資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
17.1《一元二次方程》導(dǎo)學(xué)案
班級(jí)________ 姓名_____________ 組別_________
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握一元二次方程的概念，會(huì)判別某些方程是否是一元二次方程，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）.
2.弄清一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
3.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).
學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：把一元二次方程整理成一般形式，會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）.
學(xué)習(xí)過程
課前預(yù)習(xí)：
問題1：某蔬菜隊(duì)2009年全年無公害蔬菜產(chǎn)量為100t，計(jì)劃2011年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2009年翻一番（即為200t）要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，2010年和2011年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)是多少？
分析：如果設(shè)這個(gè)隊(duì)2010～2011年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，那么：2010年無公害蔬菜產(chǎn)量為100+100x＝100(1+x)(t)；2011年無公害蔬菜產(chǎn)量為:
100(1+x)+100(1+x) ﹒x=100(1+x)2(t).
根據(jù)題意，2011年無公害蔬菜產(chǎn)量為200t，得：100(1+x)2＝200，
即 (1+x)2＝2
整理，得：x2+2x+1＝0
問題2：在一塊寬20m、長(zhǎng)32m的長(zhǎng)方形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把這塊空地分成大小一樣的6塊，建成小花壇，如圖17-2，要使花壇的總面積為570m2(圖中長(zhǎng)度的單位：m)，問小路的寬應(yīng)是多少？
分析：設(shè)小路的寬是xm,則橫向小路的面積是32xm2,縱向小路的面積是2x20xm2，兩者重疊部分的面積是2x2m2。由于花壇的總面積是570m2，則
32x20-(32x+2x20x)+2x2=570
整理，得
x2-36x+35=0
課內(nèi)探究學(xué)習(xí)：
探究1：x2+2x+1＝0，x2-36x+35=0這兩個(gè)方程和以前學(xué)過的一元一次方程有什么異同？它們有什么特點(diǎn)？
師：方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)各是多少？
【答案】方程中有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是2
2．總結(jié)歸納：一元二次方程的概念
像這樣的等號(hào)兩邊都是 ，只含有 未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的方程叫做一元二次方程.
【答案】整式，一，2
例題解答：
例1 :下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x－2x2+ （2）4x2－3x－1＝0 （3）ax2+bx+c＝0
（4）x(x+1)－2＝0 （5）a2+＝0 （6）(m－2)2＝1
【答案】（2）（3）（4）（6）是一元二次方程
2.歸納：一元二次方程的一般形式___________________________________ .
想一想：為什么要限制a≠0，可以為0嗎？
【答案】ax2+bx+c=0
其中a不能為0，因?yàn)槿鬭=0，則二次項(xiàng)系數(shù)為0，就不存在二次項(xiàng)系數(shù)了，就不再是一元二次方程了。
思考：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是多少？
【答案】二次項(xiàng)系數(shù)是a,一次項(xiàng)系數(shù)是b,常數(shù)項(xiàng)是c
精典例題：
將方程3x(x-1)=2(x-2)-4化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。
解：去括號(hào)，得：
3x2-3x=2x-4-4
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得方程的一般形式：
3x2－5x+8=0；
二次項(xiàng)系數(shù)為3；一次項(xiàng)系數(shù)為－5；常數(shù)項(xiàng)為8.
隨堂練習(xí)
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式．
【詳解】解：A、含有三個(gè)未知數(shù)，故該選項(xiàng)不合題意；
B、是一元二次方程，故該選項(xiàng)是符合題意；
C、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，故該選項(xiàng)不合題意；
D、未知數(shù)的最高次數(shù)是2，但不是整式，故該選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
2.如果方程是關(guān)于x的一元二次方程，則p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即形如的整式方程判斷．本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故選B．
3.已知為一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值得到，進(jìn)而得到．，再由，利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：∵為一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故選D．
4.把一元二次方程化為一般形式,二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程定義問題,完全平方公式．形如“”的形式是關(guān)于的一元二次方程的一般形式，根據(jù)定義即可選出答案．
【詳解】解:∵
∴，
∴一般形式為:，
∴二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)，
故選:C．
小結(jié)與思考
1.一元二次方程的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c＝0的形式，我們把a(bǔ)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.
鞏固練習(xí)
1.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，得到，即可．掌握一元二次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是一元二次方程，
∴；
故選：C．
2.將關(guān)于的一元二次方程化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式為，把原方程先去括號(hào)，然后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化為一般式即可得到答案．
【詳解】解：
，
∴將關(guān)于的一元二次方程化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為，
故選B．
3.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義，將代入原方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【詳解】解：依題意，
解得：
故答案為：．
4.一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為 ，m是的一個(gè)根，則的值為 ．
【答案】 6 2020
【分析】本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整體代入求值；直接根據(jù)方程即可得到第一空的答案；根據(jù)m是的一個(gè)根可得，再對(duì)進(jìn)行變形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【詳解】解：，
，，，
；
是的一個(gè)根，
，
，
；
故答案為：6；2020．
5.已知m為一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為
【答案】2025
【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
先利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個(gè)根，
，
∴，
∴．
故答案為：2025．
6．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是a，則的值為 .
【答案】
【分析】本題考查了理解方程解的含義，把代入得，利用方程進(jìn)行等式變形即可求解．
【詳解】解：把代入得，
∴，
∴
，
故答案為：．
7.已知關(guān)于x的方程
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了一元一次方程的定義以及一元二次方程的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)一元一次方程的定義解答即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．
【詳解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，
解得．
即時(shí)，此方程是一元一次方程；
（2）∵是一元二次方程，
∴，
解得．
即時(shí)，此方程是一元二次方程．
學(xué)習(xí)反思
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？還有哪些困惑？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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17.1《一元二次方程》導(dǎo)學(xué)案
班級(jí)________ 姓名_____________ 組別_________
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握一元二次方程的概念，會(huì)判別某些方程是否是一元二次方程，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）.
2.弄清一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
3.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).
學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：把一元二次方程整理成一般形式，會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）.
學(xué)習(xí)過程
課前預(yù)習(xí)：
問題1：某蔬菜隊(duì)2009年全年無公害蔬菜產(chǎn)量為100t，計(jì)劃2011年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2009年翻一番（即為200t）要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，2010年和2011年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)是多少？
問題2：在一塊寬20m、長(zhǎng)32m的長(zhǎng)方形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把這塊空地分成大小一樣的6塊，建成小花壇，如圖17-2，要使花壇的總面積為570m2(圖中長(zhǎng)度的單位：m)，問小路的寬應(yīng)是多少？
課內(nèi)探究學(xué)習(xí)：
探究1：x2+2x+1＝0，x2-36x+35=0這兩個(gè)方程和以前學(xué)過的一元一次方程有什么異同？它們有什么特點(diǎn)？
師：方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)各是多少？
2．總結(jié)歸納：一元二次方程的概念
像這樣的等號(hào)兩邊都是 ，只含有 未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的方程叫做一元二次方程.
例題解答：
例1 :下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x－2x2+ （2）4x2－3x－1＝0 （3）ax2+bx+c＝0
（4）x(x+1)－2＝0 （5）a2+＝0 （6）(m－2)2＝1
2.歸納：一元二次方程的一般形式___________________________________ .
想一想：為什么要限制a≠0，可以為0嗎？
思考：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是多少？
精典例題：
將方程3x(x-1)=2(x-2)-4化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。
隨堂練習(xí)
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.如果方程是關(guān)于x的一元二次方程，則p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.已知為一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4.把一元二次方程化為一般形式,二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
小結(jié)與思考
1.一元二次方程的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c＝0的形式，我們把a(bǔ)x2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.
鞏固練習(xí)
1.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
2.將關(guān)于的一元二次方程化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
3.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則 ．
4.一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為 ，m是的一個(gè)根，則的值為 ．
5.已知m為一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為
6．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是a，則的值為 .
7.已知關(guān)于x的方程
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？
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