資源簡介

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17.4一元二次方程的根與系數的關系(學案)
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.理解并掌握一元二次方程的根與系數的關系；
2.會運用一元二次方程的根與系數關系由已知二次方程的一個根求出另一個根與未知字母的值，會求二次方程兩根的倒數和與平方差，兩根之差等；
3.關注一元二次方程中的隱含條件：a≠0， ＝b2－4ac.
學習重難點
重點：理解并掌握一元二次方程的根與系數的關系；
難點：運用根與系數的關系解涉及到一元二次方程兩根的有關問題.
學法指導
通過觀察、練習、猜想、證明等學習活動發現問題，解決問題，在學習過程中掌握思考問題的方法及解決問題的途徑等.
學習過程
一、課前預習
1.你能說出一元二次方程的標準形式嗎？
2.寫出一元二次方程根的判別式，如果在不解方程的情況下判定方程的根的情況.
3.寫出一元二次方程的求根公式.
4.寫出下列一元二次方程中的二次項系數a，一次項系數b，常數項c的值.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
5.請你用適當的方法求出下列方程的根，并填寫好下表.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0
3x2－4x+1＝0
2x2－5x+1＝0
二、課內探究，交流學習
1.思考：
通過填寫上表你是否發現每個方程中的兩根之和（x1+ x2）、兩根之積（x1 x2）與該方程的各項系數之間存在著怎樣的關系？
2.猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2＝_____，x1x2＝____.
3.試試證明上面你的猜想.
4.歸結總結：
寫出韋達定理：
5.思考：如果二次項系數為1時，一元二次方程的標準形式為：x2+px+q＝0，這時韋達定理又是怎樣的？
三、典例突破（以自學為主）
例1.已知關于x的方程2x2+kx－4＝0的一個根是－4，求它的另一個根及k的值.
例2.方程2x2－3x+1＝0的兩個根記作x1，x2，不解方程，求x1－x2 .
四、隨堂練習
1.若是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
2.一元二次方程的兩根分別為和，則為（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3.已知關于的一元二次方程．
(1)求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程有兩個實數根為，，且，求的值．
五、名師點撥：
1.在實數范圍內運用根與系數關系時，必須注意兩個條件：
（1）方程必須是一元二次方程，即二次項系數a≠0；
（2）方程有實數根，即 ≥0，因此，解題時要注意分析題中隱含條件 ≥0和a≠0.
六、達標鞏固
1.下列一元二次方程中，兩根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是關于x的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.一元二次方程的兩根分別為和，則為（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4.若方程的兩根為和，則等于（ ）
A． B． C． D．
5.若是方程的兩個根，則的值是 ．
7.已知關于x的一元二次方程．
(1)當 時，求出方程的解．
(2)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．
(3)若方程有兩個實數根 ，且 求m的值．
8.已知關于的方程有兩個實數根，．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求k的值．
七、拓展提高：
已知：矩形的兩邊的長是關于x的方程的兩個實數根．
(1)當m為何值時，四邊形為正方形？并說明理由；
(2)若的長為2，則矩形的對角線長為___________．
八、小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）一元二次方程根的判別式；
（2）一元二次方程根的情況與根的判別式的關系.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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17.4一元二次方程的根與系數的關系(學案)
班級________ 姓名_____________ 組別_______
學習目標
1.理解并掌握一元二次方程的根與系數的關系；
2.會運用一元二次方程的根與系數關系由已知二次方程的一個根求出另一個根與未知字母的值，會求二次方程兩根的倒數和與平方差，兩根之差等；
3.關注一元二次方程中的隱含條件：a≠0， ＝b2－4ac.
學習重難點
重點：理解并掌握一元二次方程的根與系數的關系；
難點：運用根與系數的關系解涉及到一元二次方程兩根的有關問題.
學法指導
通過觀察、練習、猜想、證明等學習活動發現問題，解決問題，在學習過程中掌握思考問題的方法及解決問題的途徑等.
學習過程
一、課前預習
1.你能說出一元二次方程的標準形式嗎？
【答案】ax2+bx+c=0（a≠0）
2.寫出一元二次方程根的判別式，如果在不解方程的情況下判定方程的根的情況.
【答案】 b2－4ac，當 ＞0時，有兩個不相等的實數根；當 ＝0時，有兩個相等的實數根；當 ＜0時，沒有實數根.
3.寫出一元二次方程的求根公式.
【答案】
4.寫出下列一元二次方程中的二次項系數a，一次項系數b，常數項c的值.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
【答案】（1）a=1,b=2,c=-15
a=3,b=-4,c=1
a=2,b=-5,c=1
5.請你用適當的方法求出下列方程的根，并填寫好下表.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
【答案】
解：（1） x2+2x－15＝0
（x+5）（x-2)=0
x1=-5,x2=2
(2)3x2－4x+1＝0
(x-1)(3x-1)
x1=1,x2=
(3)2x2－5x+1＝0
x1=，x2=
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0 -5 2 -3 -10
3x2－4x+1＝0 1 1
2x2－5x+1＝0 -8
二、課內探究，交流學習
1.思考：
通過填寫上表你是否發現每個方程中的兩根之和（x1+ x2）、兩根之積（x1 x2）與該方程的各項系數之間存在著怎樣的關系？
【答案】兩根之和為 -；兩根之積為
2.猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2＝_____，x1x2＝____.
【答案】；
3.試試證明上面你的猜想.
【答案】我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為
x1=, x2=
所以，x1+x2=+
=-
x1x2= ·
=
4.歸結總結：
寫出韋達定理：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2，那么x1+x2==-
x1x2 =
5.思考：如果二次項系數為1時，一元二次方程的標準形式為：x2+px+q＝0，這時韋達定理又是怎樣的？
【答案】x1+x2==-p, x1x2 =q
三、典例突破（以自學為主）
例1.已知關于x的方程2x2+kx－4＝0的一個根是－4，求它的另一個根及k的值.
解：設方程的另一個根是x2，
由韋達定理，得： ， 解得： ，
∴方程的另一個根是，k的值為7.
例2.方程2x2－3x+1＝0的兩個根記作x1，x2，不解方程，求x1－x2 .
解：由韋達定理，得： ,
∴(x1－x2)2＝(x1+ x2)2－4 x1 x2＝()2―4×＝，
∴x1－x2＝±.
四、隨堂練習
1.若是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據一元二次方程根與系數的關系可得，即可求解．
【詳解】解：∵是方程的兩個實數根，
∴，
故選：C．
2.一元二次方程的兩根分別為和，則為（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系；根據根與系數的關系可直接得出答案．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別為和，
∴，
故選：B．
3.已知關于的一元二次方程．
(1)求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程有兩個實數根為，，且，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數根，②，方程有兩個相等的實數根，③，方程沒有實數根．關于x的一元二次方程的兩個實數根，和系數，，，有如下關系：，．
（1）根據一元二次方程根的判別式可得，由此即可得出答案；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系可得，，代入得出關于的方程，解之即可．
【詳解】（1）證明：∵
，
∴無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：由根與系數的關系，得，，
由，得，
解得．
五、名師點撥：
1.在實數范圍內運用根與系數關系時，必須注意兩個條件：
（1）方程必須是一元二次方程，即二次項系數a≠0；
（2）方程有實數根，即 ≥0，因此，解題時要注意分析題中隱含條件 ≥0和a≠0.
六、達標鞏固
1.下列一元二次方程中，兩根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根和系數的關系，根據根和系數的關系：兩根之和等于，兩根之積等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系數的關系是解題的關鍵．
【詳解】、兩根之和等于，不合題意；
、兩根之和等于，符合題意；
、兩根之和等于，不合題意；
、兩根之和等于，不合題意；
故選：．
2．若是關于x的一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的根以及根與系數的關系．若一元二次方程的兩個根為，則．由題意得，，根據即可求解．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
，
故選：A
3.一元二次方程的兩根分別為和，則為（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系；根據根與系數的關系可直接得出答案．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別為和，
∴，
故選：B．
4.若方程的兩根為和，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握：如果和是一元二次方程的兩個實數根，則，．據此解答即可．
【詳解】解：∵方程的兩根為和，
∴．
故選：C．
5.若是方程的兩個根，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意可得，即可求解．
【詳解】解：∵是方程的兩個根，
∴，
故答案為：．
6．若關于x的一元二次方程有一個根是，則此方程的另一個根是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查根與系數的關系、一元二次方程的解，首先設關于x的一元二次方程的另一個實數根是，然后根據根與系數的關系，即可得，繼而求得答案．
【詳解】解：設方程的另一個根是α，
則，
解得．
故答案為：4．
7.已知關于x的一元二次方程．
(1)當 時，求出方程的解．
(2)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根．
(3)若方程有兩個實數根 ，且 求m的值．
【答案】(1)；
(2)證明見詳解；
(3)8．
【分析】本題主要考查一元二次方程的解法、根與系數的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握是方程的兩根時，．
（1）將代入方程，再解一元二次方程即可；
（2）根據根的判別式得出，據此可得答案；
（3）根據根與系數的關系得出，，代入得出關于m的方程，解之可得答案．
【詳解】（1）解：當 時，得方程，
解得：；
（2）證明：
，
∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
（3）解：由根與系數的關系得出
由得，
解得．
8.已知關于的方程有兩個實數根，．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數的關系，解一元二次方程；
（1）有兩個實數根，則，根據可求得的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系得出，，代入中，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵方程有兩個實數根，，
∴，
解得：．
（2）∵方程有兩個實數根，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：或．
∵，
∴．
七、拓展提高：
已知：矩形的兩邊的長是關于x的方程的兩個實數根．
(1)當m為何值時，四邊形為正方形？并說明理由；
(2)若的長為2，則矩形的對角線長為___________．
【答案】(1)時，四邊形為正方形，理由見詳解
(2)
【分析】（1）利用正方形的判定方法得到時，矩形為正方形，則根據根的判別式的意義得到，然后解關于m的方程即可；
（2）設，利用根與系數的關系得，通過解方程組得到，然后利用勾股定理計算矩形的對角線長．
【詳解】（1）解：當m為1時，四邊形為正方形．
理由如下：
當時，矩形為正方形，
此時，即，
解得，
即時，四邊形為正方形；
（2）設，
根據根與系數的關系得，
即，②，
得，
解得，
即，
∴矩形的對角線長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，則．也考查了矩形的性質，勾股定理，正方形的性質，一元二次方程根判別式．
八、小結與反思
1.本節課你學習了哪些主要內容，與同伴交流
（1）一元二次方程根的判別式；
（2）一元二次方程根的情況與根的判別式的關系.
2.通過本節課的學習你有哪些收獲和經驗？談談你的感悟.
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