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七年級數學下冊 預習篇
8.4 三元一次方程組的解法
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三個未知數并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程組的概念
一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組,叫做三元一次方程組。
3.三元一次方程組的解法
解二元一次方程組的基本思想是消元,即把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，由此可以聯想，解三元一次方程組的基本思想也是消元,一般地,應利用代入法或加減法消去一 個未知數從而變三元為二元,，然后解這個二元一次方程組 ，求出兩個未知數,最后再求出另一個未知數.
選擇題
1.下列不是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三元一次方程組的定義，根據三元一次方程組必須滿足“三元”和“一次”兩個要素來求解．
【詳解】解：A、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
B、方程組中含有三個未知數，但含未知數的項的最高次數是2，不是三元一次方程組，符合題意．
C、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
D、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
故選：B．
2.響應國家號召，某區推進新型農村建設，強村富民．村民復興家準備將一塊良田分成三個區域來種植三種暢銷型農作物．爸爸計劃好三個區域的占地面積后，復興主動承擔起實地劃分的任務．劃分完畢后，爸爸發現粗心的復興將A區的面積劃分給了B區，而原B區的面積錯劃分給了A區，C區面積未出錯，造成現B區的面積占兩區面積和的比例達到了．為了協調三個區域的面積占比，爸爸只好將C區面積的分成兩部分劃分給現在的區和區．爸爸劃分完后，A、B、C三個區域的面積比變為，那么爸爸從區劃分給區的面積與區劃分前的總面積的比值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式加減的應用，三元依次方程組的應用，找準等量關系，正確列出代數式是解題關鍵．設三個區域原來的面積分別為，先求出復興劃分后，區的面積與區的面積，從而可得，再設區劃分給區的面積為，則區劃分給區的面積為，根據爸爸劃分完后，、、三個區域的面積比變為可得，據此化簡即可得．
【詳解】解：設三個區域原來的面積分別為，
由題意得：復興劃分后，區的面積為，區的面積為，
∵復興劃分后，造成現區的面積占兩區面積和的比例達到了，
，即，
∴復興劃分后，區的面積為，區的面積為，
設爸爸將區劃分給區的面積為，則區劃分給區的面積為，
∵爸爸劃分完后，、、三個區域的面積比變為，
，
①，②，
由①得：，
將代入②得：，
，
則爸爸從區劃分給區的面積與區劃分前的總面積的比值為，
故選：B．
3.我國古代數學家張丘建在《張丘建算經》里，提出了“百錢買百雞”這個有名的數學問題．用個錢買只雞，公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．問公雞，小雞各買了多少只？在這個問題中，公雞的只數不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】設公雞有x只，母雞有y只，小雞有z只，根據條件建立三元一次不定方程組，解方程組即可求解．
【詳解】解：設公雞有x只，母雞有y只，小雞有z只，根據題意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然數，
，
，是7的倍數，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4種情況：
①公雞4只，母雞18只，小雞78只；
②公雞8只，母雞11只，小雞81只；
③公雞12只，母雞4只，小雞84只；
④公雞0只，母雞25只，小雞75只．
故小雞的只數不可能是
故選：
4.請認真觀察，動腦子想一想，圖中的“？”表示的數是（ ）

A．70 B．160 C．240 D．420
【答案】A
【分析】設一個小熊為，一個球為，一雙鞋為．根據題意可得，求解即可得到答案．
【詳解】設一個小熊為，一個球為，一雙鞋為．
根據題意，得
，得
．
組成方程組，得
．
解得
．
將代入，得
．
解得
．
原方程組的解為．
．
故選：A．
5.設，則（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據方程②得到，結合方程①可得，由此即可得到答案．
【詳解】解：
由②得，
∴，
∴，
故選C．
6.某學校體育社團準備采購一批體育用品獎給學生，到了文具店發現廣告上寫著優惠活動如下：3根跳繩，5個乒乓球和一個羽毛球共16元；2根跳繩，3個乒乓球和一個羽毛球共12元；王老師馬上想到：5根跳繩，9個乒乓球和一個羽毛球共需（ ）元
A．28 B．24 C．20 D．18
【答案】B
【分析】設x根跳繩，y個乒乓球，z個羽毛球，根據已知條件列出方程組，利用加減法分別求出，，再將拆分成，代入計算即可．
【詳解】解：設每根跳繩x元，每個乒乓球y元，每個羽毛球z元，
由題意可得：，
得：，
∴，
得：，
∴，
故選B．
7.解方程組，較簡便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．無法確定
【答案】B
【分析】，，得：，根據，得：，可得，方程組隨之得解，問題即可作答．
【詳解】
，得：，
，得：，即，
將代入，解得：，
將，代入，解得：，
根據解答過程可知較簡便的方法是先消y，
故選：B．
8.已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【答案】C
【分析】根據進行分類討論即可求解．
【詳解】解：，且均為非負整數，
①當時，
，
，
，
，
會組成四位數，不滿足題意；
②當時，
，
，
，
，
故組成最大的三位數為：；
③時，
，，
，
解得：，
組成最大的三位數為：
綜上所述，它們最大三位數是，
故選：C．
填空題
1.對于有理數x和y，定義新運算：，其中a，b，c是常數，已知，，則的值為 ．
【答案】17
【分析】此題考查了解三元一次方程組，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．根據新運算法則列出方程組，用含b的式子表示出a和c的值，再根據新運算法則計算即可．
【詳解】解：根據題中的新定義化簡得：，
②﹣①得：，即，
②+①得：，即，
則原式．
故答案為：17．
2.對任意一個三位正整數m，如果各個數位上的數字之和為18，則稱這個三位正整數m為“美好數”．最大的三位“美好數”是 ．若一個三位“美好數”前兩位數字組成的兩位數與這個“美好數”個位數字的4倍的和為111，滿足條件的三位“美好數”有 ．
【答案】 或
【分析】題目主要考查有理數的表示、方程組求解，理解題意，列出方程組化簡求值是解題關鍵．根據題意，最大的三位美好數的百位數字一定是9，十位數字為8，再根據各個數位上的數字之和為18，得到個位數字為1，即可，設三位“美好數”的百位數字為，十位數字為，個位數字為，根據一個三位“美好數”前兩位數字組成的兩位數與這個“美好數”個位數字的4倍的和為111，結合美好數的定義，列出方程組求解即可．
【詳解】解：∵最大的三位“美好數”
∴百位數字一定是9，十位數字為8，
∵各個數位上的數字之和為18，
∴個位數字為1，
∴最大的三位“美好數”是；
設三位“美好數”的百位數字為，十位數字為，個位數字為，
則：，
由題意，得：，
整理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，；
當時，，；
∴符合條件的的三位“美好數”有或；
故答案為：，或．
3.對于一個三位數，它各個數位上的數字均不為0且互不相等，如果它滿足百位數字減去個位數字的差是十位數字的2倍，我們就稱這個三位數為“互差數”．定義一個新運算，我們把一個“互差數”的百位數字減去個位數字的差與十位數字的和記為，則 ．若是一個“互差數”，且，則的最小值 ．
【答案】
【分析】本題主要考查列代數式，有理數的混合運算，三元一次方程組的應用，理解“互差數”的意義是解題的關鍵．根據“互差數”的定義可求解； 設的個位數字為a，十位數字為b，百位數字是c，根據“互差數”的定義列方程及，列方程組，解方程組結可求解b值，即可得，再分類求得m值．
【詳解】解：；
∵是一個“互差數”，
設的個位數字為a，十位數字為b，百位數字是c，而，
∴，
解得，
∴，
當時，，此時m的值為925；
當時，，此時m的值為824；
當時，，此時m的值為723；
當時，，此時m的值為521；
當時，，因，“互差數”各個數位的數字互不相等，所以622不是“互差數”；
當時，，因為“互差數”各個數位的數字均不為0，所以420不是“互差數”，
綜上可知：滿足條件的所有m的最小值為521．
故答案為：，
4.對于一個三位正整數n，如果n滿足：它的百位數字與十位數字之和等于個位數字的2倍，那么稱這個數n為“文德數”，例如：，因為，所以是“文德數”；，因為，所以不是“文德數”．若將一個“文德數”m的個位數的兩倍放到百位，原來的百位數變成十位數，原來的十位數變成個位數，得到一個新的三位數s，若s也是一個“文德數”，求滿足條件的 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了整式的加減計算，等式的性質，設m的百位數為a，十位數為b，個位數為c，則s的百位數為，十位數為a，個位數為b，根據“文德數”的定義推出，再根據a、b、c為整數，以及a、b、c的取值范圍確定c的值，進而確定a、b的值是解題的關鍵．
【詳解】解：設m的百位數為a，十位數為b，個位數為c，則s的百位數為，十位數為a，個位數為b，
根據題意可得，，
∴，
∵且a、b、c都是整數，
∴都是整數，
∴，
當時，，此時，
故答案為：．
5.某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個衣袖、1個衣身、1個衣領組成．如果每人每天能夠縫制10個衣袖或15個衣身或12個衣領，那么應該安排 名工人縫制衣袖， 名工人縫制衣身， 名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套．
【答案】 120 40 50
【解析】略
解答題
1.解方程組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了解二元一次方程組，
（1）方程組整理后，利用加減消元法求解即可．
（2）先利用代入消元法得到，然后利用加減消元法求解即可；
利用了消元的思想，解題的關鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個未知數．
【詳解】（1）解：
整理得，
得，
解得
將代入①得，
解得
∴原方程組的解為；
（2）解：
由①得，
將④代入②，③得，
整理得，
得，
解得，
將代入⑤得，
解得，
將，代入④得，
∴原方程組的解為．
2.【閱讀感悟】
已知實數x、y滿足，求和的值．
本題常規思路是利用消元法求解方程組，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形，整體求得代數式的值，如由①＋②可得，由可得，這樣的解題思想稱為“整體思想”．
【解決問題】
(1)已知二元一次方程組，求和的值；
(2)有甲、乙、丙三種規格的鋼條，已知甲種2根，乙種1根，丙種3根，共長23米：甲種4根，乙種2根，丙種5根，共長40米，求1根丙種鋼條是多少米？
(3)對于實數x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，請直接寫出運算：的結果．
【答案】(1)，
(2)丙種鋼條長米
(3)3
【分析】本題考查解二元一次方程組．熟練掌握整體思想，利用整體思想進行求解，是解題的關鍵．
（1）利用整體思想進行求解即可；
（2）設甲種鋼條長米，乙種鋼條長米，丙種鋼條長米，根據題意，列出三元一次方程組，利用整體思想進行求解即可；
（3）將，代入，得到三元一次方程組，利用整體思想進行求解即可．
【詳解】（1）解：，
，得：；
，得：；
（2）設甲種鋼條長米，乙種鋼條長米，丙種鋼條長米，
由題意，得：，
，得：；
∴丙種鋼條長米；
（3）將，代入，得：
，
，得：；
∴．
3.用A，B兩種硬紙板做圓柱模型，每個圓柱需要1個長方形做側面和2個圓做底面．兩種硬紙板以如圖兩種方式裁剪（裁剪后邊角料不再利用）．
A紙板：剪2個長方形做側面和3個圓做底面；
B紙板：剪1個長方形做側面和4個圓做底面．
問需要用A，B兩種硬紙板各多少張恰好能做這種圓柱模型1000個？
【答案】需要用400張A種硬紙板，200張B種硬紙板
【詳解】設需要x張A種硬紙板，y張B種硬紙板，根據題意，得
，解得
答：需要用400張A種硬紙板，200張B種硬紙板．
4.四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的總數的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了26個．問四只猴子共吃了多少個桃子？
【答案】四只猴子共吃了120個桃子
【詳解】設第一只猴子吃了x個桃子，第二只猴子吃了y個桃子，第三只猴子吃了z個桃子，依題意，得
，解得，
∴四只猴子共吃了40＋30＋24＋26＝120（個）
答：四只猴子共吃了120個桃子．
5.某次足球聯賽在進行了12場比賽后，前三名的比賽成績如下表：
勝/場 平/場 負/場 積分
A隊 8 2 2 26
B隊 6 5 1 23
C隊 5 7 0 22
問：每隊勝1場、平1場、負1場各積多少分？
【答案】每隊勝1場積3分，平1場積1分，負1場積0分
【詳解】解：設每隊勝1場積x分，平1場積y分，負1場積z分．
根據題意，得，解得，
故每隊勝1場積3分，平1場積1分，負1場積0分．
6.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為25歲，乙、丙的年齡之和為26歲，甲、丙的年齡之和為27歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？
【答案】甲的年齡為13歲，乙的年齡為12歲，丙的年齡為14歲
【詳解】解：設甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，丙的年齡為z歲，
依題意，得，解得
答：甲的年齡為13歲，乙的年齡為12歲，丙的年齡為14歲．
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8.4 三元一次方程組的解法
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三個未知數并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程組的概念
一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組,叫做三元一次方程組。
3.三元一次方程組的解法
解二元一次方程組的基本思想是消元,即把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，由此可以聯想，解三元一次方程組的基本思想也是消元,一般地,應利用代入法或加減法消去一 個未知數從而變三元為二元,，然后解這個二元一次方程組 ，求出兩個未知數,最后再求出另一個未知數.
選擇題
1.下列不是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
2.響應國家號召，某區推進新型農村建設，強村富民．村民復興家準備將一塊良田分成三個區域來種植三種暢銷型農作物．爸爸計劃好三個區域的占地面積后，復興主動承擔起實地劃分的任務．劃分完畢后，爸爸發現粗心的復興將A區的面積劃分給了B區，而原B區的面積錯劃分給了A區，C區面積未出錯，造成現B區的面積占兩區面積和的比例達到了．為了協調三個區域的面積占比，爸爸只好將C區面積的分成兩部分劃分給現在的區和區．爸爸劃分完后，A、B、C三個區域的面積比變為，那么爸爸從區劃分給區的面積與區劃分前的總面積的比值為（ ）．
A． B． C． D．
3.我國古代數學家張丘建在《張丘建算經》里，提出了“百錢買百雞”這個有名的數學問題．用個錢買只雞，公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．問公雞，小雞各買了多少只？在這個問題中，公雞的只數不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4.請認真觀察，動腦子想一想，圖中的“？”表示的數是（ ）

A．70 B．160 C．240 D．420
5.設，則（ ）
A．12 B． C． D．
6.某學校體育社團準備采購一批體育用品獎給學生，到了文具店發現廣告上寫著優惠活動如下：3根跳繩，5個乒乓球和一個羽毛球共16元；2根跳繩，3個乒乓球和一個羽毛球共12元；王老師馬上想到：5根跳繩，9個乒乓球和一個羽毛球共需（ ）元
A．28 B．24 C．20 D．18
7.解方程組，較簡便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．無法確定
8.已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
填空題
1.對于有理數x和y，定義新運算：，其中a，b，c是常數，已知，，則的值為 ．
2.對任意一個三位正整數m，如果各個數位上的數字之和為18，則稱這個三位正整數m為“美好數”．最大的三位“美好數”是 ．若一個三位“美好數”前兩位數字組成的兩位數與這個“美好數”個位數字的4倍的和為111，滿足條件的三位“美好數”有 ．
3.對于一個三位數，它各個數位上的數字均不為0且互不相等，如果它滿足百位數字減去個位數字的差是十位數字的2倍，我們就稱這個三位數為“互差數”．定義一個新運算，我們把一個“互差數”的百位數字減去個位數字的差與十位數字的和記為，則 ．若是一個“互差數”，且，則的最小值 ．
4.對于一個三位正整數n，如果n滿足：它的百位數字與十位數字之和等于個位數字的2倍，那么稱這個數n為“文德數”，例如：，因為，所以是“文德數”；，因為，所以不是“文德數”．若將一個“文德數”m的個位數的兩倍放到百位，原來的百位數變成十位數，原來的十位數變成個位數，得到一個新的三位數s，若s也是一個“文德數”，求滿足條件的 ．
5.某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個衣袖、1個衣身、1個衣領組成．如果每人每天能夠縫制10個衣袖或15個衣身或12個衣領，那么應該安排 名工人縫制衣袖， 名工人縫制衣身， 名工人縫制衣領，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套．
解答題
1.解方程組：
(1)
(2)
2.【閱讀感悟】
已知實數x、y滿足，求和的值．
本題常規思路是利用消元法求解方程組，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形，整體求得代數式的值，如由①＋②可得，由可得，這樣的解題思想稱為“整體思想”．
【解決問題】
(1)已知二元一次方程組，求和的值；
(2)有甲、乙、丙三種規格的鋼條，已知甲種2根，乙種1根，丙種3根，共長23米：甲種4根，乙種2根，丙種5根，共長40米，求1根丙種鋼條是多少米？
(3)對于實數x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，請直接寫出運算：的結果．
3.用A，B兩種硬紙板做圓柱模型，每個圓柱需要1個長方形做側面和2個圓做底面．兩種硬紙板以如圖兩種方式裁剪（裁剪后邊角料不再利用）．
A紙板：剪2個長方形做側面和3個圓做底面；
B紙板：剪1個長方形做側面和4個圓做底面．
問需要用A，B兩種硬紙板各多少張恰好能做這種圓柱模型1000個？
4.四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的總數的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了26個．問四只猴子共吃了多少個桃子？
5.某次足球聯賽在進行了12場比賽后，前三名的比賽成績如下表：
勝/場 平/場 負/場 積分
A隊 8 2 2 26
B隊 6 5 1 23
C隊 5 7 0 22
問：每隊勝1場、平1場、負1場各積多少分？
6.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為25歲，乙、丙的年齡之和為26歲，甲、丙的年齡之和為27歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？
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