資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
17.3一元二次方程根的判別式(學案)
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.掌握一元二次方程根的判別式 ＝b2－4ac；
2.會用一元二次方程根的判別式在不解方程的情況下判別方程根的情況；
3.會用根的判別式由一元二次方程根的情況求方程中字母的取值范圍.
4.會用根的判別式證明方程有無實數根.
學習重難點
能熟練地運用根的判別式在不解一元二次方程的情況下判定方程根的情況.
學習過程
一、課前預習
1.你能說出我們共學過哪幾種解一元二次方程的方法嗎？
2. 寫出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
【答案】1.直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2. （b2－4ac≥0）
3. （1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
解：a＝1，b＝－3，c＝－4， 解： a＝1，b＝－4，c＝－4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－4)＝25＞0 b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0
∴ x1＝4，x2＝－1 ∴ x1＝x2＝2
x2+2x+3=0
解：a=1,b=2,c=3
b2-4ac=22-4x1x3=-8<0
所以，原方程無解
二、課內探究，交流學習
1.你能說出方程（1）x2－3x－4＝0；（2）x2－4x+4＝0；（3）x2+2x+3＝0解的情況嗎？
【答案】（1）有兩個不相等的實數根；（2）有兩個相等的實數根 （3）沒有實數根
2.交流、探究：
這3個一元二次方程的解為什么會出現不同的情況呢？它們的根的情況由哪個因素來決定呢？何時有兩個不相等的實數根？何時有兩個相等的實數根？何時沒有實數根？
【答案】由b2－4ac來確定,當b2－4ac>0時，有兩個不相等的實數根；當b2－4ac＝0時，有兩個相等的實數根；當b2－4ac＜0時，沒有實數根.
3.感悟新知：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情況由b2－4ac來確定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式.通常用符號“ ”來表示，即 ＝b2－4ac.
（2）一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當 ＞0時，有兩個不相等的實數根；當 ＝0時，有兩個相等的實數根；當 ＜0時，沒有實數根.
三、典例突破
例：不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）5x2－3x－2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+x+1＝0.
解：（1）因為 ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0，
所以原方程有兩個不相等的實數根.
（2）原方程可變形為：25y2－20y+4＝0
因為 ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有兩個相等的實數根.
（3）因為 ＝()2－4×2×1＝－5＜0，
所以原方程沒有實數根.
四、名師點撥：
﹥0 方程有兩個不相等的實數根；
＝0方程有兩個相等的實數根；
＜0方程沒有實數根；
≥0方程有實數根
五、隨堂練習
1.對于一元二次方程，下列說法錯誤的是( )
A．若，則方程必有一根為；
B．若是一元二次方程的根，則
C．若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根
D．若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式、根與系數的關系、等式的性質以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根為，即可判斷A；利用求根公式得出，變形即可判斷B；由一元二次方程根與系數的關系可得，，變形即可判斷C；根據一元二次方程根的判別式即可判斷D；熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：，
當時，，
若，方程必有一根為，故A說法正確，不符合題意；
是一元二次方程的根，
，
，
，故B說法正確，不符合題意；
方程兩根為，且滿足，
，，
，，
方程，必有實根，故C說法正確，不符合題意；
方程有兩個不相等的實根，
，
，
方程有兩個不相等的實根，故D說法錯誤，符合題意；
故選：D．
2.已知關于的一元二次方程．
求證：無論為何值，方程總有兩個實數根．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式
由判別式，然后進行整理，再與比較大小，即可得證；
【詳解】證明：∵
，
∴無論為何值，方程總有兩個實數根；
六、達標鞏固
1.已知，是方程的兩個實數根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，先根據一元二次方程的解得的定義得到，則可化為，再根據根與系數的關系得到，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】解：∵，是方程的兩個實數根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的兩個實數根，
∴，
∴．
故選：D．
2. 已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，．求實數k的取值范圍；
【答案】；
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系等知識點，
根據判別式的意義得到，然后解不等式即可；
【詳解】∵原方程有兩個實數根，
∴，
∴，
∴當時，原方程有兩個實數根．
3.關于x的方程有兩個不相等的實數根．
求k的取值范圍；
【答案】且
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵；
由二次項系數非零結合根的判別式，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍；
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：且．
∴k的取值范圍為且．
七、拓展提高：
關于的一元二次方程．
（1）若方程總有兩個實數根，求的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若兩個實數根，滿足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程的判別式及根與系數的關系，解題關鍵是將熟練掌握一元二次方程的判別式與根的關系及兩根之積與兩根之和．
（1）由方程求出判別式即可．
（2）由一元二次方程根與系數的關系，用含代數式表示兩根之和及兩根之積，進而求解．
【詳解】（1）解：，
∵方程總有兩個實數根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
八、小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）一元二次方程根的判別式；
（2）一元二次方程根的情況與根的判別式的關系.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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17.3一元二次方程根的判別式(學案)
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.掌握一元二次方程根的判別式 ＝b2－4ac；
2.會用一元二次方程根的判別式在不解方程的情況下判別方程根的情況；
3.會用根的判別式由一元二次方程根的情況求方程中字母的取值范圍.
4.會用根的判別式證明方程有無實數根.
學習重難點
能熟練地運用根的判別式在不解一元二次方程的情況下判定方程根的情況.
學習過程
一、課前預習
1.你能說出我們共學過哪幾種解一元二次方程的方法嗎？
2. 寫出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
二、課內探究，交流學習
1.你能說出方程（1）x2－3x－4＝0；（2）x2－4x+4＝0；（3）x2+2x+3＝0解的情況嗎？
2.交流、探究：
這3個一元二次方程的解為什么會出現不同的情況呢？它們的根的情況由哪個因素來決定呢？何時有兩個不相等的實數根？何時有兩個相等的實數根？何時沒有實數根？
3.感悟新知：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情況由b2－4ac來確定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式.通常用符號“ ”來表示，即 ＝b2－4ac.
（2）一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當 ＞0時，有兩個不相等的實數根；當 ＝0時，有兩個相等的實數根；當 ＜0時，沒有實數根.
三、典例突破
例：不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）5x2－3x－2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+x+1＝0.
四、名師點撥：
﹥0 方程有兩個不相等的實數根；
＝0方程有兩個相等的實數根；
＜0方程沒有實數根；
≥0方程有實數根
五、隨堂練習
1.對于一元二次方程，下列說法錯誤的是( )
A．若，則方程必有一根為；
B．若是一元二次方程的根，則
C．若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根
D．若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；
2.已知關于的一元二次方程．
求證：無論為何值，方程總有兩個實數根．
六、達標鞏固
1.已知，是方程的兩個實數根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，．求實數k的取值范圍；
3.關于x的方程有兩個不相等的實數根．
求k的取值范圍；
七、拓展提高：
關于的一元二次方程．
（1）若方程總有兩個實數根，求的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若兩個實數根，滿足，求的值．
八、小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）一元二次方程根的判別式；
（2）一元二次方程根的情況與根的判別式的關系.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
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