了平面直角坐標系后，坐標平面就被兩條坐標軸分成4個部分，分別叫作第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
9.點的坐標的特征
（1）四個象限內點坐標的特征：四個象限的點的坐標符號分別是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
（2）數軸上點坐標的特征：x軸上的點的縱坐標為0，可表示為（a,0）；y軸上的點的橫坐標為0，可表示為(0,b)。注意：x軸，y軸上的點不在任何一個象限內，對于坐標平面內任意一個點，不在這四個象限內，就在坐標軸上。坐標軸上的點不屬于任何一個象限，這一點要特別注意。
（3）象限的角平分線上點坐標的特征：第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為(a，a)；
第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數，可表示為(a，-a)．注：若點P(a，b)在第一、三象限的角平分線上，則a＝b；若點P(a，b)在第二、四象限的角平分線上，則a＝－b。
（4）對稱點坐標的特征：P(a，b)關于x軸對稱的點的坐標為 (a,-b)；P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為 (-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為 (-a,-b)．
（5）平行于坐標軸的直線上的點：平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同。
（6）各個象限內和坐標軸上點的坐標符號規律：第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0；第二象限(－，＋)a＜0，b＞0；第三象限(－，－)a＜0，b＜0；第四象限(＋，－)a＞0，b＜0；x軸上正半軸(＋，0)，負半軸(－，0)；y軸上正半軸(0，＋)，負半軸(0，－)；原點(0,0)。
選擇題
1.平面直角坐標系中，下列在第二象限的點是（ ）
A． B． C． D．
2.已知點，兩點關于軸對稱，則點的坐標是( )
A． B． C． D．
3.已知，點在軸上，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐標系中，點一定在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.如圖，直角坐標平面內，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點，……，按這樣的運動規律，動點P第2023次運動到點（ ）
A． B． C． D．
6.在平面直角坐標系中，點在軸上，則A點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
7.如圖，正方形的頂點A，B的坐標分別為，，若正方形第1次沿x軸翻折，第2次沿y軸翻折，第3次沿x軸翻折，第4次沿y軸翻折，第5次沿x軸翻折，…則第次翻折后點C對應點的坐標為（　　）

A． B． C． D．
8.如圖，，，，，，…按此規律，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.如圖，點A，B，C都在方格紙的格點上，若點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標是 ．

2.如圖所示的是一只蝴蝶標本，已知表示蝴蝶兩“翅膀尾部 兩點的坐標分別為，，則表示蝴蝶“翅膀頂端” 點的坐標為 ．
3.在平面直角坐標系 中，對于點，如果點的縱坐標滿足：當時，；當時，．那么稱點為點的“關聯點”．如果點的關聯點坐標為，則點的坐標為 ．
4.對于平面直角坐標系中的點和圖形，給出如下定義：若在圖形上存在點 ，使得，為正數，則稱點為圖形的倍等距點．
已知點， ．
（1）在點 中，線段的倍等距點是 ；
（2）線段的所有倍等距點形成圖形的面積是 ．
5.如圖，有一系列有規律的點，它們分別是以O為頂點，邊長為正整數的正方形的頂點，，依此規律，點的坐標為 ．
解答題
1.已知平面直角坐標系中有一點．
(1)當點到軸的距離為時，求點的坐標；
(2)當點到兩坐標軸的距離相等時，求點的坐標．
2.對于實數a，b定義兩種新運算“※”和“*”： （其中k為常數，且），若對于平面直角坐標系中的點，有點的坐標與之對應，則稱點P的“k衍生點”為點．例如：的“2衍生點”為，即．
(1)點的“3衍生點”的坐標為__________；
(2)若點P的“5衍生點”P的坐標為，求點P的坐標；
(3)若點P的“k衍生點”為點，且直線平行于y軸，線段的長度為線段長度的6倍，求k的值．
3.如圖在直角梯形中，，，，．
(1)求點、、的坐標；
(2)求的面積．
4.已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到．
(1)平移后的的一個頂點的坐標為______；
(2)點是軸上的動點，當線段最短時，點的坐標是______；依據為______；
(3)求出的面積；
(4)在線段上有一點，經上述兩次平移后到，則的坐標為______；它到軸的距離為______，到軸的距離為______.（用含，的式子表示）
5.在平面直角坐標系中，有三點．
(1)當點在軸上時，點的坐標為________．
(2)當點在軸上時，點的坐標為________．
(3)當軸時，兩點間的距離為________．
(4)當軸于點，且時，點的坐標為________．
6.在平面直角坐標系中，對于P，Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．下圖中的P，Q兩點即為“等距點”．
(1)已知點A的坐標為，
①在點，，中，為點A的“等距點”的是　?。?br/>②若點B的坐標為，且A，B兩點為“等距點”，則點B的坐標為　?。?br/>(2)若兩點為“等距點”，求k的值．
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